F r a k t a l e.

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
DOWODY TWIERDZENIA PITAGORASA.
Advertisements

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Programowanie I Rekurencja.
Badania operacyjne. Wykład 2
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Projekt „AS KOMPETENCJI’’
Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.
Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)
Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół w Lichnowach
Zapis informacji Dr Anna Kwiatkowska.
Fraktale.
„Własności figur płaskich” TRÓJKĄTY
Fraktale Zobaczyć świat w ziarenku piasku, Niebiosa w jednym kwiecie z lasu. W ściśniętej dłoni zamknąć bezmiar, W godzinie - nieskończoność czasu.
Grafika wektorowa i bitmapa
Fraktale i chaos w naukach o Ziemi
GEOMETRIA PROJEKT WYKONALI: Wojciech Szmyd Tomasz Mucha.
POJĘCIE ALGORYTMU Pojęcie algorytmu Etapy rozwiązywania zadań
Fraktale Michał Nowakowski Dariusz Cieślicki Wojciech Maciejewski.
ALGORYTMY KLASYCZNE ________ FRAKTALE
Nauki ścisłe vs. złożoność świata przyrody
Georg Cantor i jego zbiór
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Trójkąty.
FIGURY GEOMETRYCZNE.
Programowanie w Logo Projekt Edukacyjny.
Przygotowała Patrycja Strzałka.
Fraktale.
FRAKTALE   „Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma. W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo. Możesz utracić swój nabyty.
i Rachunek Prawdopodobieństwa
Wykład 6. Redukcje odwzorowawcze
Fraktale.
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Możesz kliknąć na odnośnik. Aby wyjść naciśnij Esc
Po raz pierwszy pojęcie FRAKTALI zostało wprowadzone do matematyki za sprawą francuskiego matematyka i informatyka polskiego pochodzenia Benoita Mandelbrota.
Fraktale Historia Fraktali
Na Ziemi nie ma tych lądów, rzek i mórz! To sztuczne obrazy!
Grafika i komunikacja człowieka z komputerem
Zbiory Co to jest zbiór? Nie martw się, jeśli nie potrafisz odpowiedzieć. Nie ma odpowiedzi na to pytanie.
TRÓJKĄT SIERPIŃSKIEGO
Treści multimedialne - kodowanie, przetwarzanie, prezentacja Odtwarzanie treści multimedialnych Andrzej Majkowski informatyka +
Grafika i komunikacja człowieka z komputerem
Magiczne kwadraty Przygotowali: Paulina Zmuda Maja Grześkiewicz
FRAKTALE FIGURY LISSAJOUSA Magdalena Szorc
Trójkąty Katarzyna Bereźnicka
Zbiory Julii.
Rodzaje Liczb JESZCZE SA TAKIE
WIELOKĄTY Karolina Zielińska kl.v Aleksandra Michałek kl v
GRAFIKA RASTROWA DALEJ. Podział grafiki komputerowej ze względu na sposób powstawania obrazu: GRAFIKA WEKTOROWA GRAFIKA KOMPUTEROWA GRAFIKA RASTROWA.
„Między duchem a materią pośredniczy matematyka. ”
Fraktal to zbiór o skomplikowanej budowie. Niezależnie od tego jak mały jego fragment będziemy oglądać będzie on równie skomplikowany jak całość.
Praca wykonana przez Kamila Jareckiego, Bartosza Drabarka i Jakuba Litke.
Fraktale.
Wykonali pracę: Werner Patryk Wiśniewska Natalia Woldon Julia.
FRAKTALE Maciej Przybysz IIa Piotr Puchała IIa.
Aleksander Wysocki IIc
Liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …(i tak dalej) nazywamy liczbami naturalnymi. Tak jak z liter tworzy się słowa, tak z cyfr tworzymy liczby. Dowolną.
Fraktale w życiu codziennym; Najpiękniejsze fraktale
czyli geometria (i nie tylko) w sztuce. Fraktale w Logo Komeniuszu
WSZYSTKO CO POWINIENEŚ O NICH WIEDZIEĆ…
FIGURY GEOMETRYCZNE Pracę wykonali : Adam Nikodem Maksym Wróbel Bartłomiej Kaleta Szata graficzna i efekty: Adam Nikodem Materiały: Maksym Wróbel Bartłomiej.
FIGURY PŁASKIE.
GEODEZYJNE W PRZETRZENIACH METRYCZNYCH
Co to jest i gdzie występuje
Figury geometryczne.
FRAKTALE MATEMATYCZNE.
FRAKTAL Słowo fraktal pochodzi z łaciny od słowa fractus – złamany. Co ciekawe nie istnieje jeszcze ścisła definicja fraktalu. Podany wyżej cytat Jamesa.
Desenie.
Treści multimedialne - kodowanie, przetwarzanie, prezentacja Odtwarzanie treści multimedialnych Andrzej Majkowski informatyka +
Zapis prezentacji:

F r a k t a l e

Fraktale są to figury geometryczne o złożonej strukturze, nie będące krzywymi, powierzchniami ani bryłami w rozumieniu klasycznej matematyki. Charakteryzuje je ułamkowy wymiar (stąd nazwa fraktal - ang. 'fraction' ułamek, łac. 'fractus' złamany) Fraktal - w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu).

Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który: ma nietrywialną strukturę w każdej skali. struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej. jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym. ma względnie prostą definicję rekurencyjną. ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Tworzenie fraktali z użyciem iteracji Czy istnieje jakiś przepis na tworzenie fraktalnych wzorów? Odpowiedź brzmi tak, kluczowe znaczenie ma tu proces zwany iteracją przekształcenia. Mamy funkcję , która przekształca pewien zbiór sam w siebie. Weźmy pewien punkt x. Pierwszą iteracją na będzie punkt f (x) Drugą iteracją na będzie punkt f (f (x)) Trzecią iteracją na będzie punkt f (f (f (x))) ... …

Fraktale - to taka interpretacja graficzna pewnych równań czy ciągów, które do niedawna uchodziły za matematyczne potworki, zupełnie abstrakcyjne i nie mające żadnych odniesień do rzeczywistości. Ich tworzenie polegało na powtarzaniu w nieskończoność określonych czynności, na liczeniu elementów pewnych ciągów i dobieraniu koloru rysowanego punktu w zależności od wyniku.

W dzisiejszych czasach rozwój wizualizacji pozwala na dopasowanie kolorów

Krzywa Kocha Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem. Następnie dzieli się ją na trzy równe części a na środkowej tworzy trójkąt równoboczny i usuwa jego podstawę. To pierwszy krok - generator krzywej Kocha. Ten sam algorytm wykonuje się na każdym z powstałych odcinków. Konstrukcja płatka śniegu wygląda identycznie. Najpierw rysuje się trójkąt równoboczny a następnie dzieli każdy bok aktualnej figury na trzy równe części, a na środkowej należy wstawić trójkąt równoboczny. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można więc narysować pewne jej przybliżenie.

Zbiór Cantora Zbiór Cantora powstaje według prostego algorytmu, podziału odcinka na trzy równe części i usunięcia środkowej, następnie z każdą z dwóch części robimy to samo. Zbiór ten ma długość równą zero i nieprzeliczalną liczbę punktów. Jest samopodobny, ponieważ każda dowolnie mała jego część, jest pomniejszoną kopią całości.

Trójkąt Sierpińskiego Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia. Więcej na temat trójkąta Sierpińskiego można dowiedzieć się, odwiedzając muzeum Boymans van Beuningen w Rotterdamie. Wśród wielu wspaniałych obrazów jeden ma cechy wspólne z trójkątem Sierpińskiego. To Oblicze wojny Salvador Dali.

Trójkąt Sierpińskiego Otrzymujemy go w następujący sposób: w trójkącie równobocznym łączymy środki krawędzi, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwamy, a wobec trzech pozostałych trójkątów powtarzamy tę samą operację, to jest dzielimy każdy na cztery mniejsze trójkąty, usuwamy środkowy, a wobec pozostałych powtarzamy i tak dalej. W wyniku powtarzania iteracji otrzymuje się 3, 9, 27, 81, 243, … trójkąty. Każdy z nich jest dokładną wersją trójkątów z poprzednich kroków.

Dywan Sierpińskiego Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.

Zastosowanie fraktali w informatyce Kompresja fraktalna to system kompresji stratnej opierający się na wykorzystaniu fraktali do reprezentacji danych. Używany jest prawie wyłącznie do kompresji obrazów. Tworzenie grafiki komputerowej - przy pomocy algorytmu możemy generować zarówno krzywe fraktalne jak i figury z nich złożone, które w rzeczywistości wyglądają jak linie brzegowe, całe wyspy, góry czy chmury. Zapamiętując jedynie dwa początkowe punkty i wysokości trójkątów, możemy zapamiętać dowolną łamaną używając stosunkowo niewielkiej ilości pamięci. Powiększanie obrazów – dzięki zastosowaniu algorytmu wykorzystującego fraktale, możemy powiększać dany obraz, ponieważ obraz będzie miał nieskończoną rozdzielczość. Brakujące fragmenty nie będą co prawda odtwarzane dokładnie, lecz piksele staną się punktami, a nie kwadratami jak w grafice rastrowej.

Inne zastosowania fraktali Pomimo, iż fraktale są w miarę nową gałęzią matematyki, znalazły bardzo szerokie zastosowanie, nie tylko w świecie matematyki i informatyki. Dziś, fraktale powoli zaczynają wkraczać w nasze środowisko nie tylko od strony natury, ale także nowoczesnej technologii. Oto najważniejsze zastosowania fraktali: badanie nieregularności powierzchni, opis procesów chaotycznych zachodzących w układach dynamicznych, przetwarzanie i kodowanie obrazów cyfrowych – kompresja fraktalna, modelowanie tworów naturalnych dla celów realistycznej grafiki komputerowej, badanie struktury łańcuchów DNA, badanie samopodobnych struktur harmonicznych występujących w muzyce.