Dynamika bryły sztywnej rAB B A Bryła sztywna – zbiór punktów, przy czym dla dowolnych dwóch punktów A i B ich wzajemna odległość rAB jest stała w czasie, niezależnie od przyłożonej siły.

Energia kinetyczna i-tego punktu materialnego Energia kinetyczna układu punktów materialnych moment bezwładności układu punktów materialnych względem danej osi obrotu moment bezwładności bryły sztywnej względem danej osi obrotu Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Moment bezwładności walca Jak obliczyć moment bezwładności względem innej osi?

Oś obrotu przechodzi przez punkt P Twierdzenie Steinera współrzędne środka masy współrzędne punktu P Współrzędne wybranego elementu masy mi względem środka masy i względem punktu P Odległość punktu P od środka masy a moment bezwładności masy mi względem punktu P

Moment bezwładności względem osi przechodzącej przez P Jeśli początek układu współrzędnych znajduje się w środku masy, to

Twierdzenie Steinera

Moment pędu (kręt)

Moment siły Zależność między momentem siły i przyspieszeniem kątowym Punkt materialny porusza się po okręgu pod wpływem siły F. Przemieszczenie liniowe przy obrocie o kąt d Praca wykonana przez siłę F y x chwilowy moment siły Fcos - składowa siły F styczna do toru

Praca wykonana w jednostce czasu jest równa przyrostowi energii kinetycznej II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego wokół stałej osi obrotu

Ogólna postać II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego Szybkość zmian momentu pędu jest równa momentowi siły

Zasada zachowania momentu pędu Moment pędu jest stały gdy nie działa zewnętrzny moment siły. Siła centralna moment siły centralnej

Związek pomiędzy krętem a prędkością kątową  

Ruch w układzie środka masy Moment pędu układu N punktów materialnych

moment pędu środka masy względem środka masy, nie zależy od wyboru początku układu współrzędnych moment pędu środka masy względem początku układu, zależy od wyboru początku układu współrzędnych Jeśli początek układu współrzędnych wybierzemy w środku masy, to Jeśli moment sił zewnętrznych jest równy zeru, to moment pędu względem środka masy jest stały

Bąk symetryczny – bryła o symetrii obrotowej, obracająca się wokół ruchomej osi obrotu - żyroskop z y x

Siły działające na bąk: siła ciężkości i siła reakcji podłoża Siły działające na bąk: siła ciężkości i siła reakcji podłoża. Niezerowy moment siły obracają się wokół osi obrotu z bąka z prędkością kątową to zmiana wektora krętu musi być równoległa do . Ponieważ Zmiana wektora krętu jest prostopadła do wektora krętu

Zmiana wektora krętu w czasie dt i kręt bąka jest równy jest bardzo małe i Nowy kręt ma tę samą wartość lecz zmieniony kierunek. Koniec wektora krętu zakreśla okrąg w płaszczyźnie poziomej Wektor krętu zakreśla powierzchnię stożka - precesja Jaka jest prędkość kątowa tej precesji?

Wartość momentu siły Częstość precesji nie zależy od kąta . Im większy kręt tym częstość mniejsza

Tensor bezwładności są równoległe W ogólności kąt między jest różny od zera Moduły tych wektorów są do siebie proporcjonalne gdy każda składowa wektora K zależy liniowo od prędkości kątowej.

I – współczynniki proporcjonalności o wymiarze momentu bezwładności I – współczynniki proporcjonalności o wymiarze momentu bezwładności. Są one składowymi tensora II rzędu Dla ciała o dowolnym kształcie i rozkładzie masy moment pędu nie jest prostym iloczynem wielkości skalarnej pomnożonej przez wektor prędkości kątowej – w ogólnym przypadku jego kierunek jest inny niż kierunek ω – jest to przyczyną skomplikowanych zachowań wirującej bryły sztywnej.

Moment pędu

Rzut wektora na oś 0x

Tensor bezwładności

z środek masy 2c y dz dy 2a 2b x

Dla bryły sztywnej Element masy

główne momenty bezwładności główne momenty bezwładności. Osie układu współrzędnych są osiami głównymi bezwładności – są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w środku masy ciała.

Wyznaczyć moment bezwładności cienkiej powłoki sferycznej o promieniu r i gęstości powierzchniowej  względem osi przechodzącej przez jej środek. Ze względu na symetryczny rozkład masy względem środka

Dla bryły sztywnej Dla każdego składnika istnieje równy co do wartości bezwzględnej lecz przeciwnego znaku . Średnia Również

Masa powłoki sferycznej Suma współczynników na przekątnych

Wyznaczyć moment bezwładności jednorodnej kuli promieniu r i gęstości  względem osi przechodzącej przez jej środek. Masa kuli