Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

Wiemy, że na pytanie ; co to jest liczba ?, należy odpowiedzieć pytaniem ; a o jaką liczbę chodzi ? Liczba naturalna ( całkowita, wymierna, rzeczywista ) jest to element tak określonego zbioru ; ………. i tu podajemy sposób jego zbudowania. Poznaliśmy kilka wersji konstrukcji zbioru liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych. Przypomnę, że najbliższy nam ( bo szkolny ) jest sposób określenia liczby naturalnej jako liczby kardynalnej ( moc zbioru ). Pojęcia i działania na liczbach kardynalnych oparte są na wszystkim znanej wiedzy z teorii zbiorów. Ze względów dydaktycznych zwrócę uwagę na jedną z konstrukcji zbioru liczb całkowitych C ( Z ) i wymiernych W ( Q ), jako zbioru par odpowiednich liczb. Gdy mamy bierzemy W tym zbiorze definiujemy relację „ ~ ” między parami liczb naturalnych która jest relacją „ ~ ” jest równoważnościową.

Podzbiór par, które są w relacji z ( n , m ) nazywamy klasą abstrakcji ( warstwę ), oznaczamy i nazywamy liczbą całkowitą. Zauważmy, że Własności tych klas, uzasadnią ci, którzy poznają algebrę ogólną ( abstrakcyjną ). Oznaczmy gdzie Ten nowy zbiór nazywamy zbiorem liczb całkowitych. Na tych nowych liczbach ( klasach abstrakcji ) zdefiniowaliśmy dodawanie i mnożenie :

Bierzemy dowolnych reprezentantów Te przykłady pozwalają przypuszczać, że poprawnie określiliśmy działania, ale trzeba uzasadnić, że wyniki nie zależą od wyboru reprezentantów. Łatwo wykazać, że zbiór ( tych nowych ) liczb całkowitych z dodawaniem i mnożeniem tworzy strukturę pierścienia. Korzystając z umowy gdzie można zdefiniować relację która ten zbiór porządkuje w sposób dyskretny.

Mamy zbiór liczb całkowitych. W poprzedniej prezentacji pośród kilku konstrukcji zbioru liczb wymiernych; poznaliśmy podobną do poprzedniej. Przypomnijmy. Bierzemy W tym zbiorze definiujemy relację „ ≈ ” między parami liczb całkowitych która jest relacją równoważnościową i dzieli zbiór tych par na klasy abstrakcji. Tak otrzymane klasy abstrakcji zapisujemy i nazywamy liczbami wymiernymi, na których zdefiniowaliśmy działania :

Nasze doświadczenie w działaniach na ułamkach podpowiada, że wyniki nie zależą od wyboru reprezentantów danych ułamków ( jak weźmiemy byle jakich reprezentantów to będziemy się męczyć z rachunkami ). Badając własności dodawania i mnożenia stwierdziliśmy, że zbiór liczb wymiernych z dodawaniem i mnożeniem tworzy strukturę ciała. Określając w zbiorze liczb wymiernych relację „ < ” porządkujemy go w sposób gęsty. Mam nadzieję, że śledzący moje prezentacje zauważyli, że w prezentacjach w których pokazuję konstrukcje zbiorów liczbowych, są luki, niekiedy brak precyzyjnych określeń, zwłaszcza pod koniec prezentacji. Ale na usprawiedliwienie zdradzę, że celem tych prezentacji jest pokazanie drogi ( nie patrząc pod nogi ) prowadzącej do obiektu, którym jest konkretny zbiór liczb.

A po precyzyjne konstrukcje zbiorów odsyłam do akademickich podręczników lub na studia. Jak już wspomniałem, nie bez powodu na wstępie tej prezentacji przypomniałem szczególne sposoby budowania zbiorów liczb całkowitych i wymiernych. Podejrzewam, że przechodząc do konstrukcji liczb rzeczywistych, ( jako, że ciągle zwracam uwagę na analogie w matematyce ) większość z was podpowie, by utworzyć zbiór par liczb wymiernych. Nie idźcie tą drogą ! Dlaczego ? Skąd mam wiedzieć, że ta droga nie doprowadzi do celu. Odpowiedź, nie bo nie, lub , bo w matematyce jest inna, nie wszystkich ( i słusznie ) satysfakcjonuje. Wskażmy jeden argument, prawie wszystkim znany. W prezentacji @ Moc podstawowych zbiorów liczbowych @ wykazaliśmy, że Zbiory te nazywamy przeliczalnymi.

Wtedy też posługując się zbiorami liczbowymi, wykazaliśmy twierdzenia, które uogólnimy na dowolne zbiory Suma mnogościowa, Iloczyn kartezjański zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. W wymienionej prezentacji uzasadniliśmy, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny ( nie można kolejno ustawić wszystkich liczb rzeczywistych ) ( alef 1 - moc continuum ) Przypomnijmy, że nazywamy zbiorem liczb niewymiernych, oraz ( liczb wymiernych jest „ mniej ” niż niewymiernych ). Z powyższych twierdzeń wynika, że zbioru liczb rzeczywistych ( mocy continuum ) nie można otrzymać jako zbiór par liczb wymiernych ( który jest przeliczalny ). Stąd wnosimy, że zbiór liczb rzeczywistych należy zbudować inaczej niż całkowitych, czy wymiernych. Spróbujmy odwołać się do geometrycznej interpretacji liczb na osi liczbowej.

. . . . . . . . . . . . N . C - = C . -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 7 8 9 Idąc naprzód, krok po kroku, otrzymując liczby naturalne przypomina nam się aksjomatyka Peany : rozpoczynamy od 0 , potem „ następniki ” i zasada indukcji. Cofając się, tworząc „ poprzedniki ” i dzięki wstecznej indukcji otrzymujemy wszystkie liczby całkowite ujemne. Których liczb jest więcej ; naturalnych, czy całkowitych ? Nie jest to intuicyjne, ale np. funkcja na która jest różnowartościowa i uzasadnia, że zbiory są równoliczne ( przeliczalne ). Ile liczb wymiernych jest między liczbami 1 a 2 ? Każdy odpowie nieskończenie wiele. Nawet uczeń szkoły podstawowej potrafi wymienić ich dowolnie dużo, np. Między każde kolejne liczby całkowite „ wkładamy ” nieskończenie wiele liczb wymiernych .

C Między każde kolejne liczby całkowite „ wkładamy ” nieskończenie wiele liczb wymiernych . ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. W Nanieśmy liczby wymierne na oś liczbową ( czerwone punkty ). Między każde dwa zaznaczone kolejne czerwone punkty, których jest nieskończenie wiele, „ dołożyliśmy ” nieskończenie wiele punktów. Co więcej, wykazaliśmy, że między każde dwa czerwone punkty ( liczby wymierne ) musimy „ wcisnąć nieskończenie wiele czerwonych punktów ( liczb wymiernych ). Czy liczb wymiernych jest więcej niż liczb całkowitych ? Czy cała oś będzie czerwona ? Czy będą „ dziury ” ? Mam nadzieję, że każdy, kto zna poprzednie prezentacje, wbrew intuicji powie, że liczb całkowitych i wymiernych jest tyle samo ( co dowiedliśmy ).

. . . . . . . . . C 1 2 3 4 5 7 8 9 ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. W Niewiarygodne, ale prawdziwe, na pierwszej osi, czerwonych punktów ( liczb naturalnych ), jest tyle samo, co na drugiej ( liczb wymiernych ). Odpowiedzmy na dalsze pytania : Czy cała oś będzie czerwona ? Czy na osi są „ dziury ” ? Jeżeli są, jak jest ich dużo ? Wprawdzie odpowiedzi znamy, ale przypomnijmy uzasadnienia. Wskażmy „ dziurę ”. Rozważmy zbiory : Już gimnazjaliści wiedzą, że nie istnieje liczba wymierna, której kwadrat wynosi 5. Jakie własności mają te zbiory ? Zbiór X jest ograniczony z dołu, Y ograniczony z góry. kres dolny zb. X ; kres górny zb. Y ; Zatem, między tymi zbiorami jest luka, dziura. Takich luk jest niekończenie wiele ( tak jak liczb niewymiernych ).

I. Skoro w zbiorze liczb wymiernych, istnieją zbiory o wspomnianej własności ( zbiory ograniczone z góry, nie mają górnych kresów ) to zażądamy, by w zbiorze liczb rzeczywistych takich zbiorów nie było. Ponieważ wspomniane „ luki ” na osi „ likwidujemy ”, „ dziury ”, „ zatykamy ”, własność tą nazywamy aksjomatem ciągłości. Teraz możemy przejść do konstruowania zbioru liczb rzeczywistych. Przypomnijmy z prezentacji @ Zbiór liczb rzeczywistych @ aksjomatykę zbiorów liczb rzeczywistych. I. Wypiszmy wszystkie własności działań dodawania i mnożenia oraz relacji mniejszości. znane z edukacji matematycznej nawet na poziomie szkoły podstawowej.

D1 M1 D2 M2 M3 D3 D4 M4 N1 N2 N3 N4 N.D. N.M.+ N.M.- ( Z , + , ∙ , < ) D1 M1 D2 M2 M3 D3 pierścień D4 grupa M4 M.D. ciało N1 N2 N3 N4 N.D. N.M.+ ciało uporządkowane N.M.-

W tym momencie warto przypomnieć pewne urządzenie, które nazwałem „ przesiewaczem ” dla zbiorów ( znanych z prezentacji ) z działaniami : D1 - D3 - - - - - - - - - - - - - - - - - D4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ? ? ? ? ? ? M1 - M3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M.D. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - N1 - N3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - N.D. N.M. C ! Sprawdźmy na którym sicie zatrzymają się kolejne zbiory. Przez wszystkie sita przeleciały trzy rozpatrywane zbiory. Przydałoby się jeszcze jedno sito ( własność C ) przez które przeszedłby tylko zbiór liczb rzeczywistych. Przypomnijmy własność C zwaną aksjomatem ciągłości

C : Tą własność określamy wykorzystując pewne własności zbiorów : ograniczoność, ekstrema, kresy . zdefiniowaną przez Dedekinda czyli aksjomat ciągłości . Dla intuicyjnego przybliżenia pojęcia ciągłości polecam kilka slajdów ( 10 – 13 ) prezentacji @ Zbiór liczb rzeczywistych @ Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór C : zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny. Spośród omawianych przez nas zbiorów, tylko zbiór liczb rzeczywistych spełnia omawiane przez nas własności. Na podstawie naszych rozważań, stwierdzamy, że zbiór liczb spełniający powyższe warunki jest zbiorem liczb rzeczywistych, a liczba tego zbioru jest liczbą rzeczywista. Mam nadzieję, że doświadczenie podpowiada nam, iż również aksjomat ciągłości Dedekinda można sformułować inaczej. Czy te nasze dociekania i wnioski są poprawne ? Opierając się na naszej matematycznej wiedzy i przykładach chyba wszyscy się z tym zgodzą,

1. ( R , + , ∙ , 0 , 1 , ≤ ) jest ciałem uporządkowanym choć ci, którzy mają więcej wiedzy matematycznej, bądź są bardziej dociekliwi, zauważą pewne nieścisłości. Jeszcze raz usprawiedliwię się ; te prezentacje mają być inspiracją do matematycznych dociekań. Po tym przypomnieniu wszystkich warunków sformułujmy poprawnie matematycznie : Zbiór liczb R z dwoma działaniami i relacją „ ≤ ” który ma strukturę algebraiczną spełniającą warunki : 1. ( R , + , ∙ , 0 , 1 , ≤ ) jest ciałem uporządkowanym 2. aksjomat ciągłości : każdy niepusty podzbiór R, i ograniczony z góry ma kres górny jest zbiorem liczb rzeczywistych. Poszukajcie nieścisłości w poprzedniej wersji. Jeszcze bardzo krótkie określenie : Zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy ciało. uporządkowane ciągłe. Krótkie, ale występują nieznane nam pojęcia.

II. 1. A ≠ Ǿ , B ≠ Ǿ 2. A u B = X 3. jeżeli a є A i b є B to a < b Szkic konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych przy pomocy przekrojów Dedekinda. Równoważne sformułowanie aksjomatu ciągłości można otrzymać, używając przekrojów Dedekinda, które definiujemy następująco : Niech X będzie niepustym zbiorem takim, że między jego elementami określona jest relacja silnego porządku liniowego „ < ”, którą będziemy nazywać relacją mniejszości. Przekrojem Dedekinda zbioru X nazywamy parę zbiorów ( A , B ) taką, że A , B X oraz spełnione są następujące warunki: 1. A ≠ Ǿ , B ≠ Ǿ 2. A u B = X 3. jeżeli a є A i b є B to a < b Zbiór A nazywamy klasą dolną, a zbiór B klasą górną przekroju Przekrój wyznaczony parą zbiorów ( A , B ) oznaczamy [ A , B ]. Przekrój Dedekinda określa liczbę rzeczywistą.

III. Na tych przekrojach – liczbach określamy działania : dodawanie ; mnożenie ; ( przypadek jak wyżej ) porządek ; Wykazuje się, że zbiór R z działaniami „ + ”, „ ∙ ” i porządkiem „ < ” określonymi jak wyżej, spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego oraz aksjomat ciągłości Dedekinda. III. Szkic konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych przy pomocy ciągow Cauchy’ego liczb wymiernych. Do zrozumienia tego określenia liczb rzeczywistych, potrzebna jest wiedza o ciągach zbieżnych, którą można znaleźć w moich prezentacjach.

Niech Ƒ ( N , Q ) będzie zbiorem wszystkich odwzorowań zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb wymiernych. ( ciągów o wyrazach wymiernych ). Ciąg liczb wymiernych nazywamy ciągiem Cauchy’ego, gdy Zbiór wszystkich ciągów Cauchy'ego, należących do oznaczmy symbolem W zbiorze wprowadźmy działania : Dla tych, którzy mają za sobą działania na ciągach, definicje te są oczywiste. Po zbadaniu własności dodawania i mnożenia określmy relację „ ≤ ” :

oraz zależności tej relacji z dodawaniem i mnożeniem. Następnie w zbiorze ( ciągów Cauchy’ego ) wprowadźmy relację „ ~ ” Należy sprawdzić, że jest ona zwrotna, symetryczna i przechodnia czyli jest relacją równoważnościową, i dzieli zbiór na klasy abstrakcji ( warstwy ), które zapisujemy Zbiór tych klas ( warstw ) nazywamy przestrzenią ilorazową i oznaczamy go Teraz w tej przestrzeni ilorazowej definiujemy działania. Mamy już w tym względzie doświadczenia, więc wiemy je określić.

Działania „ + ” , „ ∙ ” oraz własności : dodawanie el. neutralny „ + ” – ciąg stale równy 0 el. przeciwny mnożenie el. neutralny „ ∙ ” ciąg stale równy 1 porządek Należy wykazać, że w powyższych działaniach wyniki nie zależą od wyboru reprezentantów. Okazuje się, że przestrzeń ilorazowa z tak określonymi działaniami i relacją „ ≤ ” spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego Właśnie przestrzeń ilorazowa jest zbiorem liczb rzeczywistych R.

IV. Klasę równoważności ciągu stałego równej liczbie wymiernej q, utożsamiamy z liczbą q є W. Ciało liczb rzeczywistych zawiera podzbiór ( zbiór klas ciągów stałych ) który z działaniami i relacją „ ≤ ”, spełniający aksjomaty liczb wymiernych. Mówimy, że W ( Q ) zanurzyliśmy w R. Mamy już trzy wersje konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych. Poznajmy jeszcze jedną, tym bardziej , że podał ją polski matematyk A. Tarski Alfred Tarski stworzył alternatywną, minimalistyczną aksjomatykę. IV. Aksjomatyka Tarskiego Niech R będzie zbiorem, „ < ” relacją w R , „ + ” działaniem . Niech 1 będzie stałą.

1. „ < " jest relacją asymetryczną 2. .Aksjomaty porządku 1. „ < " jest relacją asymetryczną 2. 3. Jeśli każda liczba rzeczywista ze zbioru X jest mniejsza od każdej liczby rzeczywistej ze zbioru Y , to istnieje liczba rzeczywista z większa od każdej liczby z X i mniejsza od każdej liczby z Y Aksjomaty dodawania 4. 5. Dla dowolnych x , y , istnieje z , takie że 6. Aksjomaty jedności 7. 8. W aksjomatach Tarskiego nie jest używane mnożenie. Udowodnił on jednak, że z tych aksjomatów wynika istnienie działania mnożenia, spełniającego wraz z dodawaniem aksjomaty ciała.

Zainteresowało nas pytanie ; co to jest liczba ? Wiemy, o czym mówimy, gdy prosimy o dwa jabłka. Ale samo „ dwa ” ? Konia z rzędem temu, kto nie będąc zawodowym matematykiem, potrafi dać sobie radę z definicją choćby najprostszych liczb naturalnych, mając na myśli którąś z ciągu 1, 2, 3 , ... . Ale o liczbach ,, przeróżnych '' warto czasem coś wiedzieć, tym bardziej, że - nie wiedzieć czemu - ten temat w szkolnych podręcznikach matematyki bywa najczęściej pomijany. Liczba jest istotą wszystkich rzeczy. Tak pouczał katechizm tajemniczego, bractwa pitagorejczyków. „ Bóg stworzył liczby naturalne Pitagoras inne są dziełem człowieka ”, twierdził L. Kronecker. twierdził L. Kronecker. G. Peano do skonstruowania liczb naturalnych potrzebował tylko pięć aksjomatów.

Wtedy Ale wedle propozycji J. von Neumanna, rola Stwórcy jest bardziej ograniczona : Bóg stworzył zbiór pusty ; a całą teorię liczb budują matematycy. W 1930 r. A. Church poszedł jeszcze dalej Do konstrukcji liczby naturalnej Churcha, potrzebny jest argument x, funkcja f . Wtedy i te obiekty nazywamy liczbami Churcha. Zauważmy, że rozważane obiekty nie są bezpośrednio liczbami, ale można z nich skonstruować liczby naturalne, A. Church stworzył liczby naturalne, a dokładniej tzw. rachunek lambda, który jest niezwykle potężnym narzędziem badawczym w matematyce. Powróćmy do interesującego nas pytania, które stawiają już przedszkolacy ; co to jest liczba ?,

Proste, banalne pytanie ( wszyscy posługujemy się liczbami ) a odpowiedzi nie uzyska, nie tylko przedszkolak. A na bardziej konkretne pytanie ; co to jest liczba naturalna ( całkowita, wymierna, rzeczywista ), poznaliśmy kilka równoważnych wersji. W liceum wszyscy poznaliśmy ( nie zawsze zdawaliśmy sobie z tego sprawę ), aksjomatykę zbioru liczb rzeczywistych. W tej prezentacji ( już po raz drugi ), pokazałem „ przesiewacz ”, w oparciu o który „ okazało się ”, że „ tylko ” zbiór liczb rzeczywistych, spełnia postawione aksjomaty. Czy to rzeczywiście prawda ? Jak zwykle odpowiedź zależy od poziomu edukacji. Ponieważ często sięgamy po matematykę z górnej półki, przytoczę twierdzenie, które odpowiada na to pytanie. Istnieje ciało uporządkowane ciągłe. Jeżeli F1 , F2 są dwoma takimi ciałami, to istnieje silnie rosnąca bijekcja f ; F1 i F2 taka, że

Zapraszam Koniec prezentacji To twierdzenie, nie daje jednoznaczną odpowiedź na postawione pytanie, co więcej podpowiada, że takich zbiorów jest więcej ( ale zachodzą między nimi pewne zależności ) o czym będzie mowa na matematyce wyższej. co to jest liczba ? Postawiliśmy proste pytanie ; I nie tylko nie mamy odpowiedzi, lecz pojawiło się dużo dalszych problemów i pytań. Ale to nas nie dziwi. Zapraszam do następnej prezentacji, w której zapytamy ; czy są inne liczby ? Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. tel. 14 690 87 61 Koniec prezentacji belferww@ op.pl