Treść dzisiejszego wykładu l Szeregi stacjonarne, l Zintegrowanie szeregu, l Kointegracja szeregów.

Proces stochastyczny l Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych o wartościach rzeczywistych, indeksowanych subskryptem t, gdzie t oznacza czas. l Proces stochastyczny:{X t } –X 1, X 2,...,X t,...- zmienne losowe. Średnia procesu stochastycznego:  t. Wariancja procesu stochastycznego:  t 2. Kowariancja między dwiema zmiennymi X t, X t+j, należącymi do procesu stochastycznego:  t,t+j.

Proces (słabo) stacjonarny E(X t ) = const =  –wartość oczekiwana procesu jest stała, niezależna od czasu, D 2 (X t ) = const =  2 –wariancja procesu jest stała, niezależna od czasu, Cov(X t,X t+j ) =  j –kowariancja zależy tylko od odstępu między dwiema zmiennymi losowymi.

Błądzenie przypadkowe l Jesteśmy między dwoma barami i chcemy wybrać bar rzucając monetą. Jeśli wyrzucimy orła idziemy dwa kroki w prawo, jeśli reszkę dwa kroki w lewo. Po przejściu powtarzamy rzut monetą.

Błądzenie przypadkowe l Każda zmienna losowa Z t : –średnia:E(Z t ) = 0, –wariancja:D 2 (Z t ) = 4, –kowariancja:Cov(Z t,Z t+j ) = 0, j  0. l Proces stochastyczny (położenie po i-tym rzucie monetą w stosunku do położenia początkowego): –X 1 = Z 1, –X 2 = X 1 + Z 2, X 3 = X 2 + Z 3,... l Błądzenie przypadkowe: –X t = X t-1 + Z t.

Błądzenie przypadkowe

Błądzenie przypadkowe z trendem

Szereg czasowy l Podejścia: –szereg czasowy i proces stochastyczny to to samo, –szereg czasowy jest pojedynczą realizacją procesu stochastycznego. l Oznaczenia: –  t - seria ciągłych zmiennych losowych o identycznych rozkładach ze średnią zero (zamiast Z t ), – y t - szereg czasowy (zamiast X t ), –jeśli dodatkowo  t są niezależne, to proces stochastyczny {  t } jest nazywany białym szumem - jest stacjonarny! Proces błądzenia:y t = y t-1 +  t. Proces błądzenia z trendem: y t =  + y t-1 +  t.

Regresja trendu liniowego na trendzie kwadratowym

Operatory opóźnienia i różnicowania l Lx t = x t-1 ; L(Lx t ) = L 2 x t = x t-2 ; L p x t = x t-p.  x t = x t - x t-1 ;  x t = (1 - L)x t.  2 x t = (1 - L) 2 x t = (1 - 2L + L 2 )x t = x t - 2x t-1 + x t-2. l (1 - L) 2 x t = (1 - L)(1 - L)x t = (1 - L)(x t - x t-1 ) = = (x t - x t-1 ) - (x t-1 - x t-2 ). l B(L) = b 0 + b 1 L + b 2 L

Usuwanie trendu przez różnicowanie l dla szeregów z trendem stochastycznym: y t = y t-1 +  t bez trendu:  y t = y t - y t-1 =  t - szereg stacjonarny. l proces błądzenia z trendem: y t = y t-1 +  +  t bez trendu:  y t = y t - y t-1 =  +  t - szereg stacjonarny. l Uwaga: czasami trzeba różnicować więcej niż jeden raz, aby osiągnąć szereg stacjonarny.

Szereg zintegrowany Szereg zintegrowany - niestacjonarny szereg czasowy, który może być przekształcony w szereg stacjonarny poprzez d-krotne różnicowanie: x t  I(d). x t  I(0)- szereg stacjonarny. x t  I(2):  2 x t =  (x t - x t-1 ) = (x t - x t-1 ) - (x t-1 - x t-2 ) - - szereg stacjonarny. Jeśli x 1t  I(0), x 2t  I(1), to (x 1t + x 2t )  I(1). Jeśli x t  I(d), to (  +  x t )  I(d).

Szereg ARMA l Szereg średniej ruchomej (MA): x t =  t + b 1  t b q  t-q = B(L)  t –szereg stacjonarny. l Szereg autoregresji (AR): x t = a 1 x t-1 + a 2 x t a p x t-p +  t = A(L)x t +  t –wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu A(z) = 0, –jeśli wszystkie pierwiastki spełniają warunek |z| > 1, to proces jest stacjonarny, –jeśli dla niektórych pierwiastków |z| < 1, to proces jest eksplodujący, –jeśli dla d pierwiastków |z| = 1, a dla wszystkich pozostałych |z| > 1, to x t  I(d).

Szereg ARMA l Szereg MA(q) jest odwracalny, jeśli można go przedstawić w postaci szeregu AR(p), –warunek odwracalności: dla wszystkich pierwiastków równania B(z) = 0, |z| > 1. l Szereg ARMA(p,q): (1 - L) d A(L)x t = B(L)  t

AR(1) z trendem liniowym x t =  +  t +  x t-1 +  t –dla |  | < 1: szereg x t jest stacjonarny wokół trendu liniowego, –dla |  | = 1: szereg x t jest niestacjonarny, –dla |  | > 1: szereg x t jest eksplodujący. x t =  +  x t-1 +  t –dla |  | < 1: szereg x t jest stacjonarny, –dla |  | = 1: szereg x t jest niestacjonarny, –dla |  | > 1: szereg x t jest eksplodujący.

Proces AR(1)

Test Dickey - Fullera (DF) y t =  y t-1 +  t. Oszacować równanie:  y t =  y t-1 +  t,  = 1 + . l Para hipotez: –H 0 :  = 0 (szereg niestacjonarny), –H 1 :  < 0 (szereg stacjonarny). l Statystyka testowa DF* nie ma rozkładu t-Studenta!!!

Test Dickey - Fullera (DF) Tablice (  = 95%): Jeśli DF* < DF L, to y t  I(0). l Jeśli DF* > DF U, to nie ma podstaw do odrzucenia H 0. l Uwaga: występuje obszar niekonkluzywności!!!

Test integracji rzędu 1 Oszacować równanie:  2 y t =  y t-1 +  t. l Para hipotez: –H 0 :  = 0, –H 1 :  < 0 (szereg zintegrowany rzędu 1). Jeśli odrzucamy H 0, to  y t  I(0) oraz y t  I(1). Jeśli nie ma podstaw do odrzucenia H 0, to testujemy czy y t  I(2), itd... l Uwaga: zbyt duże zróżnicowanie szeregu może być zidentyfikowane przez dużą dodatnią wartość statystyki DF* i dużą wartość R 2.

Test zintegrowania szeregu inflacji

l Oszacowany model: l Wartości krytyczne:DF L = -1.99, DF U = l Statystyka testowa:DF* = l Wniosek:szereg niestacjonarny. l Oszacowany model: l Wartości krytyczne:DF L = -1.99, DF U = l Statystyka testowa:DF* = l Wniosek:szereg nie jest zintegrowany rzędu 1.

Test zintegrowania szeregu inflacji l Oszacowany model: l Wartości krytyczne:DF L = -1.99, DF U = l Statystyka testowa:DF* = l Wniosek:szereg zintegrowany rzędu 2.

Kointegracja dwóch szeregów Mówimy, że dwa szeregi x t i y t są skointegrowane rzędu d,b, gdzie d  b  0 i zapisujemy x t,y t  CI(d,b), gdy: –dwa szeregi są zintegrowane rzędu d, –istnieje liniowa kombinacja tych zmiennych,  1 x t +  2 y t, która jest zintegrowana rzędu d - b. Wektor [  1  2 ] nazywamy wektorem kointegrującym.

Kointegracja x t  I(1), y t  I(1). Długookresowa zależność:y t * =  x t. l Odchylenia y t od długookresowej ścieżki y t *:u t. y t =  x t + u t. Uwaga: w zależności długookresowej między dwiema zmiennymi, obie muszą być zintegrowane tego samego rzędu, jeśli u t  I(0).

Kointegracja Dwie zmienne objaśniające:y t =  1 x 1t +  2 x 2t + u t. Jeśli y t  I(0), x 1t  I(1), x 2t  I(1) oraz [  1  2 ] jest wektorem kointegrującym takim, że (  1 x 1t +  2 x 2t )  I(0), to u t  I(0). Jeśli y t  I(1), x 1t  I(2), x 2t  I(2) oraz (  1 x 1t +  2 x 2t )  I(1), to u t  I(0). Wtedy x 1t,x 2t  CI(2,1).

Testowanie kointegracji - krok 1 l Przetestować rzędy integracji zmiennych występujących w postulowanej długookresowej zależności. l Jeśli tylko dwie zmienne występują w tej zależności, to obie muszą mieć taki sam rząd integracji. l Jeśli liczba zmiennych jest większa niż dwa, to rząd integracji zmiennej zależnej nie może być większy od rzędu integracji jakiejkolwiek zmiennej niezależnej, –dodatkowo, powinny być co najmniej dwie zmienne lub żadna zintegrowane tego samego rzędu i wyższego niż zmienna zależna.

Testowanie kointegracji - krok 2 l Zdecyduj, czy wektor kointegrujący jest znany, czy trzeba go oszacować. l Krok 2a: Wektor kointegrujący jest znany a priori: –oszacuj MNK:  u t =  u t-1 +  t, –wartości krytyczne są takie same jak w teście DF (m = 0). l Krok 2b: Wektor kointegrujący nie jest znany a priori: –model:y t =  1 x 1t +  2 x 2t  m x mt +  t, –wektor kointegrujący:[1 -  1 -   m ], –oblicz reszty z modelu szacowanego MNK: e t, –oszacuj MNK:  e t =  e t-1 +  t, –wartości krytyczne są takie same jak w teście DF (m).