Liczby pierwsze oraz kryptologia Autorzy: Daniel Świętek oraz Oskar Dolega pod opieką mgr Ewy Szromek z Zespołu Szkół Technicznych nr 1 im. Wojciecha Korfantego w Chorzowie

Przygotowanie do projektu

Krótko o liczbach pierwszych Liczby pierwsze są to takie liczby, które dzielą się tylko przez siebie oraz przez jeden, Wszystkie liczby pierwsze do 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, , 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Metoda wyznaczania liczb pierwszych Metodę wyznaczania liczb pierwszych nazywamy sitem Eratostenesa. Wypisuje się kolejno liczby naturalne od 2 do n ( w naszym przykładzie do 100 ). Liczba 2 jest pierwsza, wiec ją zostawiamy wykreślając jednocześnie wszystkie jej wielokrotności: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 itd.

Szyfrowanie Pod koniec lat 70-tych XX wieku, opracowano metodę szyfrowania, zwaną również RSA od pierwszych liter nazwisk twórców (Rivest, Shamir, Adelman). Polega ona na tym, że wybieramy trzy liczby (tzw. magiczne) N, E i D. Dwie z nich N i E służą do zaszyfrowania informacji, natomiast rozszyfrowanie możliwe jest tylko przy pomocy N i D. Aby jednak zrozumieć tą metodę musisz poznać dzielenie modulo oraz sposób tworzenia liczb magicznych.

Dzielenie modulo Dzielenie modulo to takie, w którym wynikiem jest reszta z dzielenia np.: 5 mod 2 = 1, bo 5 = 2.2 + 1  ( w piątce mieszczą się dwie pełne dwójki i reszta wynosi 1 ); 30 mod 4 = 2, bo 30 =7.4 + 2  ( w trzydziestce mieści się siedem czwórek, a  reszta wynosi 2 ); 78 mod 5 = 3, bo 78 = 15.5 + 3; 13 mod 7 = 6, bo 13 = 1.7 + 6; 39 mod 3 = 0, bo 39 = 13.3 + 0.

Opis tworzenia trójki liczb magicznych Bierzemy dwie liczby pierwsze np. p=11 i q=17 Mnożymy je przez siebie, otrzymujemy magiczną liczbę N=11*13=143 (duży klucz) Obliczamy pomocniczą liczbę z, która pomoże nam określić małe klucze E i D. Otrzymujemy ją zmniejszając p i q o 1, a następnie mnożąc otrzymane wyniki. z =(p-1).(q-1) = 10.16 = 160. Wybieramy liczbę E. Nie może ona posiadać z liczbą z żadnego wspólnego dzielnika. Najwygodniej jest wybrać jakąś liczbę pierwszą mniejszą od z i sprawdzić przez dzielenie, czy jest ona dzielnikiem z. Jeśli tak, szukamy dalej, jeśli nie, liczba ta może być wykorzystana jako E. W naszym przykładzie wybrałem E=37

5. Wyznaczenie liczby D trochę trudniejsze Liczba D powinna po pomnożeniu przez E, a następnie po podzieleniu przez z dać resztę 1.  (D.E) mod z = 1 inaczej D.E = x*z +1, gdzie x pewna liczba naturalna. Bierzemy E i z, następnie dzielimy większą z nich przez mniejszą i określamy resztę. z mod E = 160 mod 37 = 12, bo 160 = 4*37 + 12   (z = 4*E +12  inaczej 12= z - 4*E). Liczbę E dzielę modulo przez otrzymaną resztę. E mod 12 = 37 mod 12 = 1, bo 37 = 3*12 +1  (E =3 *12 + 1  inaczej 1 = E - 3*12); Gdy  nie otrzymamy reszty 1, to przedostatnią resztę dzielę przez ostatnią , itd., aż otrzymam resztę 1. W ostatnim równaniu za 12 podstawiam z - 4*E, zatem 1 = E -3*(z - 4*E) = E -3*z +12*E = 13E - 3*z, otrzymaliśmy zatem 1 = 13*E - 3*z, po przekształceniu mamy: 13E =3*z +1. Porównajmy teraz zapisy 13.E =3*z +1.  i  D.E = x*z +1. Widać tu, że D = 13. 6. Nasze liczby magiczne to: N = 187, E = 37 i D = 13.

Przystąpienie do szyfrowania Po przebrnięciu przez proces tworzenia liczb magicznych, można przystąpić do szyfrowania. Aby zrozumieć ten sposób szyfrowania, zaczniemy od szyfrowania pojedynczej litery np. m. Literę zamieniamy na liczbę, zamianę przeprowadzić można wiele sposobów, my podstawimy numer jaki m ma w alfabecie. Literze m odpowiada liczba 13. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

mnożymy 13*13 = 169; szukamy reszty z dzielenia przez N=187 i otrzymujemy 169 mod 187=169, bo 169=0*187+169; 134=132*132, stąd 134 mod 187=(132*132) mod 187=(169*169) mod 187=28561 mod 187=137; liczbę 137 wyznaczyłem następująco: 28561 : 187=152,732.. ( 152 pełne liczby 187 );  152*187=28424; 28561-28424= 137 (czyli 28561 = 157*187+137). 138=134*134, stąd 138 mod 187=(134*134) mod 187=(137*137) mod 187=18769 mod 187=69; 1316=138*138, stąd 1316 mod 187=(138*138) mod 187=(69*69) mod 187=4761 mod 187=86; 1332=1316*1316, stąd 1332 mod 187=(1316*1316) mod 187=(86*86) mod 187=7396 mod 187=103; 1336=1332*134, stąd 1336 mod 187=(1332*34) mod 187=(103*137) mod 187=14111 mod 187=86; 13 mod 187=13; 1337=1336*131, stąd 1337 mod 187=(1336*131) mod 187=(86*13) mod 187=1118 mod 187=183; liczba tekstu tajnego wynosi 183.

Łatwiejszy wzór na szyfrowanie

Bibiografia www.wikipedia.org www.calka.republika.pl www.matematykainnegowymiaru.pl www.zsporeba.pl

Dziękujemy za uwagę!!!