Wytrzymałość materiałów (WM II – wykład 5)

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Wtorek: 14.00-15.00 (13.00-15.00) Piątek: 8.00-9.00

TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy) Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił - Zakres zastosowań - Określenie rodzaju i liczby wielkości podporowych i sformułowanie równań równowagi - Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności i utworzenie podstawowego układu prętowego - Określenie warunków geometrycznych oraz związków fizycznych i sformułowanie równań kanonicznych metody sił - Wyznaczenie współczynników równań kanonicznych metody sił - Wyznaczenie z równań kanonicznych metody sił wielkości hiperstatycznych - Wyznaczenie pozostałych sił niewiadomych, na podstawie równań równowagi statycznej - Sformułowanie równań i narysowanie wykresów sił wewnętrznych - Wyznaczenie przemieszczeń   - Przykłady obliczeniowe - Przykłady praktyczne W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Zakres zastosowań. Dowolne układy prętowe statycznie niewyznaczalne. Implementacje numeryczne. Przykład zastosowania. Rama płaska. Dane: q, l, EI. Wyznaczyć: reakcje podpór, wykresy sił wewnętrznych i kąt obrotu przekroju C. X2 VC l x u2 B C B HC q EI X1 x C q u1 2EI HA A HA A VA Rzeczywisty układ prętowy VA Podstawowy układ prętowy MA MA

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Rozwiązanie 1. Określenie rodzaju i liczby wielkości podporowych i sformułowanie równań równowagi W punkcie C jest podpora przegubowa, w której występują reakcje HC (pozioma) oraz VC (pionowa). W punkcie A rama jest utwierdzona, a więc występują tam reakcje HA (pozioma), VA (pionowa) i moment utwierdzenia MA. Po oswobodzeniu z więzów rama (rzeczywisty układ prętowy) jest w równowadze pod działaniem znanego obciążenia równomiernie rozłożonego q oraz pięciu niewiadomych wielkości podporowych HC, VC, HA, VA, MA. Tworzą one płaski układ sił, dla którego można zapisać trzy równania równowagi statycznej:

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił 2. Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności i utworzenie podstawowego układu prętowego Liczba niewiadomych reakcji wynosi 5, a liczba równań równowagi 3. Rama jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna (hiperstatyczna). Jako wielkości hiperstatyczne przyjmujemy X1 = HC i X2 = VC. Usuwamy więzy, które powodują powstawanie wielkości hiperstatycznych i tworzymy w ten sposób układ podstawowy (statycznie wyznaczalny). W przypadku rozważanej ramy oznacza to umożliwienie swobodnego przemieszczania się punktu C w kierunku poziomym (odpowiadającym X1) oraz pionowym (odpowiadającym X2), czyli oswobodzenie tego punktu.

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił 3. Określenie warunków geometrycznych oraz związków fizycznych i sformułowanie równań kanonicznych metody sił Układ podstawowy będzie równoważny układowi rzeczywistemu ramy przy takich wartościach X1 i X2, dla których są spełnione warunki geometryczne: Związki fizyczne, które określają przemieszczenie u1 i u2 jako liniowe funkcje X1 i X2 oraz znanego obciążenia równomiernie rozłożonego q: Po uwzględnieniu związków fizycznych w warunkach geometrycznych otrzymujemy równania kanoniczne metody sił:

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił f11, f12 – liczby wpływowe X1, X2 na przemieszczenie u1 f21, f22 – liczby wpływowe X1, X2 na przemieszczenie u2 Δ1F, Δ2F – część przemieszczeń u1, u2 spowodowana działaniem znanego obciążenia q. Równań kanonicznych można napisać tyle, ile jest wielkości hiperstatycznych. Przyczyny powstawanie reakcji więzów oraz sił wewnętrznych i naprężeń w przekrojach prętów układu prętowego statycznie niewyznaczalnego: – obciążenia zewnętrzne – niedokładność wymiarów – naprężenia montażowe – zmiany temperatury – naprężenia termiczne

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił 4. Wyznaczenie współczynników równań kanonicznych metody sił Liczby wpływowe f11, f12, f21, f22, określają własności sprężyste układu podstawowego oraz równoważnego układu rzeczywistego. Są one przemieszczeniami w statycznie wyznaczalnym układzie podstawowym, spowodowanymi jednostkowymi siłami hiperstatycznymi lub znanymi obciążeniami zewnętrznymi Można je wyznaczyć metodą Maxwella-Mohra. Rozważamy układ podstawowy obciążony kolejno siłami X1 = 1, X2 = 1 oraz q. Przypadek ogólny: liczba wariantów obciążeń układu podstawowego o jeden większa od liczby wielkości hiperstatycznych.

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił MA2 VA2 l,EI HA2 X2 = 1 x l, 2EI MAq VAq HAq q x l,EI l, 2EI x l,EI X1=1 x l, 2EI MA1 HA1 VA1 Założenia: – uwzględniamy tylko energię sprężystą zginania – w każdym wariancie obciążenia identyczne przedziały 1 i 2 oraz współrzędne x określające położenie przekroju pręta. Przedział 1 – pręt poziomy BC, Przedział 2 – pręt pionowy BA. W obydwu przedziałach – przyjmujemy ponadto, że moment gnący Mg dodatni zakrzywia, a ujemny prostuje ramę.

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Rezultat: momenty gnące zależą wyłącznie od X1 = 1, X2 = 1 albo q. Nie ma potrzeby wyliczania pozostałych reakcji. Dla siły hiperstatycznej X1 = 1 momenty gnące wynoszą: Dla siły hiperstatycznej X2 = 1: Dla obciążenia zewnętrznego q: Siły X1 = 1, X2 = 1 – przyczyna wywołująca moment gnący – uogólniona siła jednostkowa odpowiadająca przemieszczeniu

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Współczynniki równań kanonicznych. f12 – siła X2 = 1 – przyczyna powodująca przemieszczenie (momenty gnące Mg12, Mg22) – siła X1 = 1 – siła jednostkowa odpowiadającą przemieszczeniu (momenty gnące Mg11, Mg21). Pozostałe współczynniki równań kanonicznych:

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił 5. Wyznaczenie z równań kanonicznych metody sił wielkości hiperstatycznych Po uwzględnieniu znanych już współczynników w równaniach kanonicznych można wyznaczyć z nich wielkości hiperstatyczne X1 i X2: Równanie kanoniczne metody sił w zapisie rachunku macierzowego – macierz podatności układu podstawowego obciążonego tylko siłami X1, X2 X = [X1 X2]T – jednokolumnowa macierz wielkości hiperstatycznych ΔF = [Δ1F Δ2F]T – jednokolumnowa macierz przemieszczeń spowodowanych obciążeniem rzeczywistym, odpowiadających wielkościom hiperstatycznym.

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił 6. Wyznaczenie pozostałych sił niewiadomych, na podstawie równań równowagi statycznej. 7. Sformułowanie równań i narysowanie wykresów sił wewnętrznych. Przedział 1 ( ) dla x = 0, Mg1 = 0, dla x = l,

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił ) Przedział 2 ( dla x = 0, , dla x = l, Ponieważ , jest to minimum lokalne © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Dla dla x = 0, dla x = l, 0,114ql2 0,409l 0,023ql2 -0,061ql2 Wykres Mg 0,591ql 0,023ql -0,409ql Wykres T Wykres N © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił 8. Wyznaczenie przemieszczeń Aby wyznaczyć metodą Maxwella-Mohra kąt obrotu końcowego prawego przekroju pręta BC, należy w punkcie C przyłożyć moment jednostkowy i określić spowodowane nim momenty gnące M’g1 M’g2 w obydwu przedziałach. Rozważamy statycznie wyznaczalny układ podstawowy. x B u C l,EI x 1 l, 2EI A H’A V’A M’A © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Momenty gnące spowodowane obciążeniem q i znanymi siłami X1, X2 (Mg1 Mg2) oraz momentem jednostkowym, odpowiadającym kątowi obrotu u przekroju C (M’g1 M’g2) wynoszą: Przemieszczenie uogólnione u (kąt obrotu w punkcie C) wyznaczone metodą Maxwella-Mohra: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Przykład 1. Rama płaska jest obciążona dwoma równymi, przeciwnie zwróconymi i leżącymi na jednej prostej siłami F. Narysować wykresy sił wewnętrznych, jeśli wszystkie pręty mają długość l, a sztywność na zginanie prętów poziomych oraz pionowych wynoszą odpowiednio EI oraz 2EI. F/2 F/2 F/2 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01

Przedziały w ćwiartce ramy Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił 1 X1 l/2 Fl/24 x Mg x F/2 F F 2 l/2 -11Fl/24 X1 = 1 M N ? 1 l/2 2 x F/2 ? x -F/2 T F F T = 0 l/2 -F/2 Przedziały w ćwiartce ramy F/2 1 l/2 2 F/2 F/2 x F X x M M F N l/2 M M F/2 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Rozwiązanie. „Przecinamy” ramy pionową płaszczyzną symetrii Z warunków równowagi: N = F/2 T = 0 Moment gnący M – wielkość hiperstatyczna X1. Układ podstawowy – swobodny wzajemny obrót lewej i prawej strony rozważanego przekroju. Warunek geometryczny: przy obciążeniu siłami X1 i F wzajemny kąt obrotu u1 lewej i prawej strony przekroju jest równy zeru. Równanie kanoniczne metody sił: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Metoda Maxwella-Mohra – energia dla ćwiartki ramy i wynik mnożymy przez cztery. Równania momentów gnących wywołanych siłą X1 = 1 oraz obciążeniem F w przedziałach 1, 2 Dla 0< x< l/2 czyli: Z równania kanonicznego: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Równania momentów gnących Mg sił poprzecznych T i normalnych N mają postać: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Przykład 2. Wałek o długości l i średnicy d, wykonany z materiału o współczynniku sprężystości podłużnej E, jest osadzony w trzech łożyskach. Obliczyć maksymalne naprężenie normalne w wałku po jego zmontowaniu, jeśli oś łożyska środkowego jest przesunięta o δ względem osi dwóch pozostałych łożysk. Rozwiązanie. Wałek modelowany jako belka na trzech podporach. Wystąpią reakcje RA, RB, RC. A d l/2 RA B RB = X1 RC C δ łożysko © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Warunek równowagi: RA = RC = RB/2 Zadanie jednokrotnie statycznie niewyznaczalne. Wielkość hiperstatyczna: RB = X1 Równanie kanoniczne metody sił: Warunek geometryczny, aby można było zmontować wałek. Liczba wpływowa f11 – ugięcie belki o rozpiętości l i sztywności EI podpartej swobodnie na końcach i obciążonej w środku siłą X1 = 1 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił Przemieszczenie Δ1F = 0 – nie ma obciążenia zewnętrznego: Moment gnący osiąga wartość maksymalną w przekroju środkowym wałka i wynosi: Maksymalne montażowe naprężenie normalne w wałku wynosi: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01

Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-04-15 12:21:01