Prawa ruchu ośrodków ciągłych Wykład 3 Prawa ruchu ośrodków ciągłych Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Przyjęliśmy założeni, że płyn jest ośrodkiem ciągłym. Def. Płyn ulega ciągłej deformacji pod działaniem naprężenia o dowolnej wielkości z pominięciem efektów molekularnych. continuum mechanics Element płynu o dowolnie małym rozmiarze ( w granicy punkt ) ma te same cechy co makroskopowa próbka i elementy są rozmieszczone w sposób ciągły. ρ,μ = const Skala długości Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Z drugiej strony wiemy, że materia ma budowę molekularną, więc żaden ośrodek nie spełnia podanej definicji. Możemy wprowadzić liczbę kryterialną: Liczba Knudsena: średnia droga swobodna molekuł charakterystyczna skala długości Wartość liczby Knudsena mówi nam czy hipoteza o ciągłości ośrodka jest spełniona. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Przykładowo, 1 mm3 powietrza w warunkach normalnych (T = 0°C, p = 101 325 Pa) zawiera 2,54·107 molekuł. Średnia droga swobodna λ wynosi 0,065·10-6 m. Dla układów rzeczywistych gdy rozmiar mieści się w zakresie 0,001 m < L < 10 m , liczba Knudsena jest dużo mniejsza od 1, a więc powietrze można traktować jako ośrodek ciągły Dla cieczy: [m] Hipoteza ośrodka ciągłego jest spełniona Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Podstawowymi prawami opisującymi dynamikę, wyprowadzonymi dla punktów materialnych są prawa ruchu Newtona. Prawa te, uogólnione na wszelkiego rodzaju ciała ciągłe, sprowadzają się do równań opisujących obowiązujące dla nich prawa zachowania masy, pędu i momentu pędu. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Podstawowymi prawami opisującymi dynamikę, wyprowadzonymi dla punktów materialnych są prawa ruchu Newtona. Prawa te, uogólnione na wszelkiego rodzaju ciała ciągłe, sprowadzają się do równań opisujących obowiązujące dla nich prawa zachowania masy, pędu i momentu pędu. Prawo zachowania masy: akumulacja = napływ - odpływ akumulacja y dy dz dt dx x x x+dx z Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych dt x x+dx Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych równanie ciągłości dla płynów w organizmie spełnione zawsze: gdy ρ=const tzw. płyny nieściśliwe Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Bilans sił: Rozpatrzmy ciało materialne A w przestrzeni trójwymiarowej w chwili t, znajdujące się w stanie równowagi. W wybranym inercjalnym układzie odniesienia (X, Y, Z) pozycja dowolnej cząstki ciała A, w chwili t, może być określona za pomocą promienia r, wyznaczonego względem początku układu Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Dla dowolnej cząstki istnieje wektor V, który jest wektorem prędkości cząstki w punkcie (x, y, z). Dla tak zdefiniowanego ciała można oznaczyć wektor: Pęd ciała A Można również oznaczyć wektor: Moment pędu ciała A (kręt) Gdzie ρ to gęstość materiału Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Na podstawie prawa Newtona zastosowanego przez Eulera do ośrodka ciągłego, wypadkowa siła przyłożona do ciała równa jest zmianie pędu tego ciała w czasie: oraz, że zmiana momentu pędu w czasie jest równa wypadkowemu momentowi sił działającemu na ciało: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Na ciała materialne działają dwa rodzaje sił: siły masowe, działające na każdy element rozważanego ciała (np. siła grawitacyjna) oraz siły powierzchniowe lub naprężenia działające wyłącznie na elementy powierzchniowe rozważanego ciała (np. ciśnienie aerodynamiczne). Zgodnie z tym podziałem całkowita siła działająca na materiał wypełniający obszar ciała A ograniczony zamkniętą powierzchnią S , oraz moment sił względem początku układu wynoszą:   siły masowe siły powierzchniowe gdzie: T jest wektorem naprężenia działającym na różniczkowy element dS o normalnej zewnętrznej n, natomiast X to wektor sił masowych Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Rozpatrzmy stan równowagi statycznej nieskończenie małego wycinka ośrodka ciągłego w postaci prostopadłościanu o ścianach równoległych do płaszczyzn współrzędnych. Warunek równowagi wymaga, aby całkowita wypadkowa siła działająca na prostopadłościan była równa zeru. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Równania równowagi Podstawowe równania ruchu mogą być przekształcone w równania różniczkowe Rozważmy sobie stan równowagi statycznej nieskończenie małego prostopadłościanu o ściankach równoległych do płaszczyzn współrzędnych. siła na lewej ścianie pionowej: siła na prawej ścianie pionowej: Siła masowa: Wynika to z założenia ciągłości pola naprężeń !!!!!

Warunek równowagi wymaga aby całkowita siła wypadkowa była równa 0 Warunek równowagi wymaga aby całkowita siła wypadkowa była równa 0. Dla kierunku x1 dzieląc obie strony równania przez dx1dx2dx3 otrzymamy: i dla reszty składowych:

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Wzór Cauchy`ego Można wykazać , że zając składowe τij, można natychmiast wyznaczyć wektor naprężenia działający na dowolnej powierzchni o jednostkowej normalnej n, której składowe są odpowiednio równe n1, n2, n3 . Składowe wektora określa wzór Cauchy`ego: gdzie jest tensorem naprężenia

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Operator: Składowa sił powierzchniowych może być zapisana: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Drugim warunkiem równowagi jest zanikanie wypadkowego momentu względem dowolnego punktu. Jeśli nie istnieją momenty sił zewnętrznych proporcjonalne do objętości, to warunek równowagi prowadzi do ważnego wniosku, iż tensor naprężenia jest tensorem symetrycznym zerowanie momentu sił powierzchniowych W stanie równowagi: zerowanie sił lepkościowych i masowych W płynie zdefiniowaliśmy tensor naprężeń : Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych element płynu w stanie ustalonym: r rmax x r=0 L=1 Rozpatrzymy siły powierzchniowe działające na wyróżniony element , zaniedbujemy wpływ sił masowych ( grawitacja) Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych rmax P1 P2 x r=0 L=1 W układzie ciśnienie płynu działa na obie powierzchnie elementu, co można związać z gradientem ciśnienia: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych rmax P1 P2 x r=0 L=1 ciśnienie to działa na powierzchnię siła od ciśnienia : Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych rmax P1 P2 x r=0 L=1 Na powierzchni bocznej elementu pojawią się naprężenia styczne A więc siła od nich pochodząca: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych rmax P1 P2 x r=0 L=1 W stanie równowagi: rozkład naprężeń w przewodzie o przekroju kołowym. Stokes (1851) Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych rmax x r=0 τrx τrxmax r rmax Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

Wykład 3 – Prawa ruchu ośrodków ciągłych Jest to spełnione dla każdego płynu w przepływie!!!!! r rmax x r=0 Wprowadzenie do biomechaniki przepływów