Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„W matematyce nie rozumie się rzeczy „W matematyce nie rozumie się rzeczy. Po prostu się do nich przyzwyczaja. ” John von Neumann

POJĘCIE FUNKCJI. Funkcja to jedno z najważniejszych pojęć w matematyce. W gimnazjum poznajesz podstawowe informacje o funkcjach, jeśli je zrozumiesz i zapamiętasz w dalszym toku nauki funkcje nie będą sprawiały Ci problemów.

DEFINICJA FUNKCJI. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zborze Y nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x należącemu do zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element y ze zboru Y. UWAGA Podkreślone elementy definicji są bardzo ważne. Niespełnienie któregoś z nich sprawia, że dane przyporządkowanie nie jest funkcją.

DZIEDZINA, PRZECIWDZIEDZINA I ZBIÓR WARTOŚCI FUNKCJI. Dziedziną funkcji nazywamy zbiór X na którym funkcja jest określona. Przeciwdziedziną funkcji (obrazem) nazywamy zbiór Y. Zbiorem wartości funkcji nazywamy wszystkie elementy zbioru Y, które są przyporządkowane elementom ze zbioru X.

ARGUMENTY I WARTOŚCI FUNKCJI. Argumentem funkcji (zmienną niezależną) nazywamy każdy element zbioru X. Wartością funkcji (zmienną zależną)nazywamy te elementy zbioru Y, które są przyporządkowane argumentom funkcji.

O CO TU CHODZI? PRZYKŁAD. Przyjrzyjmy się pewnemu przyporządkowaniu bardzo dobrze znanemu każdemu uczniowi: Każdy uczeń klasy ma przyporządkowany sobie numer w dzienniku. Poszukajmy tu elementów definicji funkcji: Mamy dane dwa zbiory: X i Y. Zbiór X to zbiór uczniów klasy, a zbiór Y to ich numery w dzienniku.

O CO TU CHODZI? Każdemu elementowi zbioru X przyporządkowujemy dokładnie jeden element zbioru Y. Każdy uczeń ma numer w dzienniku. Nie ma dwóch uczniów o takim samym numerze, nie ma też ucznia bez numeru. Takie przyporządkowanie jest funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y. Funkcja ta określona jest na zbiorze uczniów klasy a jej wartościami są numery w dzienniku.

O CO TU CHODZI? Zbiór X to dziedzina funkcji. Każdy element dziedziny to argument funkcji. Dziedziną funkcji są wszyscy uczniowie w klasie. Argumentem funkcji możemy nazwać każdego ucznia. Jeżeli argumentowi x przyporządkowany jest element y, to mówimy, że dla argumentu x funkcja przyjmuje wartość y. Załóżmy, że Janek Apsikowski ma w dzienniku nr 1, mówimy wtedy, że funkcja dla argumentu Janek Apsikowski przyjmuje wartość 1.

SPOSOBY OPISYWANIA FUNKCJI. Istnieje wiele sposobów opisywania funkcji, najważniejsze to: Opis słowny Graf Tabela Wzór Wykres f(x) = x2 + 3

OPIS SŁOWNY. PRZYKŁADY FUNKCJI: Każdemu samochodowi przyporządkowujemy numer rejestracyjny. Każdemu zawodnikowi przyporządkowujemy numer startowy. Każdej liczbie ze zbioru A = {1, 2, 3, 4} przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną. PRZYKŁAD PRZYPORZĄDKOWANIA, KTÓRE NIE JEST FUNKCJĄ: Imionom przyporządkowujemy osoby – wiele osób może nosić jedno imię, nie zgadza się to z definicją funkcji (każdy element x ma przyporządkowany dokładnie jeden element y)

GRAF. PRZYKŁADY FUNKCJI: PRZYKŁAD PRZYPORZĄDKOWANIA, KTÓRE NIE JEST FUNKCJĄ: Nie każdy element zbioru X ma przyporządkowany element zbioru Y , ten graf nie spełnia więc definicji funkcji.

TABELA. PRZYKŁADY FUNKCJI: PRZYKŁAD PRZYPORZĄDKOWANIA, KTÓRE NIE JEST FUNKCJĄ: Ta tabela nie opisuje funkcji ponieważ argumentowi -1 przyporządkowuje dwie wartości. x 1 3 5 7 9 11 13 y 2 4 6 8 10 12 14 dziedzina zbiór wartości x -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -1 4 6 10 y 5 3 -12 43 8

f(x) – wartość funkcji f określonej danym wzorem dla argumentu x. WZÓR. PRZYKŁADY FUNKCJI: y = 2x + 3 - jest to funkcja liniowa Powyższą funkcję możemy zapisać także w inny sposób: f(x) = 2x + 3 y = x2 + 12 y = |x + 2| y = 2π · x f(x) – wartość funkcji f określonej danym wzorem dla argumentu x.

WYKRES. PRZYKŁADY FUNKCJI:

WYKRES. PRZYKŁADY PRZYPORZĄDKOWAŃ, KTÓRE NIE SĄ FUNKCJAMI: Na obu powyższych wykresach widać, że jednemu argumentowi przyporządkowano wiele wartości, co nie zgadza się z definicją funkcji.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 1. Funkcja określona jest tabelką: Jakie są argumenty tej funkcji? Jaka jest jej dziedzina? Dla jakich argumentów funkcja ta przyjmuje wartości ujemne? Dla jakich argumentów ta funkcja przyjmuje wartość 3? Narysuj wykres tej funkcji x 1 2 3 4 y -1 -4

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 1 – ciąg dalszy. Jakie są argumenty tej funkcji? Jaka jest jej dziedzina? Argumenty funkcji odczytujemy z wiersza oznaczonego x, są to: 0, 1, 2, 3, 4 Te wszystkie argumenty stanowią dziedzinę podanej funkcji: Df = {0, 1, 2, 3, 4} x 1 2 3 4 y -1 -4

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 1 – ciąg dalszy. b) Dla jakich argumentów funkcja ta przyjmuje wartości ujemne? Wartości funkcji odczytujemy z wiersza oznaczonego y. W tabeli powyżej zaznaczyliśmy wartości ujemne: -1 i -4, funkcja przyjmuje te wartości dla argumentów: x = 0 i x = 3 x 1 2 3 4 y -1 -4

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 1 – ciąg dalszy. c) Dla jakich argumentów ta funkcja przyjmuje wartość 3? Podobnie jak poprzednio odczytujemy te x dla których y = 3, są to: x = 1 oraz x = 4. d) Narysuj wykres tej funkcji Pary (x, y) odpowiadają współrzędnym punktów w prostokątnym układzie współrzędnych: (0, -1) ; (1, 3) ; (2, 4) ; (3, -4) ; (4, 3) x 1 2 3 4 y -1 -4

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 1 – ciąg dalszy. Wykres funkcji przedstawionej w tabeli wygląda następująco: x 1 2 3 4 y -1 -4 UWAGA Nie łączymy tych punktów linią. Według tabelki podana funkcja nie ma wartości pomiędzy argumentami 0, 1, 2, 3, 4.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 2. Funkcję określono przy pomocy grafu. Jaka jest dziedzina tej funkcji? Jaki jest zbiór wartości tej funkcji? Jaką wartość przyjmuje ta funkcja dla argumentu c? Dla jakiego argumentu ta funkcja przyjmuje wartość h?

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 2 – ciąg dalszy. Jaka jest dziedzina tej funkcji? Dziedzina to cały zbiór X, a więc: Df = {a, b, c, d} b) Jaki jest zbiór wartości tej funkcji? Zbiór wartości to wszystkie elementy z Y, które są powiązane z jakimś elementem z X, a więc: ZWf = {e f, g, h}

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 2 – ciąg dalszy. c) Jaką wartość przyjmuje ta funkcja dla argumentu c? Jak widać z grafu jest to f d) Dla jakiego argumentu ta funkcja przyjmuje wartość h? Zgodnie z grafem jest to a.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie ze zbioru {-3, -2, … , 2, 3} liczbę o 3 większą. Zapisz wzór tej funkcji. Narysuj tabelkę dla taj funkcji. a) Aby łatwiej był zapisać wzór można powiedzieć, że podana funkcja do każdej liczby z podanego zbioru dodaje 3, a więc wzór wygląda następująco: y = x + 3 dla x Є {-3, -2, … , 2, 3}

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 3 – ciąg dalszy. b) Narysuj tabelkę dla taj funkcji. Aby narysować tabelę zapiszemy najpierw cały zbiór X: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Możemy teraz skorzystać ze wzoru (y = x + 3) i wyliczyć wartość dla każdego argumentu: x = -3 y = -3 + 3 = 0 x = -2 y = -2 + 3 = 1 x = -1 y = -1 + 3 = 2

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Zadanie 3 – ciąg dalszy. x = 0 y = 0 + 3 = 3 x = 1 y = 1 + 3 = 4 … Po wszystkich obliczeniach tabela powinna wyglądać tak: x -3 -2 -1 1 2 3 y 4 5 6