Projektowanie Inżynierskie P a ń s t w o w a W y ż s z a S z k o ł a Z a w o d o w a w N y s i e Instytut Zarządzania Projektowanie Inżynierskie Konstrukcje rozciągane i ściskane Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk e-mail: piotr.chwastyk@pwsz.nysa.pl www.chwastyk.pwsz.nysa.pl

Analiza pręta statycznie wyznaczalnego Przy osiowym rozciąganiu i ściskaniu w przekrojach poprzecznych pręta występują tylko naprężenia normalne . Badania doświadczalne wykazują, że przy ściskaniu większość materiałów podlega tym samym zależnościom, co przy rozciąganiu. Zatem, rozpatrzymy przypadek pręta rozciąganego siłą N. Na podstawie zasady de Saint-Venanta przyjmuje się, że niezależnie od sposobu przyłożenia obciążenia w poszczególnych przekrojach poprzecznych pręta naprężenia normalne są rozłożone równomiernie ( = const). Stąd

Analiza pręta statycznie wyznaczalnego Podczas rozciągania długość początkowa pręta l0 zwiększa się, a wymiary poprzeczne ulegają zmniejszeniu. Bezwzględne wydłużenie pręta jest równe W celu obliczenia naprężeń i odkształceń w poszczególnych przekrojach pręta należy wyznaczyć rozkład sił wzdłużnych N. Wartość siły wzdłużnej w dowolnym przekroju poprzecznym jest równa sumie algebraicznej rzutów na oś pręta wszystkich sił zewnętrznych Pi przyłożonych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju W przypadku gdy rozpatrywany pręt składa się z kilku odcinków o różnych przekrojach, wydłużenie bezwzględne pręta oblicza się, sumując algebraicznie zmiany odległości poszczególnych jego odcinków

Analiza pręta statycznie wyznaczalnego - przykład Przykład. Przeprowadzić analizę pryzmatycznego pionowego pręta, obciążonego dwiema siłami P1, P2 i ciężarem własnym. Wyznaczyć wartości sił rozciągających, naprężeń normalnych i wydłużeń poszczególnych części pręta. Przyłożenie sił zewnętrznych i geometrię pręta określają wymiary l1 i l2. Przekrój poprzeczny pręta jest równy A, współczynnik sprężystości wzdłużnej wynosi E, a ciężar właściwy materiału pręta jest równy . Rozwiązanie Reakcję w miejscu zamocowania pręta oblicza się z warunku równowagi sił zewnętrznych

Analiza pręta statycznie wyznaczalnego - przykład Przy zastosowaniu metody przecięć wyznaczono wartości sił normalnych w przekrojach określonych współrzędnymi xa i xb a wykres tych sił przedstawiony jest na rysunku

Analiza pręta statycznie wyznaczalnego - przykład wartości naprężeń normalnych wynoszą

Analiza pręta statycznie wyznaczalnego - przykład Odkształcenia poszczególnych odcinków pręta Stąd całkowite wydłużenie pręta wynosi

Konstrukcje statycznie wyznaczalne Układy statycznie wyznaczalne charakteryzują się tym, że siły wewnętrzne występujące w poszczególnych elementach tych układów mogą być wyznaczone z równań równowagi. Obliczenia wytrzymałościowe elementu rozciąganego lub ściskanego wykonuje się w celu sprawdzenia czy są spełnione warunki wytrzymałościowe Naprężenie dopuszczalne na ściskanie kc określa się podobnie jak kr, gdzie: Rc - wytrzymałość na ściskanie. Spełnienie warunków wytrzymałościowych bardzo często nie wystarcza do właściwego zaprojektowania konstrukcji. Z tego względu musi być spełniony warunek sztywności Według tego warunku odkształcenie lub przemieszczenie punktów projektowanego elementu nie powinno przekroczyć wartości odkształcenia lub przemieszczenia, przyjętego dla danej konstrukcji jako dopuszczalne.

Konstrukcje statycznie wyznaczalne - przykład Przykład. Obliczyć naprężenia w dwóch prętach o długości l i przekroju poprzecznym A, połączonych przegubowo i obciążonych siłą P. Określić przemieszczenie węzła A, jeżeli pręty tworzą kąt α z kierunkiem pionowym. Rozwiązanie Po przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych Axy otrzymuje się następujące równania równowagi Po rozwiązaniu otrzymanego układu dwóch równań wyznacza się wartości sił wewnętrznych w prętach

Konstrukcje statycznie wyznaczalne - przykład Naprężenia normalne w tych prętach wynoszą Wydłużenie bezwzględne każdego pręta jest równe Zatem przemieszczenie węzła A wynosi

Konstrukcje statycznie niewyznaczalne W dotychczas rozpatrywanych przykładach dotyczących rozciągania i ściskania prętów siły wewnętrzne można było wyznaczyć na podstawie równań równowagi Takie konstrukcje nazywa się statycznie wyznaczalnymi. Istnieje jednak wiele zadań, kiedy liczba równań równowagi jest mniejsza od liczby sił wewnętrznych Konstrukcje takie są nierozwiązywalne przy zastosowaniu równań statyki ciał doskonale sztywnych i noszą nazwę układów statycznie niewyznaczalnych. Do obliczenia niewiadomych sił należy wtedy uwzględnić odkształcenia i przemieszczenia prętów. Uzyskane w ten sposób dodatkowe równania współzależności odkształceń stanowią zależności o charakterze geometrycznym. W celu połączenia równań równowagi z równaniami geometrycznymi należy posłużyć się związkami fizycznymi uzależniającymi wzajemnie siły wewnętrzne i przemieszczenia. W przypadku materiałów liniowosprężystych związki te wynikają bezpośrednio z prawa Hooke'a.

Konstrukcje statycznie niewyznaczalne Rozpatrzmy układ składający się ze sztywnej belki AD = 4a zamocowanej na stałej podporze przegubowej w punkcie A, zawieszonej na dwóch jednakowych prętach o sztywności rozciągania EA i długości l, obciążonej w punkcie D pionową siłą P. Analizowany układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny, gdyż występują dwie siły normalne w prętach N1 i N2 oraz dwie składowe reakcji RAx i RAy, a dysponujemy trzema równaniami równowagi. Brakuje nam więc jednego równania współzależności odkształceń. Równania równowagi możemy przedstawić następująco

Konstrukcje statycznie niewyznaczalne Pod działaniem siły P belka AD obróci się o pewien kąt  dookoła stałej podpory przegubowej A. Wydłużenia bezwzględne prętów wyniosą odpowiednio l1, i l2. Stąd równanie współzależności odkształceń Po zastosowaniu związków fizycznych otrzymamy Stąd po podstawieniu do równań równowagi znajdujemy

Jednowymiarowy stan naprężenia Przez każdy punkt pręta rozciąganego można przeprowadzić nieskończoną liczbę przekrojów pod różnymi kątami do jego osi i każdemu przekrojowi będzie odpowiadało inne naprężenie. Rozpatrzmy pręt pryzmatyczny rozciągany siłami osiowymi P. W przekroju poprzecznym B-B, prostopadłym do osi pręta, naprężenia normalne rozkładają się równomiernie.

Jednowymiarowy stan naprężenia W celu przeprowadzenia analizy stanu naprężenia wycina się myślowo z rozpatrywanego pręta element dwoma równoległymi przekrojami, prostopadłymi osi pręta. W obu przekrojach występują naprężenia normalne x, równomiernie rozłożone w tych przekrojach. Następnie przecina się ten element pręta płaszczyzną przechodzącą pod kątem α do przekroju poprzecznego. Taki sam kąt α będzie tworzyła normalna n do przeciętego przekroju z osią pręta. Aby odcięta część elementu pręta pozostawała nadal w równowadze, naprężenia normalne α i styczne α działające w przeciętym przekroju muszą równoważyć naprężenia x.

Jednowymiarowy stan naprężenia Z warunków rzutów sił na oś normalną n i styczną t do przekroju otrzymuje się stąd Wartości tych naprężeń zależą od kąta α. Naprężenia normalne osiągają największą wartość α = x dla α = 0, maleją ze zwiększaniem kąta α i są równe zeru dla α = 0,5. Naprężenia styczne natomiast rosną ze zwiększaniem kąta α i osiągają maksymalną wartość max = 0,5x dla α = 45°, następnie maleją i są równe zeru dla α = 0,5 .