Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 3,567 0, 11111111111111111111111111... 1,234567891011121314115161718192021 22232425262728293031... - 3241 e a + b i.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 3,567 0, 11111111111111111111111111... 1,234567891011121314115161718192021 22232425262728293031... - 3241 e a + b i."— Zapis prezentacji:

1

2 1 3,567 0, , e a + b i

3 SPIS TREŚCI podział liczb rzeczywistych podział liczb rzeczywistychpodział liczb rzeczywistychpodział liczb rzeczywistych liczby naturalne liczby naturalneliczby naturalneliczby naturalne liczby całkowite liczby całkowiteliczby całkowiteliczby całkowite liczby wymierne liczby wymierneliczby wymierneliczby wymierne liczby niewymierne liczby niewymierneliczby niewymierneliczby niewymierne zbiór liczb rzeczywistych na diagramach Venna zbiór liczb rzeczywistych na diagramach Vennazbiór liczb rzeczywistych na diagramach Vennazbiór liczb rzeczywistych na diagramach Venna zbiór liczb rzeczywistych a oś liczbowa zbiór liczb rzeczywistych a oś liczbowazbiór liczb rzeczywistych a oś liczbowazbiór liczb rzeczywistych a oś liczbowa liczby zespolone liczby zespolone liczby zespolone liczby zespolone kwaterniony kwaterniony kwaterniony kwaterniony liczba liczba liczba liczba złota liczba złota liczba złota liczba złota liczba liczba e liczba eliczba eliczba e liczby zaprzyjaźnione liczby zaprzyjaźnioneliczby zaprzyjaźnioneliczby zaprzyjaźnione liczby doskonałe liczby doskonałeliczby doskonałeliczby doskonałe liczby bliźniacze liczby bliźniaczeliczby bliźniaczeliczby bliźniacze najpiękniejszy wzór matematyki najpiękniejszy wzór matematykinajpiękniejszy wzór matematykinajpiękniejszy wzór matematyki

4 Podział liczb rzeczywistych

5 Liczby naturalne "Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie" - powiedział wybitny matematyk niemiecki XIX wieku, Leopold Kronecker. Liczby naturalne ( 1, 2, 3, 4, 5...) znano od niepamiętnych czasów, jako że mają one związek z praktyczną działalnością człowieka, czyli liczeniem przedmiotów. Wielu matematyków zalicza do liczb naturalnych również liczbę 0, która oznacza moc (liczbę elementów) zbioru pustego. 0 Leopold Kronecker (1823 – 1891) Zbiór wszystkich liczb naturalnych zapisujemy następująco: Zbiór liczb naturalnych dodatnich zapisujemy następująco:

6 Liczby naturalne mogą także wyrażać porządek – następna liczba naturalna n ustawia się za swoją poprzedniczką, czyli liczbą (n – 1) podążając drogą ku nieskończoności. Symbole cyfrowe, których używamy obecnie do zapisywania liczb naturalnych ( i nie tylko) zawdzięczamy Arabom. To oni przywieźli cyfry zwane dziś arabskimi z północnych Indii, gdzie znane były od V wieku n.e. W Europie hindusko – arabski system liczbowy propagował w XIII wieku Leonardo z Pizy (Fibonacci).

7 Liczby pierwsze Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 oraz n. Początkowe liczby pierwsze to : 2,3,5,7,11,13,17,19,.... Już grecki matematyk Euklides wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Posłużył się w tym celu tzw. dowodem nie wprost. Euklides ok. 365 p.n.e – ok. 300 p.n.e

8 Liczby pierwsze w matematyce mają podobne znaczenie, jak w fizyce cząsteczki materii. To cegiełki, podstawowe klocki, z których można zbudować liczby złożone, czyli liczby naturalne większe od 1, które nie są liczbami pierwszymi. Euklides udowodnił, że: np.12 = =

9 Pobity został kolejny rekord poszukiwań liczb pierwszych. Dwudziestoletni Kanadyjczyk Michael Cameron znalazł największą taką liczbę ze znanych obecnie. Dwudziestoletni Kanadyjczyk Michael Cameron znalazł największą taką liczbę ze znanych obecnie. Odkrycie zostało dokonane 14 listopada 2001 r. Odkrycie zostało dokonane 14 listopada 2001 r. Liczba ta składa się z cyfr i ma postać , Gdyby spróbować wydrukować ją w książce formatu A – 5, to książka ta musiałaby mieć co najmniej 1000 stron.

10 Przepis, obecnie nazywany sitem Eratostenesa, stosowano już w starożytności i... tak naprawdę to do dziś praktycznie nie wymyślono nic szybszego i bardziej skutecznego. Metoda jest bardzo prosta: wypisujemy kolejne liczby naturalne, począwszy od dwójki (dopóty, dopóki nam starczy cierpliwości). Następnie skreślamy wszystkie liczby podzielne przez dwa, oprócz niej samej. Potem wybieramy pierwszą nie skreśloną liczbę (będzie to oczywiście 3) i skreślamy wszystkie większe liczby przez nią podzielne i tak dalej. Sito Eratostenesa "przesiewa" wszystkie liczby naturalne mniejsze od pewnej ustalonej liczby i pozostawia tylko liczby pierwsze, choć to przesiewanie jest dosyć żmudne. Jak szukamy liczb pierwszych ?

11 Liczby całkowite W zbiorze liczb naturalnych nie jest wykonalne odejmowanie. Zaistniała więc konieczność utworzenia zbioru, do którego należałyby, oprócz liczb naturalnych, wszystkie ich różnice, np. 2 – 7, 0 – W ten sposób powstał zbiór liczb całkowitych. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy C. C = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} C = {..., -4, -3, -2, -1 } N C = {..., -4, -3, -2, -1 } { 0 } { 1, 2, 3, 4,... } C = C - { 0 } C

12 Liczby wymierne Liczbę nazywamy wymierną, jeżeli można przedstawić ją w postaci ułamka zwykłego, którego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi i mianownik jest różny od zera. Zbiór liczb wymiernych zapisujemy następująco: Przykłady liczb wymiernych:

13 Liczby wymierne można przedstawiać także w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego (a) albo nieskończonego i okresowego (b). Przykłady:(a)(b) W rozwinięciu dziesiętnym okresowym po przecinku powtarza się cyfra lub grupa cyfr tzw. okres rozwinięcia dziesiętnego.

14 Zbiór liczb wymiernych jest gęsty tzn. między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi zawsze znajdziemy liczbę wymierną.

15 Liczby niewymierne W V w. p.n.e. Pitagoras i jego uczniowie dokonali prawdziwie dramatycznego odkrycia.Stwierdzili bowiem, że długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym nie jest liczbą wymierną. To burzyło ich dotychczasowy porządek i boskie proporcje świata, który - jak wierzyli – powinien dać się opisać liczbami wymiernymi. Pitagoras (ok p.n.e) Wszystko jest liczbą ?!

16 Pitagorejczycy postanowili trzymać w tajemnicy fakt odkrycia liczb niewymiernych, ale jeden z członków Związku Pitagorejskiego, Hippasus, zdradził ów sekret. Według legendy został za karę utopiony przez kolegów matematyków. 1 1 Liczby niewymiernej nie możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego. Każdą liczbę niewymierną możemy przedstawić w postaci nieskończonego i nieokresowego rozwinięcia dziesiętnego. Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy NW lub IQ.

17 Przykłady innych liczb niewymiernych (1) liczba Archimedesa: liczba Archimedesa: L – długość okręgu r – promień okręgu L – długość okręgu r – promień okręgu L 2r Archimedes z Syrakuz (ok. 287 – 212 p.n.e.) - najwybitniejszy matematyk, fizyk i inżynier starożytnej Grecji, prekursor rachunku całkowego. Obliczył objętość kuli. Twórca nowych metod w arytmetyce i teorii dźwigni, wyporu, rzutu pionowego i ukośnego. Wprowadził pojęcie środka ciężkości.

18 Przykłady innych liczb niewymiernych (2) liczba Nepera: liczba Nepera: liczba Nepera: liczba Nepera: John Neper ( Napier) żył w latach 1550 – 1617 ; matematyk szkocki, wynalazca logarytmów. Sporządził tablice logarytmów (dziesiętnych) liczb i funkcji trygonometrycznych. e = 2,

19 Przykłady innych liczb niewymiernych (3) a)0, b) 1, Pamiętaj! Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest zawsze nieskończone i nieokresowe.

20 R Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory NWW C N N+N+N+N+ R – zbiór liczb rzeczywistych W – zbiór liczb wymiernych NW – zbiór liczb niewymiernych C - zbiór liczb całkowitych N – zbiór liczb naturalnych N + – zbiór liczb naturalnych dodatnich

21 Oś liczbowa – prosta, na której wyróżniono punkt początkowy (0), odcinek jednostkowy i zwrot. Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowany jest dokładnie jeden punkt na prostej (osi liczbowej), i odwrotnie. np. R

22 Liczby zespolone Liczbą zespoloną z nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (a, b). Liczbę z możemy zapisać w postaci sumy: z = a + bi, gdzie a,b są liczbami rzeczywistymi, a liczba i jest tzw. jednostką urojoną. Jednostka urojona i ma niespotykaną w zbiorze R własność: i 2 = -1. z = a + bi a- część rzeczywista liczby zespolonej(Re z) b- część urojona liczby zespolonej(Im z)

23 Liczb zespolonych nie można przedstawić jednej na osi liczbowej. Potrzebują one całej płaszczyzny, wyznaczonej przez dwie osie. Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny. Liczbie zespolonej a + bi odpowiada punkt o współrzędnych (a,b) płaszczyzny z prostokątnym układem współrzędnych. Punktom osi OX odpowiadają liczby rzeczywiste, a punktom osi OY liczby urojone. Płaszczyznę, na której umieściliśmy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną Gaussa.

24 Kwaterniony Sir William Rowan Hamilton ( ), irlandzki matematyk, astronom i fizyk teoretyczny. Termin kwaternionu wprowadził jako wielowymiarowe uogólnienie liczby zespolonej William Rowan Hamilton. Kwaternion - uogólnienie liczby zespolonej postaci u=a+b i+c j+d k, gdzie a,b,c,d - liczby rzeczywiste, i,j,k spełniają układ równań: i 2 =j 2 =k 2 =-1, ij=-ji=k, ki=-ik=j, jk=-kj=i. liczby zespolonej liczby zespolonej

25

26 W królestwie liczb nie ma równości. Prym wiodą arystokratki, z których najbardziej znana jest liczba zwana też liczbą Archimedesa. Czym zasłużyła sobie na te honory? Cóż, potrafi znaleźć się w każdej sytuacji i ma nadzwyczajną moc opisywania świata. liczbą Archimedesaliczbą Archimedesa Liczba - krótki kurs historii W zasadzie jest w użyciu od czasu wynalezienia koła. Na ślad natrafiamy w starożytnym Egipcie w tzw. papirusie Rhinda z XVIII w. p.n.e. uchodzącym za najstarszy podręcznik matematyki.

27 Ahmes ( XVII w. p.n.e. ) – nadworny pisarz faraona Rha-a-usa, był autorem jednej z najstarszych prac matematycznych, zwanej papirusem Rhinda ( od nazwiska angielskiego egiptologa, który ją odnalazł) lub papirusem Ahmesa. Papirus ten zawiera 85 zadań matematycznych o charakterze praktycznym i ich rozwiązania. 11 zadań prowadzi do rozwiązania prostych równań. Ahmes niewiadomą oznacza słowem hau (stos). Papirus zawiera m.in. obliczenia pól figur płaskich. Autor przyjmował, że pole koła równa się polu kwadratu o boku równym 8/9 średnicy koła, z czego wynika, że u Ahmesa = 3, Dokładność, jak na owe czasy, zdumiewająca.

28 Symbol został spopularyzowany w połowie XVIII w. przez matematyka i fizyka szwajcarskiego Leonarda Eulera ( ). Liczba to stała matematyczna określająca również stosunek długości okręgu koła do długości jego średnicy. Używany dzisiaj symbol wprowadził w 1706 roku William Jones w książce pt. Synopsis Palmariorum Matheseos ( pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa "peryferia", czyli obwód, okrąg).

29 Liczba nazywana jest też ludolfiną. Nazwa ludolfina pochodzi od imienia Ludolfa van Ceulena (1540 – 1610), pierwszego nowożytnego badacza, który, aż do swej śmierci, próbował obliczyć wartość liczby. Sądził bowiem, podobnie jak współcześni jemu matematycy, że jest liczbą wymierną.Udało mu się podać 35 początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego.Niestety, po śmierci Ceulena okazało się, że tylko pierwszych 20 cyfr wyznaczył prawidłowo. Dopiero 1767 roku matematyk, fizyk, astronom i filozof szwajcarski, Johann Heinrich Lambert ( ), udowodnił, że : jest liczbą niewymierną ! jest liczbą niewymierną !

30 Na przestrzeni tysiącleci ludzie znajdowali coraz lepsze przybliżenia liczby. Dla niejednego matematyka wyznaczenie wartości z jak największą dokładnością stało się celem życia. Efekty pracy matematyków znajdziesz w tabeli.

31 AutorzyRokLiczba cyfr George Reitwiesner i jego współpracownicy S.C. Nicholson i J. Jeenel G.E. Felton Francois Genuys G.E. Felton Guilloud W. Shanks i J.W. Wrench Guilloud i Filliatre Guilloud i Dichampt Guilloud i Bouyer Miyoshi i Kanada Yoshiaki Tamura Yoshiaki Tamura i Yasumasa Kanada Kanada, Yoshino i Tamura William Gosper Bailey Yasumasa Kanada i Yoshiaki Tamura Kanada, Tamura, Kubo i inni Yasumasa Kanada i Yoshiaki Tamura Gregory i David Chudnovsky Yasumasa Kanada i Yoshiaki Tamura Gregory i David Chudnovsky Daisuke Takahashi i Yasumasa Kanada Yasumasa Kanada W drugiej połowie XX wieku rozpoczęła się era pierwszych komputerów. Miała ona ogromny wpływ również na matematykę, a w szczególności na historię kolejnych przybliżeń liczby. W ciągu ostatnich 50 lat, liczba poznanych cyfr dziesiętnych liczby zmieniała się bardzo dynamicznie. W 1949 roku znano 1120 cyfr, zaś w 1997 roku już ponad 50 milionów razy więcej.

32 Poszukiwania coraz dokładniejszych rozwinięć dziesiętnych liczby nadal trwają. Yasumasa Kanada 20 VIII 1999 roku podał ponad 206 miliardów cyfr rozwinięcia dziesiętnego ludolfiny (być może do tej pory ów rekord został pobity).

33 Liczba Pi Liczba Pi Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy. Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem cztery sześć do czegokolwiek dwa sześć cztery trzy na świecie. Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne. Korowód cyfr składających się na liczbę Pi nie zatrzymuje się na brzegu kartki, potrafi ciągnąc się po stole, przez powietrze, przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo, przez całą nieba wzdętość i bezdenność. O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety! Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni! A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście mój numer telefonu twój numer koszuli rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr, w którym słowiczku mój a leć, a piej oraz uprasza się zachować spokój, a także ziemia i niebo przeminą, ale nie liczba Pi, co to to nie, 0na wciąż swoje niezłe jeszcze pięć, nie byle jakie osiem, nieostatnie siedem, przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność do trwania. Liczba jest też,,bohaterką" wiersza laureatki Nagrody Nobla Wisławy Szymborskiej.

34 Z liczbą związany jest nierozerwalnie najsłynniejszy problem geometryczny w dziejach matematyki, czyli kwadratura koła - - konstrukcja za pomocą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym polu danego koła. Dziś już wiemy, że nie, ale niegdyś wydawało się inaczej. Przez całe wieki matematycy uzbrojeni w cyrkle i linijki biedzili się nad kwadraturą koła. Cały problem sprowadzał się w istocie do wykreślenia odcinka o długości. Czy taka konstrukcja jest możliwa ?

35 Swój wkład w rozwiązanie problemu kwadratury koła mają także Polacy. Znaną na całym świecie przybliżoną kwadraturę koła przeprowadził pod koniec XVII w. Adam Adamandy Kochański, nadworny matematyk króla Jana III Sobieskiego. Znaną na całym świecie przybliżoną kwadraturę koła przeprowadził pod koniec XVII w. Adam Adamandy Kochański, nadworny matematyk króla Jana III Sobieskiego. Jest ona prosta i elegancka, a zarazem niezwykle dokładna. Daje = 3,14153, czyli z dokładnością do czterech cyfr dziesiętnych.

36 W 1883 r. niemiecki matematyk Ferdynand Lindemann udowodnił,że ludolfina jest tzw. liczbą przestępną, tzn. nie można wykonać konstrukcji odcinka o długości za pomocą cyrkla i linijki. Ferdynand Lindemann (1852 – 1939) Był to kres nadziei na możliwość kwadratury koła. Od tamtego czasu zainteresowanie tym problemem spadło niemal do zera.Pracują nad nim tylko ci, którzy wierzą też w możliwość konstrukcji perpetuum mobile.

37 Przez wiele lat ludzie zastanawiali się, jak najprościej zapamiętywać liczbę. Najczęściej używaną sztuczką mnemotechniczną jest zapamiętanie wierszyka, w którym liczba liter kolejnego słowa to cyfra w rozwinięciu dziesiętnym. Znane są takie wierszyki w języku angielskim, francuskim, rosyjskim... Po polsku rozpowszechniony jest wierszyk z 1930 roku autorstwa Kazimierza Cwojdzińskiego: Kuć i orać w dzień zawzięcie, bo plonów niema bez trudu! Złocisty szczęścia okręcie, Kołyszesz... Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota to potęga ludu. Uwaga, niema pisało się wówczas razem. Słynny pi - emat

38 Święto liczby Święto liczby Czy liczba może mieć swoje święto? Okazuje się, że tak. Święto liczby przypada 14 marca, bo pisząc tę datę po angielsku otrzymujemy 3,14, a więc z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku. Przypadkiem 14 marca jest również dniem urodzin Alberta Einsteina. Albert Einstein (1879 – 1955)

39 Złota liczba ( fi ) Złota liczba wyraża proporcję zwaną złotym lub boskim podziałem, kiedy całość odcinka ma się do jego większej części tak, jak ta większa część do mniejszej. BAC

40 Złota liczba jest niewymierna i jej rozwinięcie dziesiętne wynosi:

41 Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus, jeden z członków Związku Pitagorejczyków, w V w. p.n.e. Symbolem tego związku był pentagram, czyli pięcioramienna gwiazda, której każde ramię pozostawało w złotej proporcji z sąsiednim krótszym odcinkiem. b a b

42 Boską proporcję oznacza się dziś przez Boską proporcję oznacza się dziś przez od pierwszej litery imienia greckiego rzeźbiarza Fidiasza, który - jak wieść głosi – stosował w swych rzeźbach zasadę złotej proporcji. Fidiasz, Atena Lemnia

43 Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału. Starożytni Grecy uważali, że właśnie złota proporcja jest najprzyjemniejsza dla ludzkiego oka i chętnie stosowali jej zasadę także w architekturze. Według tej zasady zbudowali Partenon. Partenon, stan obecny

44 Podobno zasadą boskiej proporcji kierowali się także Leonardo da Vinci i Albrecht Dürer, precyzyjnie dzieląc plany swych obrazów, tak, aby dobrze się komponowały. Leonardo da Vinci (1452 – 1519) Leonardo da Vinci, Studium ludzkiego ciała

45 Albrecht Dürer, Melancholia Albrecht Dürer (1471 – 1528)

46 Czy faktycznie pępek idealnie zbudowanego człowieka dzieli jego wysokość w złotej proporcji, jak w przypadku tych antycznych rzeźb ? Kuros Michał Anioł, Dawid

47 Ciekawe własności liczby Ciekawe własności liczby Przypomnijmy:

48 Przybliżeniem złotej proporcji jest stosunek 8:5, jeszcze lepszym 13:8 albo 21:13, 34:21, 55:34, 89:55 itd.. Liczby tworzące te stosunki to wyrazy znanego od XII wieku ciągu liczbowego zwanego ciągiem Fibonacciego. ciągiem Fibonacciegociągiem Fibonacciego Leonardo z Pizy (Fibonacci) (ok – ok. 1250)

49 Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody np. róże tego smakowitego kalafiora, poczynając od czubka, układają się spiralnie. Jeśli policzymy liczbę lewo – i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to wyrazy ciągu Fibonacciego. Podobną liczbę spiral tworzą ziarna słonecznika i łuski szyszki.

50 Jej nazwa pochodzi od nazwiska Johna Nepera żyjącego na przełomie XVI i XVII w. Był to szkocki matematyk, dążący do uproszczenia skomplikowanych sposobów obliczeń w astronomii i geodezji. W tym celu wprowadził logarytmy i opublikował ich tablice. Swoje odkrycie opisał on w dwóch książkach:,,Mirifici logarithmorum canonis descriptio" (Opis zadziwiających tablic logarytmów) z 1614 roku i,,Mirifici logarithmorum canonis constructio" (Budowa zadziwiających tablic logarytmów) z 1620 roku. Liczba e Liczba e zwana inaczej liczbą Nepera jest granicą nieskończonego ciągu liczbowego: liczbą Neperaliczbą Nepera Liczba Nepera jest także podstawą logarytmów naturalnych: podstawą funkcji wykładniczej: i sumą szeregu:

51 Logarytmy pozwalały zamienić mnożenie na dodawanie. Przez setki lat ta,,cudowna własność" logarytmów, dzięki której, z pomocą tablic (lub suwaka logarytmicznego), można było dodawać zamiast mnożyć (i mimo to uzyskiwać w rezultacie iloczyn) ułatwiała ludziom życie. Dziś, w epoce komputerów, to zastosowanie logarytmów straciło swoje znaczenie. Oznaczenie liczby e wprowadził w 1736 roku matematyk szwajcarski Leonard Euler.

52 Liczby bliźniacze Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Przykładami par takich liczb są: 3i5, 5i7, 11i13, 17i19. Do chwili obecnej nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. Parą największych liczb bliźniaczych są: –

53 Liczby doskonałe Liczbami doskonałymi nazywamy liczby naturalne n, które są równe sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od n. Przykładami takich liczb są: 6 = 1+2+3, 28 = , 496 = , 8128 (Sprawdź sam(a) !!!). Cztery podane liczby znał już matematyk grecki Euklides (IV w. p.n.e.). Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb doskonałych, nie wiadomo też, czy istnieje, choć jedna liczba doskonała nieparzysta. Ewentualna liczba doskonała nieparzysta musi być większa od

54 Przyjaźń między liczbami Liczby zaprzyjaźnione to takie liczby naturalne m i n, które spełniają następujący warunek: suma wszystkich, mniejszych od m, dzielników naturalnych liczby m równa jest n i jednocześnie suma wszystkich, mniejszych od n, dzielników naturalnych liczby n równa jest m. Warto zauważyć, że każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą. Parą najmniejszych różnych liczb zaprzyjaźnionych jest para (220, 284).

55 Liczby zaprzyjaźnione były znane już w czasach Pitagorasa, przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście. Dzielnikami liczby 220 mniejszymi od niej są: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, = 284. Dzielnikami liczby 284 mniejszymi od niej są: 1, 2, 4, 71, = 220.

56 NAJPIĘKNIEJSZY WZÓR MATEMATYKI Cóż w nim takiego szczególnego? Dlaczego wielu matematyków sądzi, że jest on "ładniejszy " od, na przykład, niewątpliwie prawdziwego związku "2+2 = 4"? Wzór e i +1=0 w zadziwiająco prosty sposób łączy w sobie pięć najsłynniejszych stałych matematycznych, które odkryto niezależnie – w różnym czasie i zagadnieniach.

57 Niezwykłe związki między liczbami mogą skłaniać do ogólniejszych refleksji; do zastanawiania się nad znaczeniem pojęcia liczby, nad naturą i potęgą matematyki. Wielu ludzi ma liczby, które darzy sympatią, czy też takie, które uważa za nieprzyjazne. Dla matematyka każda liczba jest wyjątkowa i wszystkie są ciekawe.


Pobierz ppt "1 3,567 0, 11111111111111111111111111... 1,234567891011121314115161718192021 22232425262728293031... - 3241 e a + b i."

Podobne prezentacje


Reklamy Google