Wytrzymałość materiałów (WM I - 4)
prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Poniedziałki: 14.00-15.15, Czwartki: 14.00-15.15 W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego
Wykład W4: Wytrzymałość prętów na skręcanie: - Warunki równowagi - Warunki geometryczne - Związki fizyczne - Wytrzymałość pręta na skręcanie, warunki wytrzymałości - Przykłady praktyczne prętów skręcanych Przykład obliczeniowy: Obciążenia, naprężenia, odkształcenia na przykładzie © Prof. Krzysztof Kaliński © dr hab. inż. Mirosław Gerigk, prof. nadzw. PG http://pg.edu.pl/288cd25679_miroslaw.gerigk/wizytowka
Skręcanie prętów Skręcanie jest to taki rodzaj obciążenia, w którym w wyniku działania obciążenia przekroju w postaci momentu skręcającego (przyczyna) obserwujemy odkształcenie elementu konstrukcji w postaci kąta . Kąt ten nazywamy też kątem odkształcenia postaciowego. Pręt o przekroju kołowym –hipoteza płaskich przekrojów – przekrój prostopadły do osi pręta pozostaje płaski –w przekroju normalnym do osi pręta występują wyłącznie naprężenia styczne
Skręcanie prętów r A B’ B Ms Ms Warunki równowagi gdzie:
elementarny kąt skręcenia pręta Skręcanie prętów Z warunków geometrycznych przedstawionych na rysunku wynika, że: elementarny kąt skręcenia pręta przy czym Kąt odkształcenia postaciowego zależy od punktu przekroju poprzecznego, w którym jest mierzony. Związki fizyczne W przypadku skręcania istnieje związek pomiędzy naprężeniami a kątem odkształcenia postaciowego (prawo Hooke’a dla ścinania): - naprężenie styczne (tnące) przy skręcaniu - moduł sprężystości postaciowej Kirchhoffa, stała stablicowana
elementarny kąt skręcenia pręta Skręcanie prętów Z warunków geometrycznych przedstawionych na rysunku wynika, że: elementarny kąt skręcenia pręta przy czym Kąt odkształcenia postaciowego zależy od punktu przekroju poprzecznego, w którym jest mierzony. Związki fizyczne W przypadku skręcania istnieje związek pomiędzy naprężeniami a kątem odkształcenia postaciowego (prawo Hooke’a dla ścinania): - naprężenie styczne (tnące) przy skręcaniu - moduł sprężystości postaciowej Kirchhoffa, stała stablicowana
Skręcanie prętów W dalszej kolejności wyznaczamy a następnie (z warunku równowagi) albo IS – biegunowy moment bezwładności przekroju
Skręcanie prętów Rozkład naprężeń w przekroju skręcanym nie jest równomierny. Naprężenia zmieniają się liniowo od 0 w środku do wartości maksymalnej na obwodzie. r Można wykazać, że istnieje związek:
wskaźnik wytrzymałości na skręcanie WS Skręcanie prętów Dla przekroju kołowego jednorodnego – przypadek praktyczny Maksymalna wartość naprężeń: wskaźnik wytrzymałości na skręcanie WS Elementy skręcane konstrukcji maszyn oblicza się z uwagi na spełnienie warunku wytrzymałości dla naprężeń dopuszczalnych na skręcanie:
Skręcanie prętów Kąt skręcenia pręta zmienia się wzdłuż długości x (0 x l), zgodnie z zależnością Jeżeli MS, IS, G nie zależą od x, pręt o długości l odkształci się o: Sztywność pręta na skręcenie GIS © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-27 18:20:28
Skręcanie prętów Pręt skręcany momentem ciągłym wzdłuż długości m(x) [Nm/m] oraz momentem skupionym M [Nm] m(x) M x MS m(x) MS+dMS x x dx l x dx Warunek równowagi elementu dx Moment skręcający Różniczka momentu skręcającego © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-27 18:20:28
Skręcanie prętów Równanie różniczkowe kąta skręcenia Warunki brzegowe Przykład. Rozwiązać równanie różniczkowe kąta skręcenia dla m(x)=m0, 0 x l (stałe obciążenie momentem ciągłym na długości pręta) © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-27 18:20:28
Skręcanie prętów dla x=0, =0 C2=0 dla x=l, Przykład. Rozwiązać równanie różniczkowe kąta skręcenia dla m(x)=m0, 0 x l (stałe obciążenie momentem ciągłym na długości pręta) Rozwiązanie. Po 2-krotnym scałkowaniu i uwzględnieniu warunków brzegowych, otrzymamy kolejno: Warunki brzegowe: dla x=0, =0 C2=0 dla x=l, © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-27 18:20:28
Skręcanie prętów MS(x) m0l+M M + Ostatecznie Kąt skręcenia swobodnego końca pręta (x = l) Moment skręcający MS(x) m0l+M M + © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-27 18:20:28
Skręcanie prętów Przykład. Inspekcyjny robot latający Średnica wirnika głównego 1 000 mm Masa 6 500 g Typ napędu benzynowy Moc 2 000 W Udźwig 5 000 g Wirnik główny pręt obciążony ciągłym momentem skręcającym wzdłuż promienia Maksymalny moment skręcający © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-27 18:20:28
Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-05-27 18:20:28