Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych Analiza matematyczna Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych dr Małgorzata Pelczar

Funkcje i ich własności DEFINICJA Funkcją f jednej zmiennej, określoną na zbiorze X i przyjmującą wartości ze zbioru Y (ozn. f:XY) nazywa się przyporządkowanie każdemu elementowi xX dokładnie jednego elementu yY. UWAGA x-argumenty funkcji f, y=f(x) wartości funkcji, X – dziedzina funkcji (ozn. Df), Y – przeciwdziedzina funkcji, {f(x)Y: xDf} = Wf – zbiór wartości funkcji.

Uwaga Jeżeli dany jest tylko wzór funkcji określający funkcję, to zbiór tych wszystkich elementów z R, dla których wzór ma sens nazywamy dziedziną naturalną.

Które wykresy są wykresami funkcji zmiennej x? b) c) x y x y x y d) e) f) x y x y x y

Równość funkcji DEFINICJA Funkcje f : DfY i g: DgY są równe (f=g), jeżeli:

Funkcja „na” DEFINICJA Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór y wtedy i tylko wtedy, gdy:

Funkcja ograniczona DEFINICJA f : DfY jest ograniczona z dołu na zbiorze A Df, jeżeli: f : DfY jest ograniczona z góry na zbiorze A Df, jeżeli:

Funkcja ograniczona DEFINICJA f : DfY jest ograniczona na zbiorze ADf, jeżeli jest ograniczona z góry i z dołu, czyli:

Funkcja złożona DEFINICJA Niech f : XY i g: ZW gdzie YZ. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję określoną wzorem:

Przykłady Określić złożenia i ich dziedziny:

Funkcja różnowartościowa DEFINICJA Funkcję nazywamy różnowartościową jeżeli:

Badanie różnowartościowości f(x) f(x1)= f(x2)= f(x3) x2 1 x1 x3 x

Funkcja odwrotna DEFINICJA Niech będzie różnowartościowa. Funkcja odwrotną do f nazywamy funkcję spełniającą warunek:

Ilustracja funkcji odwrotnej f(x) x

Przykłady Znaleźć funkcje odwrotne do podanych:

Definicje granic wg Cauchy’ego Sąsiedztwem punktu x0R o promieniu r>0 (ozn. S(x0)) nazywamy zbiór: Sąsiedztwem lewostronnym (prawostronnym) punktu x0R o promieniu r>0 (ozn. S(x0-); S(x0+)) nazywamy zbiór:

Granica funkcji DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie x0 (ozn. ) jeżeli:

Ilustracja granicy funkcji w x0 f(x) x

Granica w + DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie  (ozn. ) jeżeli: Uwaga: Definicja granicy w punkcie – jest analogiczna

Ilustracja granicy funkcji w  f(x) 1 x

Granica lewostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0 (ozn. ) jeżeli:

Granica prawostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0 (ozn. ) jeżeli:

Podać granice funkcji w punkcie 1 x f(x) a) x f(x) b) x f(x) c) x f(x) d) x f(x) e) x f(x) f)

Podać granice jednostronne funkcji w punkcie 1 x f(x) a) x f(x) b) x f(x) c) x f(x) d) x f(x) e) x f(x) f)

Przykłady Znaleźć granice funkcji:

Definicje granic funkcji wg Heinego DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie x0 (ozn. ) jeżeli:

Granica lewostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0 (ozn. ) jeżeli:

Granica prawostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0 (ozn. ) jeżeli:

Definicje Heinego a x0 x0 x0+   A g  

Warunek konieczny i dostateczny istnienia granicy TWIERDZENIE Funkcja f ma w punkcie x0 granicę (właściwą lub niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy:

Podstawowe wzory granic funkcji

Funkcja ciągłe DEFINICJA Otoczeniem punktu x0R o promieniu r >0 (ozn. O(x0,r)) nazywamy zbiór:

Otoczenia jednostronne DEFINICJA Otoczeniem lewostronnym punktu x0R o promieniu r>0 (ozn. O(x0-,r)) nazywamy zbiór: Otoczeniem prawostronnym punktu x0R o promieniu r>0 (ozn. O(x0+,r)) nazywamy zbiór:

Ciągłość funkcji w punkcie DEFINICJA Niech x0R oraz niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0). Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 jeżeli:

Lewostronna ciągłość funkcji w punkcie DEFINICJA Niech x0R oraz niech f będzie określona przynajmniej na lewostronnym otoczeniu O(x0-). Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x0 jeżeli:

Prawostronna ciągłość funkcji w punkcie DEFINICJA Niech x0R oraz niech f będzie określona przynajmniej na prawostronnym otoczeniu O(x0+). Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x0 jeżeli:

Warunek konieczny i dostateczny ciągłości funkcji TWIERDZENIE Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewo i prawostronnie ciągła.

Ciągłość funkcji na przedziale Definicja Funkcja f jest ciągła na przedziale (a,b) jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja f jest ciągła na przedziale a,b jeżeli jest ciągła w każdym punkcie przedziału (a,b) oraz lewostronnie ciągła w punkcie a i prawostronnie w punkcie b.

Ilustracja ciągłości funkcji w punkcie 1 x f(x) a) x f(x) b) x f(x) c) x f(x) d) x f(x) e)

Twierdzenia dotyczące ciągłości funkcji f i g ciągłe w x0  f +g ciągła w x0. f i g ciągłe w x0  f ·g ciągła w x0. f i g ciągłe w x0  f :g ciągła w x0, przy g(x0)0.

Ciągłość ważniejszych funkcji 1. Wielomian jest funkcją ciągłą dla xR. 2. Funkcja wymierna jest ciągła dla wszystkich xR, dla których mianownik jest różny od zera. 3. Funkcja potęgowa jest ciągła dla wszystkich x>0.

Ciągłość ważniejszych funkcji 4. Funkcja wykładnicza jest ciągła dla wszystkich xR. 5. Funkcja logarytmiczna jest ciągła dla x>0. 6. Funkcje trygonometryczne są ciągłe: f(x)=sinx i f(x)= cosx dla wszystkich xR; f(x)= tgx dla f(x)= ctgx dla

Przykłady Zbadać ciągłość funkcji w podanych punktach:

Przykład Dobrać parametry a, bR, tak aby podana funkcja była ciągła:

Nieciągłości funkcji w punkcie DEFINICJA Niech x0R oraz niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0). Funkcja f jest nieciągła w punkcie x0 jeżeli: nie istnieje lub Uwaga: Nieciągłość rozważa się tylko w punktach należących do dziedziny.

Pochodne funkcji postaci y=f(x) DEFINICJA Pochodną funkcji f w punkcie x nazywamy granicę: Pochodną oznaczamy symbolami: iloraz różnicowy

Interpretacja geometryczna Pochodna funkcji f w punkcie x jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. UWAGA Odnajdywanie pochodnej funkcji nazywa się różniczkowaniem funkcji.

Ilustracja pochodnej funkcji w x f(x) x

TWIERDZENIE Jeżeli funkcja ma w danym punkcie skończoną pochodną, to jest ciągła w tym punkcie. UWAGA Funkcja ciągła może nie mieć pochodnej, np. funkcja w punkcie x=0 nie ma pochodnej.

Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

Podstawowe wzory pochodnych funkcji

Podstawowe wzory pochodnych funkcji

Przykłady Obliczyć pochodne funkcji:

Pochodne wyższych rzędów DEFINICJA Pochodną rzędu drugiego funkcji f w punkcie x nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Drugą pochodną oznaczamy symbolami:

Pochodna rzędu n DEFINICJA Pochodną rzędu n funkcji f w punkcie x nazywamy pochodną pochodnej (n-1) rzędu tej funkcji. N-tą pochodną oznaczamy symbolami:

Przykłady Obliczyć sześć pochodnych wyższych rzędów funkcji: Obliczyć czwartą pochodną funkcji:

Twierdzenie o granicach nieoznaczonych TWIERDZENIE (reguła de L’Hospitala) Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: to:

Twierdzenie o granicach nieoznaczonych TWIERDZENIE (reguła de L’Hospitala) Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: to:

Tożsamości zmieniające rodzaje nieoznaczoności

Przykłady Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice:

Badanie przebiegu zmienności funkcji 1. Ustalenie dziedziny. 2. Wskazania właściwosci: parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość. 3. Obliczanie granic na krańcach dziedziny. 4. Znalezienie asymptot.

Badanie przebiegu zmienności funkcji 5. Zbadanie pierwszej pochodnej wyznaczenie pochodnej i jej dziedziny, wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema, ustalenie przedziałów monotoniczności, ustalenie ekstremów funkcji.

Badanie przebiegu zmienności funkcji 6. Zbadanie drugiej pochodnej wyznaczenie drugiej pochodnej i jej dziedziny, wyznaczenie miejsc, w których funkcja może mieć punkty przegięcia, ustalenie przedziałów wypukłości, ustalenie punktów przegięcia funkcji.

Właściwości funkcji-parzystość, nieparzystość Funkcja y=f(x) jest parzysta, jeżeli dla każdego xDf zachodzą warunki: -x Df oraz f(-x)=f(x). Funkcja y=f(x) jest nieparzysta, jeżeli dla każdego xDf zachodzą warunki: -x Df oraz f(-x)=-f(x).

Właściwości funkcji- okresowość i miejsca zerowe Funkcja y=f(x) jest okresowa, jeżeli istnieje TR, że dla każdego xDf zachodzi: f(x+T)=f(x). Funkcja y=f(x) ma miejsce zerowe w punkcie x0, jeżeli zachodzą warunki: x0Df oraz f(xo)=0.

Asymptoty funkcji DEFINICJA Prosta x=a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f, jeżeli: Prosta x=a jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f, jeżeli:

Ilustracja asymptoty pionowej lewostronnej funkcji x f(x)

Ilustracja asymptoty pionowej prawostronnej funkcji x f(x)

Ilustracja asymptoty pionowej obustronnej funkcji x f(x)

Asymptoty poziome funkcji DEFINICJA Prosta y=B jest asymptotą poziomą funkcji f w , jeżeli: Uwaga: Analogicznie definiuje się asymptoty w -.

Ilustracja asymptoty poziomej funkcji x f(x)

Asymptoty ukośne funkcji DEFINICJA Prosta y=Ax+B jest asymptotą ukośną funkcji f w , jeżeli: Wówczas:

Ilustracja asymptoty ukośnej funkcji x f(x)

Przykład Znaleźć asymptoty podanej funkcji:

Ekstrema funkcji DEFINICJA Funkcja f ma w punkcie x0R minimum lokalne właściwe, jeżeli: Funkcja f ma w punkcie x0R maksimum lokalne właściwe, jeżeli:

Warunek konieczny istnienia ekstremum Twierdzenie (Fermata) Jeżeli funkcja f ma: ekstremum lokalne w punkcie x0R, pochodną f (x0), to f (x0)=0.

Monotoniczność funkcji Jeżeli funkcja f jest ciągła i różniczkowalna na pewnym przedziale, to: f’(x)>0  f jest rosnąca (f) f’(x)<0  f jest malejąca (f) f’(x)=0  f jest stała

Warunek dostateczny istnienia maksimum Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: a) f (x0)=0 b) to funkcja f ma w x0 maksimum lokalne właściwe.

Warunek dostateczny istnienia minimum Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: a) f (x0)=0 b) to funkcja f ma w x0 minimum lokalne właściwe.

Warunek dostateczny istnienia ekstremum Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: a) f’(x0)=0, b) f’’(x0)<0 [f’’(x0)>0] to funkcja f ma w x0 maksimum [minimum] lokalne właściwe.

Przykład Wyznaczyć ekstrema funkcji:

Punkty przegięcia wykresu funkcji DEFINICJA Punktem przegięcia wykresu funkcji f (gdy ma ona drugą pochodną), nazywamy taki punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony krzywej na drugą.

Ilustracja punktu przegięcia wykresu funkcji f(x) x

Wyznaczanie punktów przegięcia Twierdzenie Jeżeli funkcja f ma drugą pochodną ciągła, to w punktach przegięcia f (x)=0. Jeżeli druga pochodna funkcji f przechodząc przez punkt x0 zmienia znak, to wykres funkcji f ma punkt przegięcia w x0.

Przykład Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji:

Wypukłość, wklęsłość funkcji DEFINICJA Funkcja f jest wypukła na przedziale IDf, jeżeli: Funkcja f jest wklęsła na przedziale IDf, jeżeli:

Warunek wystarczający wypukłości Twierdzenie Niech I będzie dowolnym przedziałem. Jeżeli dla każdego xI funkcja f spełnia nierówność: f (x0)>0 to jest ściśle wypukła na I, f (x0)0 to jest wypukła na I, f (x0)<0 to jest ściśle wklęsła na I, f (x0) 0 to jest wklęsła na I.

Ilustracja wypukłości funkcji f(x) x

Ilustracja wklęsłości funkcji f(x) x

Przykład Zbadać wypukłość funkcji:

Przykład Zbadać przebieg zmienności funkcji:

Funkcja wielu zmiennych DEFINICJA Zmienną u nazywamy funkcją n-zmiennych niezależnych, jeśli dla danego ciągu argumentów x1, x2,…, xn przyjmuje jednoznacznie określoną wartość liczbową. Dla n=2 u=f(x, y), dla n=3 u=f(x,y,z) dla n dowolnego u=f(x1, x2,…, xn).

Pochodna funkcji wielu zmiennych Pochodną cząstkową funkcji u=f(x1, x2,…, xn) względem zmiennej xi definiujemy jako granice ilorazu różnicowego Pochodne cząstkowe oznaczamy symbolami:

Pochodne funkcji wielu zmiennych Wektor pierwszych pochodnych cząstkowych funkcji u nazywamy gradientem u i oznaczamy grad u lub u, czyli Pochodnymi cząstkowymi rzędu n nazywamy pochodne cząstkowe pochodnych rzędu n-1.

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu Hesjanem H(x1, x2,…, xn) funkcji u=f(x1, x2,…, xn) wielu zmiennych nazywamy macierz drugich pochodnych cząstkowych, czyli macierz postaci

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie P0=(x0,y0) funkcji u=f(x,y) dwóch zmiennych jest to, aby gradient tej funkcji w tym punkcie był wektorem zerowym, czyli: Punkt P0=(x0,y0) nazywamy punktem stacjonarnym.

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum funkcji u dwóch zmiennych jest to, aby wyznacznik z hesjana w punkcie stacjonarnym był dodatni, czyli

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Jeżeli to w punkcie stacjonarnym funkcja u ma minimum, jeżeli to w punkcie stacjonarnym funkcja u ma maksimum. Jeżeli to funkcja u nie ma w punkcie stacjonarnym ekstremum, jeżeli to przypadek jest wątpliwy.

Przykład Wyznaczyć ekstrema funkcji:

Dziękuję za uwagę