Trochę matematyki Przepływ cieczy nieściśliwej – zamrozimy ciecz w całej objętości z wyjątkiem wąskiego kanalika o stałym przekroju – kontur . Ciecz w kanaliku jest nieruchoma lub przepływa wzdłuż konturu . Cyrkulacja (krążenie) wektora wzdłuż konturu  Dla dowolnego wektora

Cyrkulacja właściwa – stosunek cyrkulacji C do powierzchni A „obmywanej” przez cyrkulację. Wielkość zachowuje się jak rzut pewnego wektora na kierunek normalnej do płaszczyzny konturu, wzdłuż którego następuje cyrkulacja. Wektor ten nosi nazwę rotacji wektora W prostokątnym układzie współrzędnych

Twierdzenie Stokesa Cyrkulacja wektora wzdłuż konturu  równa się strumieniowi wektora przez dowolną powierzchnię A ograniczoną tym konturem.

Fizyczna interpretacja rotacji Rotacja opisuje wirowość pola wektorowego, czyli regularną zmianę jego kierunku od punktu do punktu. Fizyczna interpretacja rotacji W polu wektorowym o nieznikającej rotacji występują wiry – jeśli jest to pole prędkości, to muszą wystąpić zamknięte linie (wiry), które mogą być nałożone na jednokierunkowy przepływ.

Zmienny strumień magnetyczny generuje siłę elektromotoryczną. Siła elektromotoryczna = praca wykonana nad jednostkowym ładunkiem, który przemieszcza się wzdłuż obwodu

Pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym Pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym. Praca po krzywej zamkniętej Otrzymany wynik jest sprzeczny z tym stwierdzeniem to nie jest pole statyczne

pochodna cząstkowa, bo w ogólności wirowe pole elektryczne

Zmienne pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne. Umieśćmy w tym polu obwód kołowy. Strumień B rośnie – zgodnie z regułą Lenza prąd płynący w obwodzie kołowym przeciwstawia się tej zmianie – pole wytworzone przez ten prąd ma kierunek przeciwny do zmian pola zewnętrznego - jest skierowane w dół Strumień B maleje – zgodnie z regułą Lenza prąd płynący w obwodzie kołowym przeciwstawia się tej zmianie – pole wytworzone przez ten prąd ma kierunek przeciwny do zmian pola zewnętrznego - jest skierowane w górę

Prawo Ampere’a raz jeszcze Obliczymy dywergencję: = 0 zawsze!!! ? pole jest albo źródłowe albo wirowe

Prawo Ohma Obliczmy dywergencję tego równania prawo Gaussa = 0  0 Mamy sprzeczność – nierówność dwóch stron równania

dodał Maxwell do prawa Ampere’a Obliczymy dywergencję: = 0 = ? ?

Natężenie prądu

otrzymaliśmy wcześniej Prawo Ampere’a + składnik Maxwella lewa strona = prawa strona

gęstość prądu przewodzenia gęstość prądu przesunięcia

S=l

Równania Maxwella w postaci różniczkowej i całkowej

Pola statyczne x x magnetostatyka elektrostatyka

Fale elektromagnetyczne X X Założenie – nie ma ładunków i prądów

Fala elektromagnetyczna spełnia równania: prędkość fali elektromagnetycznej

Pole elektryczne ma tylko składową Ey, pole magnetyczne ma tylko składową Bz, fala rozchodzi się w kierunku osi x.

Monochromatyczna fala płaska opisana jest równaniami

=0

= 0

Potencjał wektorowy Potencjał pola elektrostatycznego pochodzącego od ciągłego rozkładu ładunku w danym punkcie pola jest równy 1(x1,y1,z1) dV2 Związek natężenia pola z potencjałem: 2(x2,y2,z2) Czy pole magnetyczne możemy również opisać takim potencjałem? ale lub

Wektor indukcji magnetycznej możemy przedstawić jako rotację pewnego wektora Przez analogię do pola elektrostatycznego nazwiemy go potencjałem wektorowym. Prawo Gaussa dla magnetyzmu jest spełnione: zawsze!!! Ponieważ

Składowa x równania Zakładamy, że można zmienić kolejność różniczkowania:

może być dowolna, w szczególności = 0 Spośród możliwych rozwiązań rozważymy tylko takie, dla których

Otrzymamy więc: Równanie to ma postać taką jak równanie Poissona dla potencjału pola elektrostatycznego rozwiązanie równania Poissona Składowa x potencjału wektorowego musi spełniać zależność

Dla pozostałych składowych otrzymamy podobne związki Dla pozostałych składowych otrzymamy podobne związki. Potencjał wektorowy możemy zapisać w postaci wektorowej Całkowanie przeprowadza się po całej objętości, w której płyną prądy wytwarzające pole. Jeśli znamy rozkład prądów wytwarzających pole możemy obliczyć potencjał wektorowy a następnie – obliczając rotację potencjału – indukcję pola magnetycznego.