Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

I T P W ZPT 1 Pojęcia podstawowe c.d. Elementy teorii grafów Rachunek podziałów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "I T P W ZPT 1 Pojęcia podstawowe c.d. Elementy teorii grafów Rachunek podziałów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane."— Zapis prezentacji:

1 I T P W ZPT 1 Pojęcia podstawowe c.d. Elementy teorii grafów Rachunek podziałów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

2 I T P W ZPT 2 Elementy rachunku podziałów Podziałem na zbiorze S jest system zbiorów P = {B i }, którego podzbiory są rozłączne, czyli B i  B j = , jeśli tylko i  j  = Podstawowe pojęcia: Relacja , iloczyn podziałów, podział ilorazowy Podzbiory nazywamy blokami Dla S = {1,2,3,4,5,6}, P = {{1,2}, {3,5}, {4,6} } jest podziałem na S.  i i BS = a ponadto

3 I T P W ZPT 3 Elementy rachunku podziałów… Powiemy, że podział P a jest nie większy od P b (co oznaczamy: P a  P b ), jeśli każdy blok z P a jest zawarty w pewnym bloku z P b.  b =  a = c =c =  c ≤  a Tak  c  b NIE!  (0) – podział najmniejszy  (1) – podział największy c =c =  a = c =c =  b =

4 I T P W ZPT 4 Elementy rachunku podziałów…  b = Iloczynem podziałów  a  b nazywamy największy (względem relacji  ) podział, który jest nie większy od  a oraz  b.  a = a b =a b =

5 I T P W ZPT 5 Niech P a i P b są podziałami na S oraz P a  P b. Podział P a | P b jest podziałem ilorazowym P a i P b, jeżeli jego elementy są blokami P b, a bloki są blokami P a. Elementy rachunku podziałów… Podział ilorazowy Na przykład:

6 I T P W ZPT 6 Elementy teorii grafów E = {(v1,v6), (v2,v3), (v2,v4), (v2,v5), (v2,v6), (v3,v4), (v3,v6), (v5,v6)} V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} Grafem prostym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest niepustym skończonym zbiorem wierzchołków, a E jest skończonym zbiorem krawędzi – nieuporządkowanych par różnych elementów ze zbioru V. Przykład: v1 v2 v3 v4 v5 v6 Pary wierzchołków reprezentują krawędzie

7 I T P W ZPT 7 Klika Dowolny podzbiór wierzchołków, w którym każde dwa wierzchołki są połączone krawędzią nazywamy kliką. Klikę, która nie jest zawarta w żadnej istotnie innej klice, nazywamy maksymalną. Najliczniejszą klikę w danym grafie nazywamy największa kliką. V = { v2, v3, v6} V = {v2, v3, v4} V = {v2, v5, v6} v1 v2 v3 v4 v5 v6 Przykłady klik:

8 I T P W ZPT 8 Zbiór niezależny (antyklika) Zbiorem niezależnym nazywamy dowolny zbiór wierzchołków, które nie są sąsiednie w danym grafie. Analogicznie określamy pojęcie maksymalnego zbioru niezależnego.

9 I T P W ZPT 9 Zbiór niezale ż ny (antyklika) Zbiorem niezależnym nazywamy dowolny zbiór wierzchołków, które nie są sąsiednie w danym grafie. Analogicznie określamy pojęcie maksymalnego zbioru niezależnego. V = {v1, v3, v5} V = {v1, v4, v5} V = {v4, v6} V = {v1, v2} Przykłady zbiorów niezależnych v1 v2 v3 v4 v5 v6

10 I T P W ZPT Obliczanie klik … …nie jest zadaniem łatwym. Problem obliczania maksymalnych klik można sprowadzić do problemu obliczania maksymalnych klas zgodności definiowanych dla danej relacji zgodności.

11 I T P W ZPT 11 Iloczyn kartezjański Niech A = {p, q} oraz B = {r, s, t}, wtedy A × B = {(p, r), (p, s), (p, t), (q, r), (q, s), (q, t)} Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B, oznaczanym A × B nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (a, b), takich że pierwszy element pary należy do zbioru A (a  A), natomiast drugi do B (b  B). Przykładzik

12 I T P W ZPT 12 Pojęcie relacji… symetria przechodnio ść zwrotność Relacją nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów A, B. Typowe własności relacji na zbiorze A (czyli A × A) :

13 I T P W ZPT 13 Najważniejsze relacje Relację, która jest zwrotna, symetryczna, ale nie jest przechodnia nazywamy relacją zgodności Relację, która jest zwrotna, symetryczna, i przechodnia nazywamy relacją równoważności Relacja równoważności Relacja zgodności

14 I T P W ZPT 14 …pokrywają się z intuicyjnym rozumieniem zgodności: a)Każdy element jest zgodny z samym sobą, b)Jeśli element v 1 jest zgodny z v 2, to również v 2 jest zgodny z v 1. c)Jeśli v 1 jest zgodny z v 2 oraz v 2 jest zgodny z v 3, to z tego nie wynika, że v 1 jest zgodny z v 3. Własności relacji zgodności… JanekMarekPiotrMarekJanekPiotr

15 I T P W ZPT 15 Pary zgodne umożliwiają wyznaczenie maksymalnych zbiorów zgodnych. Zbiór V = {v 1,...,v p } nazywamy maksymalnym zbiorem zgodności (maksymalną klasą zgodności), jeżeli każda para v i, v j wzięta z tego zbioru jest zgodna oraz nie istnieje żaden inny zbiór elementów zgodnych V, zawierający V. Zbiór par określających relację zgodności nazywa się zbiorem par zgodnych. Maksymalne klasy zgodności

16 I T P W ZPT 16 Algorytm obliczania klik metodą Koniunkcję dwuskładnikowych sum przekształcić do minimalnego wyrażenia boolowskiego typu suma iloczynów Zapisać pary SPRZECZNE w postaci koniunkcji dwuskładnikowych sum Wtedy MKZ są uzupełnieniami zbiorów reprezentowanych przez składniki iloczynowe tego wyrażenia (v i, v j ), (v k, v l ), (v p, v q ), … (v i + v j )(v k + v l )(v p + v q ) … v i v j v k + v p v q v r v s +… Maksymalnych Klas Zgodności (MKZ)

17 I T P W ZPT Przykład obliczania klik v1 v2 v3 v4 v5 v6 (v1, v6) (v2, v3) (v2, v4) (v2, v5) (v2, v6) (v3, v4) (v3, v6) (v5, v6) Pary zgodne: (Maksymalnych Klas Zgodności) Pary sprzeczne: (v1, v2) (v1, v3) (v1, v4) (v1, v5) (v3, v5) (v4, v5) (v4, v6) 17

18 I T P W ZPT Przykład… Obliczamy wyrażenie boolowskie typu „koniunkcja sum”: Pary sprzeczne E = {(v1, v2), (v1, v3), (v1, v4), (v1, v5), (v3, v5), (v4, v5), (v4, v6)} (v1 + v2)(v1 + v3)(v1+ v4)(v1 + v5)(v3 + v5)(v4 + v5) (v4 +v6) = (v1 + v2)(v1 + v3)(v1+ v4)(v1 + v5) (v4 + v5) (v4 +v6)(v3 + v5) = (v1 + v2v3v4v5)(v4 + v5v6)(v3 + v5) = stosujemy zasadę: (a + b)(a + c) = a +bc porządkujemy czynniki 18

19 I T P W ZPT Przykład… Obliczamy wyrażenie boolowskie typu „koniunkcja sum”: Pary sprzeczne E = {(v1, v2), (v1, v3), (v1, v4), (v1, v5), (v3, v5), (v4, v5), (v4, v6)} (v1 + v2)(v1 + v3)(v1+ v4)(v1 + v5)(v3 + v5)(v4 + v5) (v4 +v6) = (v1 + v2)(v1 + v3)(v1+ v4)(v1 + v5) (v4 + v5) (v4 +v6)(v3 + v5) = (v1 + v2v3v4v5)(v4 + v5v6)(v3 + v5) = (v1v4 + v1v5v6 + v2v3v4v5 + v2v3v4v5v6) (v3 + v5) = v1v3v4 + v1v3v5v6 + v2v3v4v5 + v1v4v5 + v1v5v6 + v2v3v4v5 = (v1v4 + v1v5v6 + v2v3v4v5) (v3 + v5) = v1v3v4 + v1v4v5 + v1v5v6 + v2v3v4v5 wymnażamy i redukujemy zbędne składniki 19

20 I T P W ZPT Przykład… v5 v6 v1 v2 v3 v4 v1v3v4 + v1v4v5 + v1v5v6 + v2v3v4v5 {v1, v3, v4} {v1, v5, v6} {v1, v4, v5 } {v2, v3, v4, v5 } {v1,..., v6}  = {v2, v5, v6 } = {v2, v3, v4} = {v2, v3, v6} = {v1, v6} …i to są wszystkie maksymalne kliki w tym grafie 20

21 I T P W ZPT 21 Algorytm obliczania Koniunkcję dwuskładnikowych sum przekształcić do minimalnego wyrażenia boolowskiego typu suma iloczynów Zapisać pary ZGODNE w postaci koniunkcji dwuskładnikowych sum Wtedy MZN są uzupełnieniami zbiorów reprezentowanych przez składniki iloczynowe tego wyrażenia (v i, v j ), (v k, v l ), (v p, v q ), … (v i + v j )(v k + v l )(v p + v q ) … v i v j v k + v p v q v r v s +… Maksymalnych Zbiorów Niezależnych (MZN)

22 I T P W ZPT Przykład v1 v2 v3 v4 v5 v6 E = {(v1, v6), (v2, v3), (v2, v4), (v2, v5), (v2, v6), (v3, v4), (v3, v6), (v5, v6)} Obliczamy wyrażenie boolowskie typu „koniunkcja sum”: (v1 + v6)(v2 + v3)(v2+ v4)(v2 + v5)(v2 + v6)(v3 + v4) (v3 +v6) (v5 +v6) = (v2 + v3)(v2+ v4)(v2 + v5)(v2 + v6)(v6 + v1) (v6 +v3) (v6 +v5) (v3 + v4) = (v2 + v3v4v5v6)(v6 + v1v3v5)(v3 + v4) = (v2v6 + v1v2v3v5 + v3v4v5v6 + v1v3v4v5v6) (v3 + v4) = 22

23 I T P W ZPT Przykład… v3 v1 v2 v4 v5 v6 = (v2v6 + v1v2v3v5 + v3v4v5v6 + v1v3v4v5v6) (v3 + v4) = v2v3v6 + v1v2v3v5 + v3v4v5v6 + v2v4v6 + v1v2v3v4v5 + v3v4v5v6 = v2v3v6 + v1v2v3v5 + v3v4v5v6 + v2v4v6 = v2v3v6 + v2v4v6 + v1v2v3v5 + v3v4v5v6 {v1, v3, v5} {v1, v4, v5} Maksymalne Zbiory Niezależne: {v4, v6} {v1, v2} … i to są wszystkie MZN w tym grafie 23

24 I T P W ZPT 24 Kolorowanie grafu Kolorowaniem grafu nazywamy przyporządkowanie kolorów do wierzchołków grafu w taki sposób, aby żadna para wierzchołków sąsiednich nie miała takiego samego koloru.

25 I T P W ZPT Podstawowy problem Jak obliczać najmniejszą liczbę kolorów zapewniających prawidłowe pokolorowanie grafu? Jest to tzw. liczba chromatyczna grafu. 25

26 I T P W ZPT 26 Algorytm kolorowania grafu Obliczyć pokrycie zbioru wierzchołków V minimalną liczbą Maksymalnych Zbiorów Niezależnych (tzw. minimalne pokrycie) Obliczyć wszystkie Maksymalne Zbiory Niezależne W uzyskanym pokryciu usunąć elementy powtarzające się Komentarz: formalnie pokrycie.. Uzyskujemy Rodzinę Maksymalnych Zbiorów Niezależnych (RMZN) Minimalne pokrycie reprezentuje minimalny zbiór kolorów

27 I T P W ZPT Przykład v3 v1 v2 v4 v5 v6 {v1, v3, v5} {v1, v4, v5} Maksymalne Zbiory Niezależne: {v4, v6} {v1, v2} 27 Należy obliczyć optymalne kolorowanie grafu z poprzedniego przykładu:

28 I T P W ZPT 28 Algorytm kolorowania grafu {v1, v3, v5} {v1, v4, v5} Maksymalne Zbiory Niezależne: {v4, v6} Elementy powtarzające się usuwamy: Wybrane zbiory wyczerpują wszystkie elementy V {v1, v2} Minimalna podrodzina pokrywająca zbiór V = {v1, v2,…, v6}: {v1, v3, v5} {v4, v6} {v1, v2} {v1, v3, v5} {v4, v6} {v2} Uzyskane zbiory rozłączne reprezentują kolorowanie: v1 v2 v3 v4 v5 v6

29 I T P W ZPT Komentarz… 29 Następne plansze prezentują inny przykład obliczania MKZ, który należy potraktować jako pracę samodzielną. …prowadzący wykład nie stroni od udzielania konsultacji w tym zakresie. Wiele ciekawych przykładów znaleźć można w książce: W razie jakichkolwiek trudności…

30 I T P W ZPT 30 Inny przykład obliczania MKZ 1,2 1,3 1,5 2,3 2,4 2,5 3,5 3,6 4,6 E: Pary zgodne 1,4 1,6 2,6 3,4 4,5 5,6 Pary sprzeczne (Raczej do dyskusji na ćwiczeniach) v1 v2 v3 v4 v5 v6

31 I T P W ZPT 31 Pary sprzeczne: (v1, v4), (v1, v6), (v2, v6), (v3, v4), (v4, v5), (v5, v6) = (v4 + Przekształcamy wyrażenie do postaci „suma iloczynów”: Obliczamy wyrażenie boolowskie typu „koniunkcja sum”: (v1 + v4) (v1 + v6 ) (v2 + v6) (v3 + v4) (v4 + v5) (v5 + v6) = Porządkujemy: (v4 + v1) (v4 + v3 ) (v4 + v5) (v6 + v1) (v6 + v2) (v6 + v5) = v4v6 + v1v2v4v5 + v1v3v5v6 + v1v2v3v5 (v6 + v1v3v5) v1v2v5) = Inny przykład obliczania MKZ…

32 I T P W ZPT 32 Klasy zgodne uzyskamy odejmując od zbioru {v1,...,v6}, zbiory tych vi, które występują w jednym składniku wyrażenia typu „suma iloczynów”: {v1,..., v6}  {v4, v6} = {v1, v2, v3, v5 } {v1,...,v6}  {v1, v2, v4, v5 } = {v3, v6} {v1,...,v6}  {v1, v3, v5, v6} = {v2, v4} {v1,...,v6}  {v1, v2, v3, v5 } = {v4, v6} v1 v2 v3 Pary zgodne:(v1,v2),(v1,v3),(v1,v5),(v2,v3), (v2,v4),(v2,v5),(v3,v5),(v3,v6),(v4,v6) v4 v5 v6 Inny przykład obliczania MKZ… Dla przypomnienia… …i graf


Pobierz ppt "I T P W ZPT 1 Pojęcia podstawowe c.d. Elementy teorii grafów Rachunek podziałów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane."

Podobne prezentacje


Reklamy Google