Zasady przywiązywania układów współrzędnych do członów. W celu opisania usytuowania każdego członu względem jego sąsiadów definiuje się układy współrzędnych związane z każdym członem. Układy współrzędnych członów numeruje się tak samo jak człony, z którymi są związane. A zatem układ {i} jest związany sztywno z członem i.

Pośrednie człony łańcucha Przyjmujemy, że oś z układu {i} (zi), pokrywa się z osią połączenia i. Początek układu {i} jest usytuowany w miejscu przecięcia osi połączenia i przez prostopadłą Li. Oś xi pokrywa się z prostopadłą Li i jest skierowana od połączenia i do połączenia i+1. W przypadku gdy Li = 0, xi jest normalną do płaszczyzny zi i zi+1. Kierunek Yi przyjmuję się zgodnie z regułą prawej ręki jako uzupełnienie i – tego układu współrzędnych.

Pierwszy i ostatni człon łańcucha Układ współrzędnych {0} przywiązywany do podstawy robota lub członu 0. Układ ten nie porusza się i dla zadania kinematyki ramienia może być traktowany jako układ odniesienia. Możemy opisać położenie wszystkich innych układów współrzędnych członów względem tego układu. Dla n-tej pary obrotowej kierunek XN wybiera się tak , aby przebiegał wzdłuż Xn-1 o ile θn = 0, a początek układu {N} leży w punkcie przecięcia Xn-1 z osią połączenia n, gdy λn = 0.

Parametry członów na tle współrzędnych członów Jeśli układy współrzędnych członów zostały związane z członami zgodnie z omówioną wyżej konwencją, to uzyskamy następujące definicje parametrów członów: Li – odległość od osi Zi do Zi+1 mierzona wzdłuż osi Xi αi – kąt między osiami Zi i Zi+1 mierzony wokół Xi λi – odległość od osi Xi-1 do Xi mierzona wzdłuż Zi θi – kąt między osiami Xi-1 i Xi mierzony wokół Zi

Algorytm formowania układów współrzędnych 1. Zidentyfikować osie połączeń i wyobrazić sobie odzwierciedlające je proste. 2. Znaleźć prostą obustronnie prostopadłą do nich lub punkt ich przecięcia. W punkcie przecięcia i-tej osi z prostą obustronnie prostopadłą należy przyjąć początek układu współrzędnych członu. 3. Wybrać oś Zi w osi i-tego połączenia. 4. Wybrać oś Xi wzdłuż prostej obustronnie prosto-padłej lub jeśli osie przecinają się, przyjąć Xi jako normalną do płaszczyzny zawierającej te dwie osie. 5. Wybrać oś Yi tak, aby uzupełniała prawoskrętny układ współrzędnych.

6. Przyjąć, że układ {0} pokrywa się z układem {1}, gdy zmienna pierwszego połączenia jest równa 0. Wybrać dowolnie usytuowanie układu {N} i zwrot osi XN tak aby spowodować zerowanie się możliwie największej liczby parametrów. W przypadku przecinania się osi, kąt skręcenia jest mierzony w płaszczyźnie zawierającej obie osie. Nie można jednak wówczas określić znaku αi i można go przyjąć dowolnie.

Opis połączeń członu Parametrami opisującymi połączenie członów są odsunięcie członu i kąt konfiguracji członu. Odsunięcie członu Dwa współpracujące ze sobą człony mają wspólną oś połączenia ruchowego. Odległość między członami mierzona właśnie wzdłuż tej osi nazywana jest odsunięciem członu i oznaczana jest przez λi (gdzie i- numer połączenia ruchomego). Odsunięcie członu λi jest to odległość ze znakiem, mierzona wzdłuż osi połączenia i od punktu, w którym Li-1 przecina tę oś, do punktu przecięcia prostej Li ze wspólną osią. Odsunięcie λi jest zmienne, jeśli połączenie i jest parą przesuwną.

Kąt konfiguracji członu θi Parametr ten określa wartość kąta obrotu wokół osi połączenia ruchowego, o jaki obrócono względem siebie sąsiadujące człony. Kąt ten zawarty jest między przedłużeniem Li-1 oraz Li, mierzony wokół osi połączenia i. Zaletą takiego usytuowania układów współrzędnych jest to, że tylko cztery parametry określają względne usytuowanie dwóch sąsiednich układów przy czym dwa z nich tzn. Li i αi są zawsze stałe, a jeden z pozostałych zmienny w zależności od typu pary kinematycznej. W przypadku pary obrotowej zmiennych będzie kąt θi, a w przypadku pary przesuwnej – przesunięcie λi.

Opis członu Parametrami, które opisują człon są długość członu i kąt skręcenia członu. Długość członu (Li ) Długość członu i (oznaczana Li) definiowana jest jako odległość pomiędzy dwoma osiami połączeń: osią i oraz i+1. Odległość między dwoma osiami mierzona jest wzdłuż prostej prostopadłej równocześnie do obu osi. Ta prosta obustronnie prostopadła zawsze istnieje, natomiast przypadku gdy obie osie są równoległe to występuje wiele takich obustronnie prostopadłych równej długości.

Kąt skręcenia członu (αi ) Jeżeli wyobrazimy sobie płaszczyznę, której normalna odpowiada dopiero co znalezionej obustronnie prostopadłej do osi połączeń ruchowych, a następnie zrzutujemy obie osie i oraz i+1 na tę płaszczyznę to kąt zawarty między nimi będzie właśnie kątem skręcenia członu i, a oznaczany będzie αi. Kąt ten mierzony jest w kierunku od osi i do osi i+1, zgodnie z regułą prawej ręki wokół prostej Li.

Dwa sąsiednie układy współrzędnych i i i-1 mogą być przekształcone jeden w drugi za pomocą obrotu, dwóch przesunięć i jeszcze jednego obrotu w następującej kolejności: obrót wokół osi zi-1 o kąt θi, aż oś xi-1 stanie się równoległa do osi xi, przesunięcie wzdłuż osi zi-1 o wielkości λi tak, aby oś xi-1 pokryła się z osią xi, przesunięcie wzdłuż osi xi o wielkość Li tak, aby początki obu układów pokryły się; obrót wokół osi xi o kąt αi, aż wszystkie osie będą się pokrywać.

Każdemu z tych elementarnych ruchów odpowiada macierz Ai: