Wytrzymałość materiałów (WM I - 9) r.a. 2017/2018

prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Środy: 14.00-15.4 W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Wykład W9: Stan naprężenia i odkształcenia: - Aksjator i dewiator stanu naprężenia - Macierz sprężystości - Szczególny przypadek płaskiego stanu naprężeń – koło Mohra - Przykłady oceny stanu naprężeń dla przypadku pręta skręcanego o przekroju kołowym. Autorstwo poniższego wykładu: © Prof. Krzysztof Kaliński http://pg.edu.pl/288cd25679_miroslaw.gerigk/wizytowka

Wykład W9: Stan naprężenia i odkształcenia: - Aksjator i dewiator stanu naprężenia - Macierz sprężystości - Szczególny przypadek płaskiego stanu naprężeń – koło Mohra - Przykłady oceny stanu naprężeń dla przypadku pręta skręcanego o przekroju kołowym. Autorstwo poniższego wykładu: © Prof. Krzysztof Kaliński http://pg.edu.pl/288cd25679_miroslaw.gerigk/wizytowka

Stan naprężenia i odkształcenia Elementarny prostopadłościan o bokach dx, dy, dz  x y z yx zy yz xy xz zx z y x O qx qz qy Stan odkształceń © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Związek pomiędzy stanem przemieszczeń a stanem odkształceń: Stan naprężenia i odkształcenia Związek pomiędzy stanem przemieszczeń a stanem odkształceń: gdzie: - wektor przemieszczeń - operator liniowy różniczkowania © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Stan naprężenia i odkształcenia - operator nieliniowy różniczkowania Stan naprężeń © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Aksjator i dewiator stanu naprężenia Dla każdego 3-osiowego stanu opisanego tensorem naprężeń Aksjator – diagonalna macierz opisująca równomierny stan napręzeń ściskających (rozciągających) – tensor kulisty Opisuje stan równomiernych naprężeń głównych Dewiator – macierz opisująca pozostałą część tensora stanu naprężeń niezmiennik tensora naprężeń © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Aksjator i dewiator stanu naprężenia Dla każdego 3-osiowego stanu opisanego tensorem odkształceń Aksjator – diagonalna macierz opisująca równomierny stan odkształceń wzdłużnych – tensor kulisty Dewiator – macierz opisująca pozostałą część tensora stanu odkształceń © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Aksjator i dewiator stanu naprężenia Względna zmiana objętości elementarnego prostopadłościanu ka – suma odkształceń objętościowych w kierunku osi x, y, z Niezmiennik aksjatora Niezmiennik dewiatora Elementy dewiatora – określają odkształcenia postaciowe © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Aksjator i dewiator stanu naprężenia Związek między stanem odkształceń a stanem naprężeń określa macierz sprężystości Macierz sprężystości: – ogólny stan naprężeń © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Aksjator i dewiator stanu naprężenia – płaski stan naprężeń – niezerowe składowe tensora naprężeń w płaszczyźnie xy Wówczas: – płaski stan odkształceń – niezerowe składowe tensora odkształceń w płaszczyźnie xy © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Aksjator i dewiator stanu naprężenia Wówczas: Warunek wytrzymałości doraźnej © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Koło Mohra y sy txy z y sx x x W dowolnym punkcie tarczy, która wraz z obciążeniem zewnętrznym leży w płaszczyźnie xy, występuje płaski stan naprężenia. x y sx sy txy z y x © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Koło Mohra Dla płaskiego stanu naprężeń macierz reprezentująca tensor stanu naprężeń ma postać: Analogiczną postać ma macierz reprezentująca tensor stanu odkształceń. Prawo transformacji składowych płaskiego stanu naprężeń opisanego w układzie osi współrzędnych xy, pozwala wyznaczyć składowe w układzie współrzędnych xh, który to jest obrócony w stosunku do osi xy, o kąt j. Składowe stanu naprężenia w obróconym układzie współrzędnych są równe: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Koło Mohra y h sh sx sy x txy j txh txh txy sx x sx txy txh txy txh sx © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Koło Mohra Analogicznie zależności transformacji składowych płaskiego stanu odkształcenia: Naprężenia główne w płaskim stanie naprężeń określa kąt j = j0, dla którego txh = 0, czyli i wynoszą one odpowiednio: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Koło Mohra Wyrażenia dla płaskiego stanu odkształceń są analogiczne: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Koło Mohra Graficzną formę opisu transformacji składowych płaskiego stanu naprężeń stanowi koło Mohra: 1) jeśli dane są s1 > 0, s2 > 0 i s3 = 0 to należy narysować poziomą oś naprężeń normalnych s i pionową oś naprężeń stycznych t. 2) obrać podziałkę naprężeń i odmierzyć odcinki OA i OB, przedstawiające odpowiednio naprężenia s1 i s2. 3) z punktu C, który leży pośrodku odcinka AB czyli zatoczyć okrąg o promieniu 4) należy narysować średnicę DCF, która tworzy z osią poziomą kąt 2j 5) na koniec poprowadzić odcinki DE oraz FG. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:56

Koło Mohra txh s2 sx s1 s sh tmax t A B C D E F G O 2j j Stąd: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:57

Koło Mohra czyli: ostatecznie: Odcinek OE przedstawia w przyjętej podziałce sx. Można udowodnić, że odcinki OG i ED przedstawiają odpowiednio sh i txh. Naprężenie styczne txh osiąga maksymalną wartość bezwzględną dla średnicy DCF zajmującej położenie pionowe (j = 450) i jest równe promieniowi koła naprężeń Mohra: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:57

Koło Mohra Maksymalne składowe naprężeń stycznych txhmax działają na wzajemnie prostopadłych płaszczyznach, które tworzą z płaszczyznami naprężeń głównych kąty dwuścienne równe 450. Składowe normalne działające na tych płaszczyznach wynoszą: Koło odkształceń Mohra jest analogiczną konstrukcją geometryczną, a zależności dla płaskiego stanu odkształceń mają postać: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:57

Koło Mohra Jeśli s1 = s2 = s > 0 lub s1 = s2 = s < 0, to występuje odpowiednio płaskie równomiernie rozciąganie albo ściskanie. Koło naprężeń Mohra redukuje się do punktu. Jeśli s1=s > 0, s2 = 0, s3 = -s (ścinanie), to w układzie współrzędnych obróconym względem osi gł.ównych o kąt j = 450 składowe normalne są równe zeru, a składowe styczne stanu naprężeń wynoszą: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:57

Koło Mohra s t tmax s1 =s s3 =-s s1 = s s3 = -s tmax = s 450 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:57

Koło Mohra Ścinanie występuje na walcowej powierzchni zewnętrznej lub też na dowolnej walcowej powierzchni wewnętrznej pręta skręcanego o przekroju kołowym. Ms t = s s -s 450 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:57

Koło Mohra s t s1 =s > 0 Rozciąganie s3 =s < 0 Ściskanie Gdy tylko jedno z naprężeń głównych jest różne od zera, to występuje jednoosiowy stan naprężenia. Jeśli s1 = s > 0, s2 = 0, s3 = 0, to występuje rozciąganie, a jeśli s1 = s2 = 0, s3 = s < 0 to ściskanie. s t s1 =s > 0 Rozciąganie s3 =s < 0 Ściskanie s2 =s3 = 0 s1 =s2 = 0 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:57

Koło Mohra Składową normalną sxh i styczną txh w przekroju pręta rozciąganego lub ściskanego, którego normalna zewnętrzna x tworzy z osią pręta kąt j wyznacza: x j sx txh s1 = s © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:57

Koło Mohra Maksymalną wartość bezwzględną txh osiąga dla j = 450: Dla przestrzennego stanu naprężeń można narysować trzy koła Mohra opisujące transformacje płaskiego stanu naprężeń kolejno, gdy s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:57

Koło Mohra © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:57

Koło Mohra Danemu stanowi naprężenia odpowiada określony punkt P obszaru ograniczonego trzema półokręgami kół Mohra. Punkt ten określa składową normalną i styczną naprężenia działającego w płaszczyźnie określonego stanu naprężeń. Największe co do bezwzględnej wartości naprężenie styczne jest równe promieniowi największego koła Mohra: Analogicznie maksymalna wartość odkształcenia postaciowego jest równa promieniowi największego koła odkształceń Mohra: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:57

Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-12 15:20:57