WYKŁAD 3 Temat: Arytmetyka binarna 1. Arytmetyka binarna 1.1. Nadmiar 1.2. Arytmetyka w systemie uzupełnień do dwóch 1.3. Mnożenie i dzielenie przez dwa 1.4. Binarne mnożenie i dzielenie 2. Liczby zmiennopozycyjne 2.1. Zapis zmiennopozycyjny 2.2. Standardy zapisu

1. Arytmetyka binarna przeniesienie 0 + 0 0 + 1 1 + 0 1 + 1 Reguły dodawania Np. dodajmy liczby binarne 1 0 1 0 + 0 0 1 1 1 1 0 1 1 przeniesienia Dodawane bity  przeniesienie 0 + 0 0 + 1 1 1 + 0 1 + 1

1.1. Nadmiar (overflow) Projektując układy realizujące operacje arytmetyczne należy uwzględniać zakres argumentów tych operacji oraz zakres wyniku. Np. 1 1 0 0 12 + 0 1 1 0 + 6 0 0 1 0 2 błąd ! 1 ZM 8 bitów 9 bitów 89 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 + 45 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 134 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0  wyszło – 6 !

1.2. Arytmetyka w systemie uzupełnień do dwóch Liczby w systemie uzupełnień do dwóch dodaje się w taki sposób jak liczby binarne bez znaku, np. 12 + 20 = 32 0 0 0 0 1 1 0 0  1210 + 0 0 0 1 0 1 0 0  2010 0 0 1 0 0 0 0 0  3210 Liczby ujemne -1 + (- 2) = - 3 1 1 1 1 1 1 1 1  - 110 + 1 1 1 1 1 1 1 0  - 210 1 1 1 1 1 1 0 1  - 310 1 pomijamy przeniesienie  Mnożenie robi się przez wielokrotne dodawanie

1.3. Mnożenie i dzielenie przez dwa Wykonuje się przez przesuwanie liczb 0 0 1 0  210 0 1 0 0  410 1 0 0 0  810 0 0 0 1  110 na tzw. rejestrach

1.4. Binarne mnożenie i dzielenie Ponieważ w urządzeniach cyfrowych stosuje się sumatory dwuargumentowe, to algorytm mnożenia i dzielenia musi być do tego przystosowany. Nie może być sumowania wielu składników jak to ma miejsce w klasycznym sposobie postępowania. Dlatego też np. w każdym kroku algorytmu mnożenia liczb dwójkowych wykonywane są dwie operacje:  dodawania i przesunięcia iloczynu cząstkowego o jedną pozycje w prawo. Jednym ze składników dodawania jest zawsze iloczyn cząstkowy, a drugi zależy od aktualnej wartości najmniej znaczącego bitu (LSB) mnożnika.

2. Liczby zmiennopozycyjne W dziesiętnym systemie liczbowym do oznaczania bardzo dużych i bardzo małych liczb stosuje się często notację wykładniczą np.: 294800000  2,948*10+8 0,000001704  1,704*10-6 wykładnik potęgi lub 1,602*10-6 pozycja przecinka dziesiętnego mantysa

2.1. Zapis zmiennopozycyjny Zapis formalny L = M x N E • M - mantysa, liczba mniejsza od jedności; mantysa znormalizowana należy do przedziału < 0.1; 1),  pierwszy znak po przecinku musi być różny od zera; • N - podstawa systemu zgodnie z zapisem pozycyjnym wagowym; • E - cecha, czyli wykładnik potęgi, dzięki któremu przecinek w liczbie zostaje przesunięty tak, aby utworzyć mantysę w zgodzie z powyższą definicją.

Zastępując podstawę potęgi 10 podstawą 2, możemy użyć podobnej adnotacji do zapisywania liczb rzeczywistych w komputerze np. 5,62510 może być zapisana jako 1,01101*22 lub 1011,01*2-1  Położenie przecinka może być dynamicznie składane poprzez zmianę wartości wykładnika  zmiennopozycyjna forma zapisu

Aby zapisać liczbę zmiennopozycyjną musimy zapisać informację o:  znaku  mantysie  wykładniku Liczba słów, których do tego celu użyjemy, wraz z metodą kodowania tej informacji nosi nazwę formatu zmiennopozycyjnego np.: +0,101101*23 Liczba binarna zapisana w postaci cecha-mantysa na dwóch bajtach. znak cecha mantysa 1

W praktyce zwykle na cechę przeznaczamy jeden bajt, na mantysę minimum trzy bajty.  ilość bajtów przeznaczonych na cechę decyduje o zakresie  ilość bajtów przeznaczonych na mantysę decyduje o błędzie  Gdy chcemy poprawić dokładność, musimy dodać bajt do mantysy. Gdy chcemy powiększyć zakres reprezentowanych liczb, dodajemy bajt do cechy. Przy jednym bajcie przeznaczonym na mantysę błąd względny nie przekracza 0.8% błąd bezwzględny * 100% wartość liczby Arytmetyka zmiennoprzecinkowa jest bardziej złożona niż arytmetyka liczb całkowitych. Operacje mogą być wykonywane programowo lub sprzętowo przez tzw. koprocesor zmiennopozycyjny (numeryczny).

Zakres liczb, który można zapisać używając 8 bitowego wykładnika to w przybliżeniu od 10-39 do 10+39 a precyzja osiągana przy 7 bitowej mantysie to w przybliżeniu od 1 do 103. Dokładność można zwiększyć, używając większej liczby bitów do zapisu mantysy. Stąd ustalono w postaci standardu 2 tryby precyzji:  a/ pojedyncza (4 bajty) b/ podwójna (8 bajtów)

2.2. Standardy zapisu Standard IEEE 754 dla liczby rzeczywistej: (4 bajty) Standard IEEE dla liczby podwójnej precyzji: (8 bajtów) Kolejne bity (od lewej) Znaczenie 1 (jeden) znak mantysy 2-9 (osiem) cecha 10-32 (dwadzieścia trzy) mantysa Kolejne bity (od lewej) Znaczenie 1 (jeden) Znak mantysy 2-12 (jedenaście) cecha 13-64 (pięćdziesiąt dwa) mantysa

Zakres liczb zmiennoprzecinkowych IEEE 754 w pojedynczej precyzji Z(IEEE 754) = - 3,4 • 1038 ... 3,4 • 1038 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych IEEE 754 w podwójnej precyzji Z(IEEE 754) = - 1,8 • 10308 ... 1,8 • 10308