Wytrzymałość materiałów (WM I - 8)

prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Poniedziałki: 14.00-15.15, Czwartki: 14.00-15.15 W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Wykład W8: Stany naprężeń: - Trójosiowy stan naprężeń - Odkształcenia od naprężeń normalnych – odkształcenia objętościowe - Odkształcenia od naprężeń stycznych – odkształcenia postaciowe - Wytężenie materiału - Elementarny i złożony stan naprężeń - Hipotezy wytężeniowe - Hipoteza maksymalnych naprężeństycznych (sformułowana przez Coulomba i rozwinięta przez Tresca i Guesta) - Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego (sformułowana przez Hubera, Misesa, Hencky’ego) - Kryterium wytrzymałości i jego zastosowanie - Przykłady praktyczne zastosowania hipotez: (1) maksymalnych naprężeństycznych oraz (2)energii właściwej odkształcenia postaciowego. Autorstwo poniższego wykładu: © Prof. Krzysztof Kaliński http://pg.edu.pl/288cd25679_miroslaw.gerigk/wizytowka

Trójosiowy stan naprężeń z z zy zx yz xz y yx y O dz  xy x Składowe stanu naprężeń dx x dy Rozważmy elementarny fragment ciała odkształcalnego Na przeciwległych ścianach wystąpią składowe naprężeń normalnych oraz składowe naprężeń stycznych. Składowe te pozostają w stanie równowagi statycznej. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Problem: jak ustawić układ współrzędnych Oxyz, aby naprężenia styczne = 0 tensor naprężeń Warunki Cauchy’ego – symetria tensora naprężeń Naprężenia główne 1, 2, 3 są pierwiastkami równania charakterystycznego: gdzie: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Twierdzenie. Jeżeli w układzie prostokątnym Oxyz składowe normalne stanu naprężeń wynoszą x, y, z, zaś składowe styczne – xy, yz, xz, to naprężenia główne 1, 2, 3 są wartościami własnymi tensora naprężeń zaś kosinusy kierunkowe osi naprężeń głównych są wektorami własnymi tensora naprężeń, unormowanymi w ten sposób że suma kwadratów składowych wynosi 1. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Jeżeli wektory własne mają postać to kosinusy kierunkowe osi naprężeń głównych nr i z y x 3 2 1 33 32 12 31 23 22 21 13 11 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Odkształcenie objętościowe Trójosiowy stan naprężeń z  Odkształcenie objętościowe E – moduł Younga y y x dy ydy © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Odkształcenia postaciowe Trójosiowy stan naprężeń Odkształcenia (deformacje) spowodowane naprężeniami stycznymi x y z  yz zy * Odkształcenia postaciowe E – moduł Younga  – liczba Poissona G – moduł Kirchhoffa * © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Wytężenie materiału Wytężenie materiału – to miara osiągnięcia stanu niebezpiecznego, tzn. pojawienie sią lokalnego odkształcenia trwałego (tzw. uplastycznienia) lub pęknięcia (tzw. dekohezji materiału) w dowolnym punkcie ciała. Wytężenie materiału (W) jest zależne od składowych stanu naprężenia oraz własności mechanicznych: – naprężenia główne, C – własności mechaniczne materiału, tzw. stałe materiałowe, np.: Re – granica plastyczności na rozciąganie, Rm – granica wytrzymałości na rozciąganie, Rc – granica wytrzymałości na ściskanie, Rs – granica wytrzymałości na ścinanie © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń s1 s1 s3 Elementarny stan naprężeń: Złożony stan naprężeń: rozciąganie: Jak sumować ze sobą naprężenia będące wynikiem obciążeń działających w różnych płaszczyznach? Jak wyznaczyć naprężenia zredukowane? Jak określić wartość naprężenia przy którym nastąpi trwałe odkształcenie lub zniszczenie elementu poddanego złożonemu obciążeniu? Jak sformułować warunek wytrzymałości? ODPOWIEDŹ DAJĄ HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE ścinanie: skręcanie: zginanie: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Naprężenie redukowane (zastępcze) – wywołuje w jednoosiowym stanie naprężenia (np. w pręcie rozciąganym lub ściskanym), takie samo wytężenie, jak reprezentowany przez nie przypadek złożonego stanu naprężenia Przy założeniu, że granica plastyczności oraz wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie są sobie odpowiednio równe ( i ) , to: Warunek początku plastyczności ma postać: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Warunek zniszczenia (inicjacji pęknięcia) ma postać: Problem sprowadza się do znalezienia właściwej miary wytężenia, tzn. funkcji lub Nie istnieje jedna jednoznacznie uzasadniona fizycznie miara wytężenia. Dlatego powstało wiele hipotez wytężeniowych, z których każda zakłada inną miarę wytężenia. Wśród wielu hipotez wytężeniowych można wyróżnić: Hipotezę maksymalnych naprężeń stycznych Hipotezę energii właściwej odkształcenia postaciowego Hipotezę największych naprężeń normalnych Hipotezę największego wydłużenia względnego Obecnie największe znaczenie praktyczne mają dwie pierwsze hipotezy. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Hipoteza 1: o pojawieniu się w materiale sprężysto-plastycznym odkształceń trwałych decydują maksymalne naprężenia styczne – hipoteza max Coulomba Hipoteza 2: o pojawieniu się w materiale sprężysto-plastycznym odkształceń trwałych decyduje energia właściwa odkształcenia postaciowego – hipoteza Hubera Maksymilian Tytus Huber (1904 r.) polski uczony, profesor Politechniki Lwowskiej oraz Politechniki Gdańskiej (1945-1950) R. von Misses (1913 r.) – Niemcy H. Hencky (1924 r.) – Wielka Brytania (1872-1950) © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych Trójosiowy stan naprężeń Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych – sformułowana przez Coulomba i rozwinęta przez Tresca i Guesta, dotyczy granicy sprężystości i granicy wytrzymałości. Zakłada ona, że miarą wytężenia jest największe naprężenie styczne. Największe naprężenie styczne w dowolnym stanie naprężeń wynosi: W prostym rozciąganiu maksymalne naprężenie styczne wynosi: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Dla równych naprężeń stycznych wytężenia w obydwu stanach naprężeń są równe , stąd naprężenie redukowane wyraża postać: Warunek aby w danym stanie naprężeń nie wystąpiły odkształcenia trwałe (plastyczne) ma postać: Warunek zachowania wytrzymałości materiału wyraża postać: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Powierzchnię graniczną wytrzymałości materiału w układzie przy założeniu wyznacza układ sześciu nierówności (równań): Powierzchnię graniczną stanowią ściany graniastosłupa nachylone do osi Dla płaskiego stanu naprężeń układ nierówności (równań) na powierzchnię graniczną ma postać: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń W układzie płaskim otrzymuje się sześć równań, opisujących proste, które wyznaczają kontur graniczny w postaci sześcioboku: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń b c d e f s1 s2 Rm Jeżeli płaski stan naprężenia jest określony przez składowe to naprężenia główne wyznacza wzór: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń są różne, to 1) Jeżeli znaki naprężeń głównych Przypadek ten zaistnieje, gdy składowe naprężenia spełnią warunek: Wówczas , a naprężenie redukowane określa wzór: , © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń 2) Jeżeli znaki naprężeń głównych i są jednakowe, to a , ponadto gdy , to wówczas naprężenie redukowane dane jest wzorem: , a gdy , to wówczas wzór na naprężenie redukowane ma postać: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Dla prostego ścinania a wzór na naprężenia redukowane: Stąd: Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych opiera się na założeniu, że i można ją stosować tylko do materiałów spełniających ten warunek. Badania doświadczalne przeprowadzone dla materiałów plastycznych, szczególnie dla płaskich stanów naprężeń, potwierdzają słuszność tej hipotezy. Dla równomiernego trójosiowego rozciągania (1=2=3) według tej hipotezy materiał powinien wykazywać nieograniczoną wytrzymałość, ponieważ red=1–2(3)=0, co jest praktycznie mało prawdopodobne. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń s1=Re Równoważne stany naprężeń według hipotezy maksymalnych naprężeń stycznych: s1=1,5 Re s2 = 2/3 s1 s2 s3 s3 = 1/3 s1 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego Trójosiowy stan naprężeń Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego – sformułowana przez Hubera, Misesa, Hencky’ego zakłada, że miarą wytężenia jest energia właściwa odkształcenia postaciowego. Energię właściwą odkształcenia postaciowego w ogólnym stanie naprężenia określa zależność: Dla jednoosiowego stanu naprężenia energię tą opisuje wyrażenie: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Jeżeli wytężenia są sobie równe, to a wzór na naprężenie redukowane ma postać: Dla płaskiego stanu naprężeń naprężenie redukowane: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Dla często spotykanego w budowie maszyn stanu naprężeń naprężenie redukowane określa wyrażenie: a dla prostego ścinania: stąd wniosek: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Trójosiowy stan naprężeń Równoważne stany naprężeń według hipotezy energii właściwej odkształcenia postaciowego: s1=1,73 Re s2 = 2/3 s1 s2 s3 s3 = 1/3 s1 sred=Re sred=Re Hipotezę energii właściwej odkształcenia postaciowego może mieć zastosowanie zarówno do stanów sprężystych jak i do stanów posprężystych. Doświadczalnie potwierdzono słuszność tej hipotezy dla stali węglowej, zarówno w przypadku obciążeń stałych jak i zmiennych. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:22

Kryterium wytrzymałości Trójosiowy stan naprężeń Kryterium wytrzymałości Do oceny wytężenia ciała stosuje się zasadę najsłabszego ogniwa. Tym samym o wytężeniu ciała decyduje ten jego punkt, w którym naprężenie redukowane jest największe. Kryterium wytrzymałości w przypadku ogólnym można zapisać tak jak dla pręta rozciąganego: gdzie: naprężenie dopuszczalne dla: - warunku początku plastyczności: - warunku zniszczenia: n – współczynnik bezpieczeństwa. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:23

Trójosiowy stan naprężeń Współczynnik bezpieczeństwa n można oszacować za pomocą wzoru: gdzie: n1 – współczynnik pewności założeń, n2 – współczynnik ważności przedmiotu, n3 – współczynnik jednorodności materiału, n4 – współczynnik zachowania wymiarów. Cząstkowe współczynniki bezpieczeństwa dotyczące elementów stalowych zamieszczono w tabeli. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:23

Trójosiowy stan naprężeń Współczynnik Wartość Zastosowanie n1 1,1 wykonane badania materiału, ścisłe metody obliczeń 1,2 – 1,4 znany gatunek materiału, zwykłe metody obliczeń 1,5 – 2,0 obciążenia udarowe n2 1,0 – 1,1 zniszczenie elementu spowoduje zatrzymanie maszyny 1,1 – 1,2 zniszczenie elementu spowoduje uszkodzenie maszyny 1,3 – 1,5 zniszczenie elementu może spowodować wypadek n3 ścisła kontrola rentgenograficzna lub ultradzwiękowa materiały kute, walcowane, ciągnione 1,2 odlewy ciśnieniowe, odśrodkowe 1,3 odlewy kokilowe, spoiny wykonane automatycznie lub przez spawaczy I kategorii 1,4 – 1,7 odlewy piaskowe, części hartowane, spoiny o właściwym wyglądzie n4 1,0 – 1,05 ścisła kontrola każdego przedmiotu 1,05 – 1,1 normalna kontrola wyrywkowa po obróbce skrawaniem 1,1 – 1,5 pręty, profile walcowane, blachy, dokładne odlewy, elementy toczne konstrukcje spawane, odlewy, odkuwki Dla staliwa, stopów lekkich i metali kolorowych wartość współczynnika n należy zwiększyć o 40 %, a dla żeliwa o 100%. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:23

Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-02-21 17:45:23