Projektowanie Inżynierskie P a ń s t w o w a W y ż s z a S z k o ł a Z a w o d o w a w N y s i e Instytut Zarządzania Projektowanie Inżynierskie Konstrukcje rozciągane i ściskane cd… Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk e-mail: piotr_chwastyk@pwsz.nysa.pl www.chwastyk.pwsz.nysa.pl

Analiza pręta statycznie wyznaczalnego - przykład Pręt ACE o dwóch różnych średnicach, utwierdzony w punkcie A, jest obciążony w przekrojach B i D siłami 5P = 500 kN i P = 100 kN. Przekrój poprzeczny części pręta AC = 2l = 1 m jest równy 2A = 410-3 m2, a części CE = 2l = 1m wynosi A = 2 10-3 m2. Pręt jest wykonany ze stali konstrukcyjnej węglowej St3S, dla której współczynnik sprężystości wzdłużnej wynosi E = 2,1105 MPa i granicy sprężystości Re = 220 MPa. Narysować wykresy sił normalnych, naprężeń normalnych i przemieszczeń w funkcji długości pręta. Obliczyć współczynnik bezpieczeństwa n odniesiony do granicy plastyczności Re = 220 MPa.

Analiza pręta statycznie wyznaczalnego - przykład Rozwiązanie Reakcja w miejscu utwierdzenia pręta jest równa Badając równowagę myślowo odciętych części pręta, otrzymuje się

Analiza pręta statycznie wyznaczalnego - przykład Biorąc pod uwagę wartości tych sił, obliczono naprężenia normalne

Analiza pręta statycznie wyznaczalnego - przykład Odkształcenia kolejnych odcinków pręta wynoszą Przemieszczenia poszczególnych przekrojów pręta są równe Współczynnik bezpieczeństwa, z jakim pracuje pręt, oblicza się ze wzoru

Dwuwymiarowy stan naprężenia Płaski stan naprężenia występuje na przykład w tarczy prostokątnej, obciążonej zrównoważonym układem naprężeń normalnych 1 i 2, równomiernie rozłożonych na jej krawędziach. Rozpatrzymy równowagę pryzmatu trójkątnego wykrojonego z rozważanej tarczy. Na ścianach AC i AB wydzielonego elementu działają naprężenia 1 i 2, które traktujemy jako wielkości znane. Natomiast w przekroju BC nachylonym pod kątem α do pionu naprężenia są określone składową normalną α i styczną α, które obliczymy z warunków równowagi. Oznaczmy w tym celu przez A pole ściany BC.

Dwuwymiarowy stan naprężenia Suma rzutów wszystkich sił działających na wydzielony element na kierunek n wynosi Następnie rzutując siły na kierunek t prostopadły do n, otrzymamy Po przekształceniach wyznaczymy funkcje naprężeń normalnych α i stycznych α

Dwuwymiarowy stan naprężenia Równania te przedstawimy w innej postaci, zastępując funkcje trygonometryczne kąta α przez odpowiednie funkcje kąta podwojonego 2α: sin2α = (1-cos2α)/2, cos2α = (l + cos2α)/2, sinαcosα = 0,5sin2α Są to równania parametryczne funkcji α = f(α), gdzie kąt α jest parametrem. Po przekształceniach i podniesieniu do równań kwadratu otrzymamy Wyeliminowania parametru α dokonujemy przez dodanie stronami równań

Dwuwymiarowy stan naprężenia Wykresem tej funkcji jest tzw. koło Mohra dla naprężeń, którego promień jest równy r = 0,5(1 -  2), a współrzędne środka wynoszą B [0,5(1 + 2); 0]. W celu znalezienia naprężenia normalnego α i stycznego α w przekroju, którego normalna tworzy z dodatnim kierunkiem naprężenia głównego 1 kąt α, należy odłożyć z punktu B dodatnią wartość kąta 2α i wykreślić promień r. Punkt D na kole naprężeń odpowiada rozważanemu przekrojowi, a jego odcięta OE i rzędna DE określają odpowiednio naprężenia normalne α i styczne α.

Dwuwymiarowy stan naprężenia Z koła Mohra wynikają własności płaskiego stanu naprężeń. Istnieją dwa takie przekroje, które charakteryzują się tym, że naprężenia styczne w tych przekrojach są równe zeru, a naprężenia normalne osiągają wartości ekstremalne max i min. Kierunki określające te przekroje wyrażają tzw. główne kierunki naprężeń. Z koła Mohra wynika, że główne kierunki naprężeń są do siebie prostopadłe. W przypadku dwuwymiarowego stanu naprężenia określonego składowymi ogólnymi x, y i  funkcje określające naprężenia normalne α i styczne α są następujące

Dwuwymiarowy stan naprężenia a wartości naprężeń głównych obliczamy ze wzorów W płaskim stanie naprężenia istnieją dwa takie przekroje wzajemnie do siebie prostopadłe, w których naprężenia styczne osiągają wartości ekstremalne Natomiast naprężenia styczne działające na płaszczyznach do siebie prostopadłych są sobie równe i mają przeciwne zwroty

Dwuwymiarowy stan naprężenia - przykład Wyznaczyć naprężenia występujące w przekroju określonym kątem  = /6 płaskownika rozciąganego naprężeniami 1 = 20 MPa Rozwiązanie Metoda analityczna Wartości naprężeń α i α określamy z zależności

Dwuwymiarowy stan naprężenia - przykład Metoda wykreślna Dla danych podanych w treści sporządzamy koło Mohra

Trójwymiarowy stan naprężenia Uogólnieniem płaskiego stanu naprężenia jest stan trójwymiarowy, gdy na ścianki prostopadłościanu działają naprężenia główne 1, 2, 3.

Trójwymiarowy stan naprężenia Za pomocą kół Mohra możemy wyznaczyć naprężenia normalne α i styczne α w płaszczyznach o dowolnym nachyleniu. Poprowadzimy przekrój płaszczyzną równoległą do osi O1. Naprężenie 1 nie wpływa tu zupełnie na naprężenia α i α przynależne temu przekrojowi. Naprężenia te będą zależne tylko od naprężeń 2, 3 i będą wyznaczone z koła Mohra. Równanie określające koło naprężeń w tym przypadku ma postać

Trójwymiarowy stan naprężenia W podobny sposób wyznaczymy naprężenia w przekrojach równoległych do osi O2 (rys. c) i osi O3 (rys. d). Naprężenia te przedstawiono na kołach Mohra o średnicach 1 - 3 i 1 - 2.

Trójwymiarowy stan naprężenia Po przeniesieniu tych trzech kół naprężeń na jeden wykres otrzymujemy obraz, który w analizie trójwymiarowego stanu naprężenia spełnia podobną rolę, jak pojedyncze koło Mohra dla stanu dwuwymiarowego. Dla przekrojów nachylonych do trzech osi odpowiadające im naprężenia n i n są równe współrzędnym punktów leżących między trzema kołami w polu zakreskowanym. Największemu naprężeniu stycznemu odpowiada największa rzędna CH

Trójwymiarowy stan naprężenia - przykład W prostopadłościanie przedstawionym na rysunku naprężenia główne wynoszą 1 = -60 MPa, 2 = 30 MPa, 3 = -10 MPa. Narysować układ kół Mohra i wyznaczyć naprężenia w przekroju przedstawionym na rysunku, gdy kąt α = /6. Obliczyć wartość maksymalnych naprężeń stycznych. Rozwiązanie Metoda analityczna Wartości naprężeń α i α obliczamy z zależności Maksymalne naprężenie styczne wynosi

Trójwymiarowy stan naprężenia - przykład Metoda wykreślna