Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych” Ernest Mach

POLE KOŁA. Umiesz obliczyć pole kwadratu, prostokąta, trójkąta, trapezu itp. Koło jest figurą o regularnym kształcie posiadającą powierzchnie. W tej lekcji dowiesz się jak obliczyć pole powierzchni koła.

OZNACZENIA. Przyjmujemy następujące oznaczenia: r – długość promienia d – długość średnicy P – pole koła Ważne: d = 2r

LICZBA π. Przypomnijmy (dokładne informacje znajdziesz w lekcji „Koło. Okrąg. Liczba π”): l – długość okręgu Najczęściej stosowane przybliżenia: π ≈ 3,14

POLE KOŁA. Pole koła o danej długości promienia – r, obliczamy korzystając ze wzoru: P = πr2

DLACZEGO P = πr2? Koło można podzielić w taki sposób, że powstałe fragmenty po ułożeniu obok siebie utworzę prostokąt: Krótszy bok tego prostokąta ma długość r, a dłuższy πr (połowy długości okręgu). Im więcej części tym powstała figura bardziej przypomina prostokąt. Po wymnożeniu otrzymujemy P = πr2

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Oblicz pole koła o promieniu długości 6. r = 6

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. Oblicz pole koła o średnicy długości 10. d = 10 d = 2r r = 10 : 2 = 5 P = π ∙ 52 = 25π Przykład 4. Podaj przybliżoną wartość pola koła z przykładu 3. π ≈ 3,14 P = 25π P ≈ 25 ∙ 3,14 = 78,5

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 5. Jaki jest promień koła o polu 100π m2?

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 6. Jaka jest średnica koła o polu .

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 7. Oblicz pole koła o obwodzie 2π. Wzór na długość okręgu (obwód koła): l = 2πr Z treści zadania wiadomo, że: l = 2π – bez żadnych obliczeń możemy znaleźć r, widać że r = 1 A więc: P = πr2 P = π ∙ 12 = π

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Majtkowie na statku zaczęli krzyczeć, że w mesie jest zbyt ciemno. Zdenerwowany bosman zapiął pas i krzyknął: Hej do czorta! Nie buntować mi się! Przez te cztery bulaje wpada tyle samo światła co przez dwa okna o wymiarach 0,5 m x 0,75 m. Bosman jak zwykle nas buja – westchnął najstarszy z majtków. Każdy bulaj ma średnicę 50 cm. Czy bosman bujał czy nie? Bulaj – okno na statku – ma kształt koła dla zachowania większej wytrzymałości.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. d = 50 cm = 0,5 m r = 0,5 ∙ d – połowa śrenicy r = 0,25 m π ≈ 3,14 Pb = πr2 Pb = π ∙ (0,25 m)2 = 0,0625π m2 Pb ≈ 0,0625 ∙ 3,14 m2 = 0,19625 m2 Dla 4 bulajów mamy: 4 ∙ 0,19625 m2 = 0,785 m2

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. Wymiary okna: 0,5 m x 0,75 m, więc jego pole to: Po = 0,5 m ∙ 0,75 m = 0,375 m2 Dla dwóch okien mamy: 2 ∙ 0,375 m2 = 0,75 m2 Wynika z tego, że bosman nie bujał.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Prostokątny trawnik o wymiarach 6 m x 3 m podlewają dwa spryskiwacze (rysunek). Jaki obszar trawnika pozostaje niepodlany? W obliczeniach przyjmij π ≈ 3,14

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. Obliczamy najpierw pole trawnika: Pt = 6 m ∙ 3 m = 18 m2 Następnie pole obszaru podlewanego – są to 2 koła o średnicy 3 m czyli ich promień to 1,5 m. P = 2 ∙ π ∙ (1,5 m)2 = 4,5π m2 P ≈ 4,5 ∙ 3,14 m2 = 14,13 m2 Obszar niepodlany to Pt – P = 18 m2 - 14,13 m2 = 3,87 m2

PRZYKŁADOWE ZADANIA. Oblicz pole narysowanego pierścienia. ZADANIE 3. Oblicz pole narysowanego pierścienia. Aby obliczyć pole pierścienia wystarczy od pola dużego koła odjąć pole mniejszego (pole otworu).

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. Dla dużego koła mamy: r1 = 6 + 4 = 10 P1 = π ∙ 102 = 100π Dla mniejszego koła mamy: r2 = 6 P2 = π ∙ 62 = 36π Pole pierścienia: P = P1 – P2 = 100π - 36π = 64π