6. Ruch obrotowy W czystym ruchu obrotowym każdy punkt ciała sztywnego porusza się po okręgu, którego środek leży na osi obrotu (ruch wzdłuż linii prostej lub krzywej nazywamy postępowym). W ruchu obrotowym wprowadza się zmienne kątowe: położenie kątowe θ, prędkość kątową w i przyspieszenie kątowe a (6.1) (6.2) Wyznaczanie kierunku prędkości kątowej 6.1. Prawo Newtona dla ruchu obrotowego Druga zasada dynamiki dla ruchu postępowego (6.3) może może być przekształcona do postaci użytecznej w analizie ruchu obrotowego. Mnożąc obie strony równania (6.3) przez wektor położenia otrzymuje się

(6.4) Lewą stronę równania (6.4) można przekształcić do postaci Równanie (6.4) można zatem zapisać następująco albo (druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego) (6.5) gdzie moment pędu cząstki jest równy a jest momentem siły. Wartość momentu siły jest równa co oznacza, że w ruchu obrotowym znaczenie ma nie tylko wartość siły ale także jak daleko od osi jest ona przyłożona i w którym kierunku działa (d-ramię siły F).

6.2. Płaski ruch obrotowy ze stałym promieniem W płaskim ruchu obrotowym ze stałym r i początku układu odniesienia w środku toru kołowego wektor prędkości jest prostopadły do wektora położenia. W tym przypadku otrzymuje się Wartość momentu pędu jest zatem równa (6.6) Wielkość mr2 w równ. (6.6) jest nazywana momentem bezwładności cząstki o masie m obracającej się wokół osi w odległości od niej równej r (6.7) Moment pędu (6.6) jest w ogólności wektorem, zgodnie z poniższym równaniem (6.8) Równanie (6.8) jest formalnie podobne do równania definiującego pęd liniowy gdzie odpowiada

Jeżeli siła działa w płaszczyźnie ruchu, wszystkie wektory , , są prostopadłe do tej płaszczyzny i można stosować zapis skalarny. W tym przypadku równanie (6.5) można zapisać następująco albo (6.9) Dla I = const równanie (6.9) można przekształcić do postaci (6.10) Równanie (6.10) jest kątowym odpowiednikiem II zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego (F = ma) i można je sformułować następująco: Wypadkowy moment siły działający na cząstkę jest równy iloczynowi momentu bezwładności względem danej osi obrotu i przyspieszenia kątowego względem tej osi.

6.3. Ruch obrotowy bryły sztywnej Moment pędu małej cząstki mi należącej do bryły sztywnej, w odniesieniu do początku O układu współrzędnych jest równy gdzie , Moment siły działającej na element masowy mi względem początku O jest równy Moment pędu całej bryły sztywnej uzyskamy sumując wszystkie momenty cząstkowe (6.11) Wypadkowy moment siły uzyskamy analogicznie w wyniku sumowania (6.12) Ostatecznie uzyskuje się dla bryły sztywnej (6.13) Zewnętrzny wypadkowy moment siły działający na bryłę sztywną jest równy czasowej szybkości zmian momentu pędu tej bryły.

Ruch obrotowy bryły sztywnej, cd. Z równania (6.13) wynika, że dla (6.14) Ilustruje to prawo zachowania momentu pędu: Jeżeli wypadkowy moment sił działających na układ jest równy zero, moment pędu układu pozostaje stały. Przykład 1: wirujący student Rys (a) Student siedzący na stołku i trzymający hantle w wyciągniętych rękach, wiruje swobodnie względem pionowej osi z prędkością kątową wi. Rys (b) Student zmniejsza swój moment bezwładności poprzez ściągnięcie rąk. Ponieważ zewnętrzny moment sił działających na układ student-stołek jest równy zero, moment pędu układu pozostaje stały i prędkość kątowa studenta wzrasta do wf. wf > wi Rys. z HRW

Przykład 2: układ student i ciężkie koło rowerowe Rys. (a) Spoczywający student siedzi na stołku i trzyma koło rowerowe (o momencie bezwładności Iwh), które wiruje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową wwh względem własnej osi. Rys. (b) Student odwraca koło, które wiruje teraz zgodnie ze wskazówkami zegara. Rys. (c) Moment pędu układu w obu przypadkach jest ten sam. Pytanie: Z jaką prędkością kątową wb i w jakim kierunku wiruje teraz układ (student, stołek i koło) po odwróceniu rotacji koła? (rys. z HRW)

6.4. Obrót bryły sztywnej wokół nieruchomej osi symetrii Równanie (6.13) jest ogólne ale może być uproszczone jeżeli obrót następuje wokół nieruchomej osi. W tym przypadku wektor momentu siły , momentu pędu oraz prędkości kątowej są kolinearne i notację wektorową można pominąć (6.15) Przykładem jest obrót obręczy wokół nieruchomej osi przechodzącej przez środek obręczy. Wartość momentu pędu wyliczamy z równania (6.16) Sumowanie w wyrażeniu na moment bezwładności zmieniamy na całkowanie, w wyniku czego otrzymuje się (6.17) gdzie M jest masą całkowitą obręczy a R jej promieniem. Jeżeli działające siły tworzą tzw. parę sił, t.j . , moment tej pary jest równy gdzie d jest mierzoną prostopadle odległością między tymi siłami (na rysunku d = 2r). Ruch obrotowy obręczy wokół nieruchomej osi

6.5. Energia kinetyczna w obrocie wokół stałej osi symetrii Energia kinetyczna punktu masowego obracającej się bryły sztywnej jest równa Całkowita energia kinetyczna obracającej się bryły jest zatem równa (6.18) Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności pomnożonemu przez kwadrat prędkości kątowej. Równanie (6.18) jest kątowym odpowiednikiem wyrażenia na energię kinetyczną w ruchu postępowym. W tym przypadku I odpowiada m ω odpowiada v

6.6. Momenty bezwładności wybranych brył Moment bezwładności obracającej się bryły sztywnej wyznaczamy z równania (6.19) r – odległość masy dm od osi obrotu Wprowadzając gęstość masy ρ można zapisać dm = ρ dV i gdy bryła jest jednorodna (ρ = const) całka (6.19) przyjmuje postać (6.20) Całkowanie w wyrażeniu (6.20) przeprowadza się po objętości V ale dla brył symetrycznych obliczenia w wielu przypadkach można zredukować do np. całkowania tylko względem jednego wymiaru. Przykłady obliczeń Cylinder względem centralnej osi symetrii gdzie j jest objętością cienkiego cylindra o promieniu r, grubości dr i wysokości L. Granicami całkowania są promienie R1 i R2 .

Ostatecznie po uproszczeniu otrzymuje się (6.21) Z wyrażenia (6.21) wynika, że dla pełnego walca (R1 = 0) otrzymujemy (wysokość L nie jest istotna a zatem wyrażenie to jest słuszne również dla cienkiego dysku) Dla cienkościennego cylindra i z równania (6.21) otrzymuje się co pozostaje w zgodności z wyrażeniem (6.17) na moment bezwładności obręczy.

W tym przypadku można wprowadzić pojęcie gęstości liniowej λ. A zatem 2. Cienki jednorodny pręt obracający się wokół osi do niego prostopadłej przechodzącej przez jego środek (6.22) W tym przypadku można wprowadzić pojęcie gęstości liniowej λ. A zatem Moment bezwładności jest więc równy Wykorzystując wprowadzoną gęstość liniową dla bryły jednorodnej można zapisać l = dm/dl = (masa pręta M)/(długość pręta L) Ostatecznie wyrażenie na moment bezwładności przyjmuje postać (6.23)

6.7.Twierdzenie Steinera W wielu wypadkach istotna jest znajomość momentu bezwładności względem danej osi nie przechodzącej przez środek masy bryły. Korzystamy wtedy z twierdzenia Steinera: Jeżeli znany jest moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy IC , moment bezwładności względem dowolnej innej osi równoległej jest równy (6.24) gdzie a jest odległością między tymi równoległymi osiami a M jest masą bryły. Przykład Jaki jest moment bezwładności pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego koniec? Z twierdzenia Steinera otrzymuje się