Wytrzymałość materiałów (WM I - 2)

prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Poniedziałki: 14.00-15.15, Czwartki: 14.00-15.15 W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Wykład W2: W2: Wytrzymałość pręta prostego na ściskanie/rozciąganie: - Warunki równowagi - Warunki geometryczne - Zależności fizyczne - Obciążenia, naprężenia, odkształcenia pręta - Wytrzymałość pręta na ściskanie/rozciąganie, warunki wytrzymałości - Szczególne przypadki naprężeń w pręcie, w tym naprężenia termiczne i montażowe - Przykłady praktyczne prętów ściskanych/zginanych Przykład obliczeniowy: Obciążenia, naprężenia, odkształcenia na przykładzie danego pręta ściskanego/rozciąganego. © Prof. Krzysztof Kaliński © dr hab. inż. Mirosław Gerigk, prof. nadzw. PG

Elementarne przypadki wytrzymałości pręta (duże znaczenie praktyczne): ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Elementarne przypadki wytrzymałości pręta (duże znaczenie praktyczne): Rozciąganie lub ściskanie pręta, w przekroju którego występuje siła normalna N. Skręcanie pręta o przekroju kołowym (pierścieniowym), w którym działa moment skręcający Ms. Zginianie równomierne proste belki, w której przekroju działa moment gnący Mg o kierunku pokrywającym się z jedną z głównych centralnych osi bezwładności tego przekroju. Ścinanie pręta, w którego przekroju działa siła poprzeczna T skierowana wzdłuż osi symetrii przekroju oraz pomijalnie mały moment gnący.

Założenia upraszczające: ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Założenia upraszczające: Przekrój pręta pozostaje po odkształceniu płaski – założenie bardzo radykalne przy ścinaniu Pręt jest wykonany z materiału liniowo-sprężystego Dodatkowo, dla ściskania i rozciągania: pręt o stałym przekroju A obciążony jest siłą osiową F ciężar własny pręta pomijamy w przekroju normalnym pręta występuje tylko naprężenie normalne, a w przekrojach równoległych do osi nie ma naprężeń

F x N u N dx dx+du u+du A F F Warunki równowagi: ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Warunki równowagi: Rozważmy ciało odkształcalne o długości l, którego górny koniec unieruchomiono, zaś dolny obciążono siłą zewnętrzną F. F x N u N dx dx+du d u+du A Dla elementu pręta dx d1 F F

Przemieszczenia osiowe elementu pręta dx: ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Warunki geometryczne Przemieszczenia osiowe elementu pręta dx: – górnego końca u – dolnego końca u+du Długość elementu po odkształceniu: dx+du Odkształcenie względne: Przemieszczenie dolnego końca pręta: Przypadek szczególny (= const) : albo

naprężenie ściskające bądź rozciągające ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Zależności fizyczne: W zakresie odkształceń liniowych obowiązuje prawo Hooke’a, które możemy zapisać w następującej postaci: E –– moduł sprężystości liniowej, moduł Younga (stała materiałowa) A – pole przekroju poprzecznego ciała odkształcalnego Przyjmując na powierzchni przekroju poprzecznego równomierny rozkład naprężeń, możemy je wyrazić wzorem: naprężenie ściskające bądź rozciągające

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Prawo sprężystości liniowej (przekształcone prawo Hooke’a) w jednoosiowym stanie naprężeń Naprężenia w ciele odkształcalnym są wprost proporcjonalne do odkształceń wywołanych obciążeniem zewnętrznym.  A B C D K L

podczas rozciągania próbki ze stali węglowej. ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Przedstawiony wykres ilustruje wyznaczoną doświadczalnie zależność podczas rozciągania próbki ze stali węglowej. Na charakterystyce można wyróżnić następujące punkty: A – zakres stosowalności prawa Hooke’a (proporcjonalności) B – granica sprężystości – do osiągnięcia tego stanu, po zdjęciu obciążenia próbka wraca do poprzedniej konfiguracji BCD – zakres odkształceń plastycznych DK – umocnienie, niewielka zmiana odkształceń powoduje intensywny wzrost naprężeń K – próbka osiągnęła naprężenia zrywające – wytrzymałość na rozciąganie – stała dla różnych materiałów konstrukcyjnych L – zerwanie próbki

w zakresie proporcjonalnym. ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Na podstawie statycznej próby wytrzymałości na rozciąganie określa się graniczną wartość naprężeń, jakim może być poddana pracująca konstrukcja. Te naprężenia dopuszczalne opisuje wzór: rozciąganie współczynnik bezpieczeństwa Zadaniem współczynnika bezpieczeństwa jest uwzględnienie warunków, w jakich pracuje konstrukcja rzeczywista oraz sprowadzenie rozważań do zakresu stosowalności prawa Hooke’a. Możemy wówczas obserwować zależność w zakresie proporcjonalnym.

- na rozciąganie, - na zginanie, - na ścinanie. ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Naprężenia dopuszczalne, stablicowane dla różnych materiałów konstrukcyjnych i różnych przypadków obciążeń: - na rozciąganie, - na ściskanie, - na skręcanie, - na zginanie, - na ścinanie. Warunek wytrzymałości na rozciąganie (ściskanie) :

działające w kierunku osi pręta x. ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO W jednoosiowym stanie naprężeń istnieje związek pomiędzy naprężeniami oraz odkształceniami wzdłużnymi i poprzecznymi Rozważmy stan obciążenia, którego skutkiem są naprężenia działające w kierunku osi pręta x. x y z - liczba Poissona

wymiary poprzeczne ulegają skróceniu. ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Ciało odkształcalne doznaje także odkształceń w kierunkach prostopadłych do obciążenia, wynikających z powyższych zależności. Znak minus występujący w podanych zależnościach wskazuje, że w przypadku naprężeń rozciągających: wymiary poprzeczne ulegają skróceniu. Wydłużenie (skrócenie) pręta, po uwzględnieniu prawa Hooke’a Jeżeli N, E, A nie zależą od x, to Sztywność pręta na rozciąganie (ściskanie): EA

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Naprężenia podczas ściskania/rozciągania pręta z uwzględnieniem ścinania w płaszczyźnie przekroju. A A W dowolnym przekroju wewnętrznym ciała odkształcalnego oprócz składowej normalnej wystąpi również składowa styczna stanu naprężeń, której skutkiem jest ścinanie ciała odkształcalnego w płaszczyźnie przekroju.

Z warunków równowagi lewej części ciała odkształcalnego wynika, że ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Z warunków równowagi lewej części ciała odkształcalnego wynika, że czyli Stąd: Naprężenia styczne są maksymalne w płaszczyźnie przekroju nachylonym pod kątem 45 w kierunku rozciągania lub ściskania. Podczas wykonywania próby np. na maszynie wytrzymałościowej, w tej płaszczyźnie obserwujemy największe odkształcenia.

Pręt rozciągany (ściskany) – obciążenie ciągłe q(x), siła osiowa F ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Pręt rozciągany (ściskany) – obciążenie ciągłe q(x), siła osiowa F q(x) q(x) F N N+dN x x x dx l x dx Warunek równowagi elementu dx Siła normalna N a jej różniczka

Równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych Warunki brzegowe

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO Przykład. Rozwiązać równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych dla q(x)=q0, 0  x  l. Rozwiązanie. Po 2-krotnym scałkowaniu i uwzględnieniu warunków brzegowych, otrzymamy kolejno: Równanie różniczkowe przemieszczeń poziomych: Warunki brzegowe: dla x=0, u=0  C2=0  C1= – F – q0l dla x=l, Ostatecznie :

Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2017-10-30 05:06:30