Rozwinięcia oktalne ułamków

Przypomnijmy sobie… W „naszym” systemie (dziesiątkowym), rozwinięcia dziesiętne ułamków mogą być: skończone np. = 0,5 =0,25 =0,125 osiągamy to np. poprzez rozszerzenie ułamka zwykłego do ułamka który w mianowniku ma kolejne potęgi liczby 10; nieskończone i okresowe - czyli takie, które nie dają się zamienić na ułamek dziesiętny, np. = 0,(3) = 0,(1) =0,(428571)

…a w systemie ósemkowym wygląda to tak: Ułamek zwykły będzie miał rozwinięcie oktalne skończone, jeśli da się go zapisać jako ułamek o mianowniku będącym potęgą ósemki - 10(8) Czyli posiada: mianowniki które da się rozszerzyć do 10(8) mianowniki które da się rozszerzyć do 100(8) mianowniki które da się rozszerzyć do 1000(8) itd.

a) ułamki o mianowniku 10 (8) Zauważmy, że 10(8) ma tylko dwa dzielniki właściwe 2 , 4 Poprzez rozszerzanie, możemy więc do tej postaci doprowadzić tylko ułamki o mianownikach 2 lub 4. 4 = = 0,4 2 = = 0,6 1 2 3 4 5 6 7 10 12 14 16 20 11 17 22 25 30 24 34 40 31 36 43 50 44 52 60 61 70 100

b) ułamki o mianowniku 100(8) Postępujemy analogicznie jak w poprzednim przykładzie 100 2 40 2 20 2 100= 10 2 4 2 2 2 D100={1, 100, 2, 40, 4, 20, 10} 1 dokonujemy rozkładu liczby 100(8) na czynniki pierwsze Jeśli mianownikiem ułamka jest któryś z powyższych dzielników, to da się go rozszerzyć do 100(8) 1 2 3 4 5 6 7 10 12 14 16 20 11 17 22 25 30 24 34 40 31 36 43 50 44 52 60 61 70 100

Przykłady

c) Ułamki o mianowniku 1000(8) Tym razem rozkładamy 1000(8) na czynniki pierwsze i postępujemy jak w poprzednim przykładzie 1000 2 1000= 400 2 200 2 D1000 = {1,1000,2,400,4,200,10,100,20,40} 100 2 40 2 20 2 10 2 Jeżeli ułamek posiada którąś z wymienionych powyżej liczb 4 2 w mianowniku, da się go rozszerzyć do 1000(8) 2 2 1

Przykłady

Rozwinięcia nieskończone Istnieją również ułamki zwykłe, które nie dają się zamienić na ułamki oktalne, są to ułamki z rozwinięciem oktalnym nieskończonym i okresowym. Te rozwinięcia otrzymujemy dzieląc licznik przez mianownik. Otrzymujemy wówczas grupę powtarzających się po przecinku cyfr zwanych okresem rozwinięcia.

Przykłady Przykładem ułamka, który ma rozwinięcie nieskończone, okresowe jest ułamek , ponieważ liczby 6 nie da się rozszerzyć do bajta, szacha, mata. , 6 5 2 … : 4 = 3 1 1 2 3 4 5 6 7 10 12 14 16 20 11 17 22 25 30 24 34 40 31 36 43 50 44 52 60 61 70 100

W systemie dziesiątkowym: Pamiętajmy również, że istnieją ułamki o rozwinięciach nieskończonych, okresowych które mają ciekawe właściwości. W systemie dziesiątkowym: W systemie ósemkowym: 0, 1 … : 7 =

Jak na podstawie rozwinięcia oktalnego ustalić odpowiadający mu ułamek zwykły ósemkowy? Kolejną częścią naszej prezentacji jest problem zamiany rozwinięć ułamków oktalnych na ułamki zwykłe w systemie ósemkowym. Pokażemy, jak tego dokonać w przypadkach: rozwinięć skończonych rozwinięć nieskończonych i okresowych

A) Zamiana rozwinięć skończonych Przykład takiego ułamka oktalnego to 0,2. Należy zapisać ten ułamek w postaci ułamka zwykłego, a następnie skrócić. W taki sam sposób zamieniamy wszystkie inne skończone ułamki oktalne, np. ten przykład omówimy w następnym slajdzie

Aby zamienić ułamek oktalny 0,124 na ułamek zwykły należy: - zapisać go jako ułamek, który w mianowniku będzie miał liczbę 1000(8) , ponieważ po przecinku są trzy liczby - otrzymany ułamek musimy skrócić korzystając z tabliczki mnożenia lub znajdując wspólne dzielniki liczb 124 i 1000, (skorzystamy z rozkładu na czynniki pierwsze) 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 50 60 70 100 15 32 47 64 101 116 133 150 120 140 160 200 25 52 77 124 151 176 223 250 110 170 220 300 ... … …. 75 172 267 364 461 556 653 750 400 500 600 700 1000 1200 1400 1600 2000

Jak zapewne pamiętacie w jednym z pierwszych slajdów rozkładaliśmy 1000(8) na czynniki pierwsze, skorzystamy teraz z tego rozkładu. Rozłożymy w ten sposób liczbę 124. D1000 = {1,1000,2,400,4,200,10,100,20,40} D124={1,124,4,25,2,52,7,14} 124 2 NWD(1000,124) = 4 52 2 25 3 7 7 1

B)Zamiana rozwinięć nieskończonych, okresowych Przykładem takiego rozwinięcia jest 0,(5). Oznaczmy odpowiadający temu rozwinięciu ułamek zwykły a : Inny przykład

Istnieją również rozwinięcia nieskończone, okresowe, których zamiana na ułamki zwykłe nie jest taka prosta, ponieważ po przecinku znajdują się liczby, nie należące do okresu. Przykładem takiego rozwinięcia jest 0,6(2).

Zamiana ułamków dziesiętnych na ułamki oktalne: Ciekawostki ! Zamiana ułamków dziesiętnych na ułamki oktalne: kierunek odczytu 0,2(10) =0,(1463)(8) Np. = 0,5(10) 0,5*8=4,0(8) cz. całkowita cz. ułamkowa Działanie Iloczyn Część ułamkowa Część całkowita 0,2 * 8 1,6 0,6 1 0,6 * 8 4,8 0,8 4 0,8 * 8 6,4 0,4 6 0,4 * 8 3,2 0,2 3 0,6 *8 0,8 *8 0.4 0,4* 8 0.2

ĆWICZENIA Życzymy Powodzenia!

Aby dowiedzieć się więcej o systemie ósemkowym, warto skorzystać z tych stron: http://pl.wikipedia.org/wiki/%C3%93semkowy_system_liczbowy Zamiana liczb z systemu ósemkowego na dziesiątkowy i odwrotnie http://www.math.edu.pl/system-osemkowy Konwersja liczby układu ósemkowego na zapis w systemie o innej podstawie http://www.programuj.com/artykuly/rozne/sysliczb.php Zapis w systemie oktagonalnym http://robert.wojcik.staff.iiar.pwr.wroc.pl/dydaktyka/cop/ipi/ipi_cw 1.pdf Algorytmy konwersji dziesiętno-ósemkowej

Mamy nadzieję, że zainteresowaliśmy Państwa systemem ósemkowym na tyle, że będą Państwo chcieli poszerzyć swoja wiedzę na ten temat. My dzięki tym zajęciom zaczęliśmy inaczej patrzeć na nasz system i matematykę, pogłębiliśmy naszą wiedzę. Poznaliśmy także wiele nowych metod pracy.

Martyna Rusiecka Sebastian Grabowski Dominika Broś-Załęska Autorzy Martyna Rusiecka Sebastian Grabowski Dominika Broś-Załęska

Sebastian Martyna DoSiA