Projektowanie Inżynierskie P a ń s t w o w a W y ż s z a S z k o ł a Z a w o d o w a w N y s i e Instytut Zarządzania Projektowanie Inżynierskie Skręcanie prętów Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk e-mail: piotr_chwastyk@pwsz.nysa.pl www.chwastyk.pwsz.nysa.pl

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych Rozpatrzmy pręt o stałym przekroju kołowym, którego jeden koniec jest utwierdzony, a na drugi swobodny działa moment skręcający Ms. Na zakreskowany element prostokątny działają naprężenia styczne . Zwroty tych naprężeń odpowiadają odkształconej postaci elementu. Przy skręcaniu pręta jego tworzące przyjmują kształt linii śrubowych i obracają się o kąt odkształcenia postaciowego . W przypadku małych odkształceń możemy przyjąć następujące założenia: w przekrojach poprzecznych pręta, prostopadłych do jego osi, występują tylko naprężenia styczne, przekroje poprzeczne, płaskie przed odkształceniem, pozostają po odkształceniu przekrojami płaskimi, promienie przekrojów poprzecznych pręta po odkształceniu pozostają odcinkami linii prostych.

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych Na podstawie przyjętych założeń ustalamy warunki geometryczne wycięcia tego elementu pręta o długości dx, ograniczonego dwiema płaszczyznami prostopadłymi do osi pręta i powierzchnią cylindryczną o promieniu . Przy skręcaniu przekrój II obróci się względem przekroju I o kąt obrotu d, a promień OB =  zajmie nowe położenie OB’. Temu odkształceniu odpowiada kąt odkształcenia postaciowego p tworzącej AB na walcowej powierzchni. Wyrażając długość łuku BB’ za pomocą kątów p i d, otrzymamy

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych Kąt odkształcenia postaciowego Po wykorzystaniu związku określającego prawo Hooke'a otrzymuje się gdzie: - moduł sprężystości postaciowej (moduł Kirchoffa)  - liczba Poissona Powyższe wzory prowadzą do uzyskania funkcji naprężenia stycznego

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych W przypadku rozpatrywanego przekroju d/dx = const, stąd występujące naprężenia styczne mają wartości proporcjonalne do promienia  i są do niego prostopadłe. Na element przekroju poprzecznego pręta dA działa siła wewnętrzna pdA, daje moment względem punktu O na ramieniu 

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych po uwzględnieniu funkcji naprężenia stycznego równanie przyjmuje postać jeżeli scałkujemy obie strony tego równania, otrzymamy gdzie I0 oznacza biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta względem jego środka ciężkości. Po rozdzieleniu zmiennych w wyrażeniu mamy Po scałkowaniu obu stron tego równania otrzymamy wzór określający kąt skręcenia pręta

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych Moment skręcający Ms uważamy za dodatni, gdy jego wektor skierowany jest na zewnątrz przekroju badanej części. Ze poprzedniego wzoru wynika, że kąt skręcenia  jest proporcjonalny do wartości momentu skręcającego Ms i długości pręta l. Występujący w mianowniku iloczyn modułu sprężystości postaciowej G materiału i biegunowego momentu bezwładności I0 nazywamy sztywnością skręcania. W celu wyprowadzenia wzoru na naprężenia styczne przy skręcaniu wyznaczamy ze związku i podstawiamy do wcześniejszej zależności określającej funkcję naprężenia stycznego stąd

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych Największa wartość naprężeń stycznych występuje w punktach przekroju najbardziej oddalonych od środka ciężkości tego przekroju gdzie: W0 = I0/max jest wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie. Ze wzoru wynika, że największa wartość naprężeń stycznych jest równa ilorazowi wartości momentu skręcającego i wskaźnika wytrzymałości przekroju na skręcanie. Obliczenia prętów poddanych skręcaniu sprowadzają się do warunku wytrzymałościowego i warunku sztywności. Porównując te naprężenia z wartością naprężeń dopuszczalnych skręcających ks otrzymujemy warunek wytrzymałościowy Drugi podstawowy warunek sprowadza się do określenia wartości kąta skręcenia  pręta i porównania tej wartości z wartością dopuszczalnego kąta skręcenia dop

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych Przykład 1 Pręt stalowy o przekroju kołowym, utwierdzony jednym końcem, jest obciążony trzema momentami skręcającymi M1 = 3 kNm, M2 = 7 kNm, M3 = 6 kNm. Sporządzić wykres momentów skręcających, maksymalnych naprężeń stycznych i kątów skręcenia. Do obliczeń przyjąć: d = 8 cm, l = 0,2 m, G = 8  104 MPa. Rozwiązanie Na początku obliczamy wartości momentów skręcających w poszczególnych przekrojach poprzecznych pręta. Momenty skręcające wyznaczamy jako sumę algebraiczną tych momentów, działających po lewej stronie rozpatrywanego przekroju.

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych Otrzymane wartości momentów skręcających umożliwiają sporządzenie wykresu tych momentów. Wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie wynosi gdzie biegunowy moment bezwładności jest równy

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych A więc maksymalne naprężenia styczne w poszczególnych przekrojach pręta są równe Kąty skręcenia poszczególnych przekrojów wynoszą

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych Przykład 2 Drążony wałek o zmiennym przekroju kołowym jest obciążony momentami skręcającymi skupionymi i rozłożonymi w sposób ciągły. Sporządzić wykresy momentów skręcających, maksymalnych naprężeń stycznych i kątów skręcenia. Do obliczeń przyjąć następujące dane: M1 = 0,5 kNm, M2 = 1 kNm, ms = 2 kNm/m, l = 0,5 m, do = 3 cm, d1 = 5 cm, d2 = 4 cm, G = 8104 MPa. Rozwiązanie Sposób rozwiązania zadania jest analogiczny do zastosowanego w przykładzie poprzednim. Wartość momentu MA w utwierdzeniu można określić, wykorzystując warunek równowagi w odniesieniu do wszystkich zewnętrznych momentów skręcających.

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych Warunek równowagi sumy momentów skręcających względem osi Ax wzdłużnej wałka jest następujący Z równania tego wyznaczamy wartość momentu MA Wartości momentów skręcających w kolejnych przekrojach są równe Dla x=1m mamy MCD=1103Nm Dla x=1,5m mamy MCD=0

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych Wskaźniki wytrzymałości przekrojów na skręcanie wynoszą Stąd maksymalne naprężenia styczne w poszczególnych odcinkach wałka wynoszą

Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych Najbardziej niebezpiecznym przekrojem wałka jest przekrój C od strony prawej, bowiem tam naprężenia styczne osiągają największą wartość 116 MPa. Kąty skręcenia są odpowiednio równe

Zagadnienia statycznie niewyznaczalne przy skręcaniu Przeprowadzimy analizę pręta o średnicy d utwierdzonego na obu końcach i obciążonego momentem skręcającym M w przekroju znajdującym się w odległości l od lewego końca pręta A. W obu utwierdzonych końcach pręta A i C wystąpią momenty jako reakcje MA i MC. Po ułożeniu równania momentów względem osi podłużnej pręta Stwierdzamy, że warunek równowagi nie wystarcza do określenia reakcji więzów. Zatem, zagadnienie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne. Aby wyznaczyć wielkości statycznie niewyznaczalne, należy napisać równanie współzależności odkształceń, które dotyczy kątów skręcenia poszczególnych przekrojów pręta

Zagadnienia statycznie niewyznaczalne przy skręcaniu Po uproszczeniu i rozwiązaniu powyższego równania otrzymujemy wartość momentu utwierdzenia MA Podstawiając tę wartość do równania sumy momentów, obliczamy moment utwierdzenia MC

Zagadnienia statycznie niewyznaczalne przy skręcaniu Przykład Jakim momentem skręcającym MB należy obciążyć przekrój B wałka, pokazanego na rysunku, aby doznał on skręcenia o kąt B względem przekroju A? Obliczyć maksymalne naprężenie styczne i wskazać najbardziej niebezpieczny przekrój wałka. Rozwiązanie Reakcjami utwierdzeń są momenty MA i MC, których zwroty przyjmujemy dowolnie. Warunkiem równowagi dla wałka będzie suma momentów skręcających

Zagadnienia statycznie niewyznaczalne przy skręcaniu Drugie równanie konieczne do wyznaczenia nieznanych momentów MA i MC będzie dotyczyło kątów skręceń wałka. W tym celu układ jednokrotnie statycznie niewyznaczalny zastępujemy równoważnym układem (rysunek) po odrzuceniu utwierdzenia C i zastąpieniu jego oddziaływania na wałek momentem MC. Z warunków zamocowania wynika, że kąt skręcenia AC jest równy zeru. Zatem drugie równanie współzależności odkształceń możemy zapisać Po uproszczeniu możemy wyrazić moment MC w funkcji momentu MB

Zagadnienia statycznie niewyznaczalne przy skręcaniu Kąt skręcenia w przekroju B wynosi Podstawiając do powyższego wzoru wyrażenie określające wartość momentu MC otrzymamy Maksymalne naprężenia styczne w poszczególnych przekrojach wałka są równe

Zagadnienia statycznie niewyznaczalne przy skręcaniu Wykresy momentów skręcających i maksymalnych naprężeń stycznych przedstawiono rysunku. Maksymalne naprężenia styczne na odcinku wałka AB są większe od maksymalnych naprężeń stycznych na części BC Stąd niebezpieczny przekrój wystąpi na części AB wałka.

Skręcanie prętów o przekroju niekołowym Wyprowadzone wzory na kąt skręcenia i naprężenia styczne są ważne tylko dla prętów o przekrojach kołowych. Przy skręcaniu prętów o przekrojach niekołowych, np. o przekroju prostokątnym, obserwujemy bardziej złożony obraz odkształceń niż w przypadku pręta o przekroju kołowym. Pod wpływem przyłożonego momentu skręcającego przekroje poprzeczne tego pręta ulegają wypaczeniu (deplanacji). Oznacza to, że pierwotnie płaski przekrój nie będzie płaski. Wynika stąd wniosek, że w przypadku skręcania prętów o przekrojach niekołowych nie może być stosowana hipoteza płaskich przekrojów. A więc metodami wytrzymałości materiałów nie można określić odkształceń i naprężeń stycznych. Zagadnienie to zostało opracowane na podstawie teorii sprężystości

Skręcanie prętów o przekroju niekołowym Na rysunku przedstawiono rozkład naprężeń stycznych w przekroju prostokątnym przy skręcaniu swobodnym pręta. Skręcaniem swobodnym nazywamy takie skręcanie, które pozwala na swobodną deplanację (odkształcenie przestrzenne) przekroju poprzecznego. Największe naprężenia styczne występują w środku dłuższego boku h prostokąta. Możemy je obliczyć ze wzoru Kąt skręcenia pręta o długości l określa zależność Wartości współczynników α i  otrzymane na podstawie teorii sprężystości zamieszczono w tablicy.