Wytrzymałość materiałów (WM II – wykład 11 – część A)

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Czwartki: 13.00-15.00

TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy) WYKŁAD W11 – część A: Wytrzymałość zmęczeniowa Niskocyklowa wytrzymałość zmęczeniowa Klasyczne kryteria wysokocyklowej wytrzymałości zmęczeniowej Kumulacja uszkodzeń zmęczeniowych Prawdopodobieństwo zniszczenia zmęczeniowego Prędkość rozwoju pęknięcia zmęczeniowego   - Przykłady obliczeniowe - Przykłady praktyczne W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Niskocyklowa wytrzymałość zmęczeniowa W trakcie każdego cyklu zmian obciążenia w zakresie zmęczenia niskocyklowego zachodzą w materiale procesy nieodwracalne, wynikające z odkształceń sprężysto-plastycznych. Zmiany te bada się, obserwując zachowanie pętli histerezy w miarę narastania cykli. Wielkościami charakterystycznymi dla pętli histerezy są: ac, apl, as – odpowiednio amplituda odkształcenia całkowitego, plastycznego, sprężystego,   a apl as ac m – odkształcenie średnie, a – amplituda naprężenia.

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Gdy badanie prowadzimy z zachowaniem ac = const lub apl = const, amplituda naprężenia a może w miarę narastania liczby cykli N wzrastać, maleć lub utrzymywać się na jednakowym poziomie. Stosownie do tego mówi się, że materiał ulega zmiennoodkształcenio-wemu, cyklicznemu czy zmęczeniowemu umocnieniu, osłabieniu, albo zachowuje pod tym względem stabilność. Po określonej liczbie cykli (najpóźniej od 0,33 do 0,5 niszczącej liczbie cykli) zmian odkształcenia o apl = const amplituda naprężenia osiąga wartość stałą, zwaną naprężeniem nasycenia a. Dla stałych, ale różnych wartości apl uzyskuje się różne wartości naprężenia nasycenia. Można teraz narysować wykres cyklicznego lub zmęczeniowego odkształcenia a = f(apl). W zależności od tego czy leży on nad, czy pod wykresem statycznego rozciągania, materiał ulega zmiennoodkształceniowemu umocnieniu lub osłabieniu.

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Wytrzymałościowe kryterium odkształceniowe dla przypadku odzerowotętniącego rozciągania - Wzór S.S. Mansona i L.P. Coffina (1954) Zależność między zakresem odkształcenia plastycznego Δapl = 2apl a niszczącą liczbą cykli zmian tego odkształcenia Nf : A0, Ak – początkowe i końcowe pole przekroju próbki podczas statycznej próby rozciągania. Kryterium odkształceniowe Mansona (1965):

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Klasyczne kryteria wysokocyklowej wytrzymałości zmęczeniowej Zmęczeniowe obliczenia wytrzymałościowe mają zwykle charakter sprawdzający, tzn. dotyczą elementu o kształcie i wymiarach już ustalonych. Wymaga się, aby rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa δ był zawarty w określonych granicach: δ od 1.3 do 1.5 – znany rozkład naprężeń i znane charakterystyki zmęczeniowe określone w warunkach obciążeń eksploatacyjnych, dla bardzo starannego wykonania i z zastosowaniem dobrych metod defektoskopowych do okresowego badania elementów układu - δ od 1.5 do 1.7 – zwykła dokładność obliczeń czy możliwość określenia obciążeń i naprężeń oraz staranne wykonanie i kontrola elementów

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA δ od 1.7 do 2.0 – elementy o większych wymiarach, dla których nie dysponujemy możliwościami badań zmęczeniowych w postaci naturalnej, elementy spawane o spodziewanym większym rozrzucie właściwości wytrzymałościowych i możliwymi wadami spawalniczymi, przy średniej technologii wykonania - δ od 2.0 do 2.5 – orientacyjne określenie obciążeń i naprężeń dla słabo znanych i specjalnie ciężkich warunków pracy, elementy odlewane Pomijane szczegółowe omawianie wpływu karbu, wielkości przedmiotu, rodzaju obróbki i stanu warstwy powierzchniowej, korozji, temperatury, frettingu i częstotliwości zmian naprężenia, na wytrzymałość zmęczeniową. Modele obliczeń wytrzymałościowych dla przypadku obciążeń zmiennych są znacznie mniej uniwersalne i pasujące do rzeczywistości niż dla obciążeń statycznych.

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Decydujące znaczenie w ocenie wytrzymałości czy trwałości zmęczeniowej – badania doświadczalne rzeczywistych elementów poddanych obciążeniom eksploatacyjnym bądź programowym. Cykl wahadłowy, czyli symetryczny, współczynnik bezpieczeństwa δ: Granica zmęczenia Z jest równa: dla wahadłowego rozciągania i ściskania Zrc, zginania Zgo i skręcania Zso. Współczynnik wielkości przekroju ε definuje się następująco: gdzie: Zd, Z – granica zmęczenia dla pręta o średnicy d oraz próbki z tego samego materiału o średnicy od 7 do 10 mm.

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Nominalna wartość naprężenia amplitudowego σna (τna) dla wahadłowego rozciągania i ściskania, zginania oraz skręcania pręta: gdzie: Fa, Mga, Msa – amplitudowa wartość siły osiowej, momentu gnącego bądź skręcającego, A, W, Ws – pole, wskaźnik wytrzymałości na zginanie lub skręcanie przekroju pręta w miejscu występowania karbu. Karb –nagła zmiana wymiarów przekroju pręta, która powoduje spiętrzenie naprężeń – naprężenia rozłożone nierównomiernie, osiągające na dnie karbu wartość σmax(σmax a). Współczynnik spiętrzenia naprężeń αk (teoretyczny współczynnik działania karbu, współczynnik kształtu): , czyli

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Współczynnik αk zależy od kształtu karbu i rodzaju obciążenia, ale nie zależy od wartości obciążenia. Oblicza się go analitycznymi lub numerycznymi metodami teorii sprężystości bądź wyznacza się doświadczalnie. Zamiast β, współczynnik działania karbu βk, współczynnik stanu powierzchni βp, lub współczynnik ulepszenia warstwy powierzchniowej βpz: gdzie: Z, Zk, Zp, Zpz – granice zmęczenia dla polerowanych próbek gładkich, próbek z odpowiednim karbem, próbek o odpowiednim stanie powierzchni (szlifowanych, toczonych, itp.), próbek z odpowiednio ulepszoną warstwą powierzchniową (np. dogniataną przez rolowanie, co wywołuje w warstwie zewnętrznej naprężenia własne ściskające, utrudniające inicjacje pęknięcia zmęczeniowego).

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Współczynnik działania karbu można obliczyć także ze wzoru: gdzie ηk – współczynnik wrażliwości materiału na działanie karbu, który zwiększa się w miarę wzrostu wytrzymałości materiału na rozciąganie i zawiera się w przedziale od 0 do 1. W przypadku konieczności jednoczesnego uwzględnienia βk i βp albo βk i βpz współczynnik β oblicza się następująco: Zależność doświadczalna granicy zmęczenia od amplitud σa, τa jednoczesnego wahadłowego współfazowego zginania i skręcania pręta stalowego:

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Po wprowadzeniu współczynników bezpieczeństwa: i przekształceniach uzyskamy zależność opisującą rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa dla pręta zginanego i skręcanego: Dla elementów rzeczywistych – współczynniki działania karbu i wielkości przedmiotu . Do określenia δ w zakresie trwałej wytrzymałości zmęczeniowej, w przypadku cyklu niesymetrycznego (czyli innego niż wahadłowy), jest konieczna znajomość granic zmęczenia dla różnych kombinacji σm i σa. Wykresy Smitha, Haigha, Serensena-Kinoszwilego, Gudmena, Soderberga, czy też Heywooda.

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Trójkąt Soderberga – najbardziej radykalne, ale zrobione na rzecz zwiększenia pewności, uproszczenie zależności granicy zmęczenia od rodzaju cyklu. Można go zbudować, znając Zrc i Re lub analogiczne własności dla zginania czy skręcania. Prosta granicznych naprężeń AB odpowiada δ = 1. Linia A’B’ równoległa do AB i przechodząca przez punkt C, wyznaczający cykl o naprężeniach nominalnych σnm, σna, odpowiada δ > 1. Po uwzględnieniu, że karb oraz wielkość przedmiotu wpływają na σna, a praktycznie nie wpływają na σnm, dla cyklu niesymetrycznego można zapisać: m a Z Z/ A B A’ B’ Re Re/ =1 =const L C O nm na

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Analogicznie – dla zginania oraz skręcania. Dla materiałów kruchych – zamiast granicy plastyczności wytrzymałość na rozciąganie, zginanie lub skręcanie (trójkąty Goodmana). Współczynnik bezpieczeństwa w zakresie ograniczonej wytrzymałości zmęczeniowej dla cyklu wahadłowego, przy stałej wartości nominalnej naprężenia amplitudalnego σna i wymaganej trwałości określonej liczbą cykli NN można wyliczyć następująco: Ograniczona wytrzymałość zmęczeniowa ZN – ze wzoru Wöhlera: Uproszczenia Soderberga – dla cyklu niesymetrycznego:

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA ZN dla wymaganej liczby cykli NN pochodzi z wykresu Wöhlera dla cyklu wahadłowego. Przy zginaniu lub skręcaniu wprowadza się stosowne granice plastyczności, a dla materiałów kruchych odpowiednie wytrzymałości. Współczynnik bezpieczeństwa można również potraktować jako iloraz niszczącej oraz wymaganej (nominalnej) trwałości (określonej liczbą cykli) przy danym poziomie σna: Zależność doświadczalna naprężeń granicznych od σm i σa (R.B. Heywood):

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Stałe A0 i γ dla gładkich próbek stalowych (przy pewnych założeniach upraszczających): a gładkich próbek ze stopu aluminium:

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Przykład Szlifowany wałek z ulepszonej cieplnie stali C45 z odsadzeniem podlega jednoczesnemu współfazowemu, wahadłowemu zginaniu i skręcaniu. Dane: Mga = 500 Nm, Msa = 500 Nm, Re = 540 MPa, Rm = 810 MPa, Zgo = 380 MPa. Rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa powinien się mieścić w granicach od 1,5 do 1,7. Mga Msa ρ = 3mm D = 60mm d = 40mm Obliczamy współczynnik bezpieczeństwa δσ w przypadku zginania pręta:

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Dla D/d = R/r = 1,5 i ρ/r = 0,15 przyjmujemy αk = 1,8 Dla Zgo = 380 MPa, ρ = 3 mm i αk = 1,8 przyjmujemy βk = 1,65 Dla Rm = 810 MPa i powierzchni szlifowanej – βp = 1,06. Dla d = 40 mm, αk = 1,8 i Zgo = 380 MPa przyjmujemy ε = 0,75, stąd: Obliczamy współczynnik bezpieczeństwa δτ w przypadku skręcania pręta. Przyjmujemy Zso = 0,25Rm = 203 MPa: Dla D/d = R/r = 1,5 i ρ/r = 0,15 przyjmujemy αk = 1,7, dla Zso = 203 MPa, ρ = 3 mm i αk = 1,7 – βk = 1,47, dla Rm = 810 MPa i powierzchni szlifowanej – βp = 1,05.

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Dla Rm = 810 MPa i d = 40 mm przyjmujemy ε = 0,78: Współczynnik bezpieczeństwa dla wałka zginanego i skręcanego wynosi: tak więc kryterium trwałej wytrzymałości zmęczeniowej jest spełnione. Kumulacja uszkodzeń zmęczeniowych Zasygnalizujemy problem wyznaczania trwałości zmęczeniowej, gdy naprężenia amplitudowe σai (np. dla cyklu wahadłowego) zmieniają się w sposób stopniowy (schodkowy).

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA W najprostszej liniowej hipotezie sumowania, czyli kumulacji uszkodzeń Palmgrena-Minera, przyjmuje się, że zniszczeniu zmęczeniowemu w takim przypadku odpowiada następujący warunek: gdzie: q – liczba poziomów naprężenia σai, ni, Ni – liczba cykli oraz liczba cykli niszczących odpowiadających naprężeniu σai. Lepszą zgodność z doświadczeniem uzyskamy, modyfikując powyższy warunek: Zakładając, że amplitudy σai < 0,5ZG nie wpływają na proces zniszczenia zmęczeniowego, można wyliczyć a ze wzoru Serensena:

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA gdzie: σaq – największa wartość naprężenia amplitudowego σai, - współczynnik wypełnienia przebiegu, NC – całkowita liczba cykli określająca trwałość zmęczeniową. Prawdopodobieństwo zniszczenia zmęczeniowego Określenie prawdopodobieństwa zniszczenia zmęczeniowego P wymaga znajomości rozkładu granicy zmęczenia ZG oraz naprężeń amplitudowych σai. Metoda Rżanicyna, w której dla uproszczenia obliczeń zakłada się, że obydwa wspomniane rozkłady są normalne. Zniszczenie zmęczeniowe nastąpi, gdy naprężenie σa osiągnie wartość granicy zmęczenia ZG, albo:

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Jeśli ZG i σa są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych, to ich różnica M musi mieć również rozkład normalny. Można zatem zapisać: – wartości średnie – odchylenia standardowe Zależność M od kwantyla up, odpowiadającemu poszukiwanemu prawdopodobieństwu P, ma postać: Po wprowadzeniu współczynnika bezpieczeństwa δ oraz współczynników zmienności naprężenia amplitudowego σa i granicy zmęczenia ZG, które są zdefiniowane następująco: otrzymamy ostateczną postać wzoru określającego up:

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Prawdopodobieństwo zniszczenia zmęczeniowego P – na podstawie tablic rozkładu normalnego. Prędkość rozwoju pęknięcia zmęczeniowego Znajomość prędkości pękania dl/dN, czyli przyrostu długości l pęknięcia w mm, w trakcie jednego cyklu zmian obciążenia czy naprężenia umożliwia określenie trwałości (żywotności) elementu maszyny od chwili powstania (inicjacji) pęknięcia do złomu zmęczeniowego. W praktyce można dzięki temu wyznaczyć okresy między naprawami lub wymianą odpowiedzialnych elementów czy zasobów.

WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA Najczęściej w zagadnieniach propagacji pęknięcia zmęczeniowego bywa stosowany wzór Parisa: gdzie: dl/dN – prędkość pękania, w mm/cykl – zakres współczynnika intensywności naprężeń C, m – stałe materiałowe np. dla stali 18G2A, Rm = 560 MPa, C = 210-12, m = 3.

Dziękuję za uwagę !!!