Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Geometria jest sztuką wyciągania prawidłowych wniosków ze źle sporządzonych rysunków.” Niels Henrik Abel

WZAJEMNE POŁOŻENIE DWÓCH OKRĘGÓW. Dwa okręgi mogą być położone względem siebie w różny sposób. Ze sposobu położenia względem siebie dwóch okręgów wynikają pewne zależności, które warto znać.

OKRĘGI ZEWNĘTRZNIE STYCZNE. Okręgi zewnętrznie styczne mają jeden punkt wspólny a odległość ich środków jest równa sumie długości promieni. |O1 O2| = r1 + r2

OKRĘGI WEWNĘTRZNIE STYCZNE. Okręgi wewnętrznie styczne mają jeden punkt wspólny a odległość ich środków jest równa różnicy długości promieni. |O1 O2| = r1 - r2

OKRĘGI ROZŁĄCZNE. Okręgi rozłączne nie mają punktów wspólnych a odległość ich środków może być: większa od sumy ich promieni |O1 O2| > r1 + r2 mniejsza od różnicy ich promieni |O1 O2| < r1 - r2

OKRĘGI PRZECINAJĄCE SIĘ. Okręgi przecinające się mają dwa punkty wspólne. Odległość ich środków jest większa od różnicy długości promieni, a mniejsza od sumy długości promieni. r1 - r2 <|O1 O2| < r1 + r2

FAKT. Prosta przechodząca przez środki dwóch okręgów stycznych przechodzi także przez punkt styczności.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Określ jaka jest odległość między środkami okręgów o promieniach 10 cm i 15 cm, gdy: okręgi te są styczne zewnętrznie okręgi są styczne wewnętrznie mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego większy okrąg przechodzi przez środek mniejszego W podpunktach a i b wystarczy skorzystać z wyżej wymienionych własności. W podpunktach c i d pomoże odrobina wyobraźni. Oznaczmy: O1 – środek większego okręgu, O2 -środek mniejszego okręgu.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. a) gdy okręgi są styczne zewnętrznie mamy |O1 O2| = r1 + r2 a więc: |O1 O2| = 15 cm + 10 cm = 25 cm b) gdy okręgi są styczne zewnętrznie mamy |O1 O2| = r1 - r2 a więc: |O1 O2| = 15 cm - 10 cm = 5 cm c) gdy mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego ich środki są oddalone od siebie o długość promienia mniejszego okręgu, czyli |O1 O2| = 10 cm d) gdy większy okrąg przechodzi przez środek mniejszego: |O1 O2| = 15 cm

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Okrąg o środku P ma promień długości 6 cm, a okrąg o środku Q ma promień długości 8 cm. Jakie jest wzajemne położenie tych okręgów jeśli : a) |PQ| < 2 cm ? b) |PQ| = 14 cm ? a) okręgi są rozłączne (zgodnie z wyżej podanymi własnościami zachodzi to wtedy, gdy |O1O2| < r1 - r2) b) Okręgi są styczne zewnętrznie (zgodnie z wyżej podanymi własnościami zachodzi to wtedy, gdy |O1O2| = r1 + r2)

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Jak położone są względem siebie dwa okręgi, jeśli jeden z nich ma środek w punkcie A = (-3; 5) i promień długości 5, a drugi ma środek w punkcie B = (9; 0) i promień długości 8? Na początek obliczymy długość między środkami okręgów. Dokładne zasady obliczania odległości między dwoma punktami w układzie współrzędnych znajdziesz w lekcji „Trójkąty prostokątne w układzie współrzędnych”. a = |9 – (-3)| = 12 b = |0 – 5| = 5

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. a2 + b2 = |AB|2 |AB|2 = 122 + 52 = 144 + 25 |AB|2 = 169 |AB| = = 13 r1 = 5; r2 = 8 |AB| = r1 + r2 Okręgi te są styczne zewnętrznie.