Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."— Zapis prezentacji:

1 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

2 DANE INFORMACYJNE : Nazwa szkoły: GIMNAZJUM NR 5 W POZNANIU ID grupy: 98/30_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYKA I FIZYKA. Temat projektowy: W ŚWIECIE LICZB Semestr/rok szkolny: SEMESTR IV / rok szk. 2011/2012.

3 W ŚWIECIE LICZB

4 HISTORIA LICZB Najstarszy znany zapis liczby ma 30 tysi ę cy lat. W 1937 roku na Morawach znaleziono ko ść wilka, na której wida ć 55 rowków uło ż onych w grupach po pi ęć. A wi ę c najstarsza zapisana liczba to 55. Pierwsze cyfry wymy ś lili Sumerowie około 3300 p.n.e. Od tego odkrycia zacz ę ła si ę historia pisma: najpierw wymy ś lono sposób zapisywania liczb, a dopiero potem sposób zapisywania słów. Ka ż dy lud wymy ś lał swój system liczbowy, wykorzystuj ą c specjalne znaki albo litery alfabetu. Do dzi ś zachowały si ę tylko cyfry rzymskie.

5 CYFRY GRECKIE

6 CYFRY RZYMSKIE I = 1 C = 100 V = 5 D = 500 X = 10 M = 1000 L = 50

7 XLV = 45 LXXIX = 79 CCXLVI = 246 CDXCIV = 494 MMM = 3000 Przykładowe liczby zapisane znakami rzymskimi:

8 CYFRY BABILO Ń SKIE

9 Opis znaków z tabeli: Pojedyncze poci ą gni ę cie Ko ś ci pi ę ty Kł ę bek liny Grzebie ń egipski Palec Kijanka lub ż aba Człowiek wznosz ą cy r ę ce CYFRY EGIPSKIE

10 ١٢٣٤٥٦٧٨٩٠ ۱۲۳۴۵۶۷۸۹٠ cyfry arabskie cyfry indyjsko- arabskie Cyfry wschodnio -indyjsko- arabskie

11 Przykład liczby zapisanej w systemie arabskim ابجد 1–2–3–4 czyli: ج = 3, ب = 2, ا = 1,, د = 4

12 CYFRY HINDUSKIE I ARABSKIE

13 WYNALEZIENIE SYSTEMU DZIESI Ą TKOWEGO System dziesi ą tkowy był jednym z najwi ę kszych wynalazków ludzko ś ci. Swój udział maj ą w nim Babilo ń czycy, Egipcjanie i Hindusi, którzy opracowali ostateczn ą wersj ę. Pomysł, ż e ta sama cyfra mo ż e mie ć ró ż ne znaczenie w zale ż no ś ci od miejsca, które zajmuje w zapisie liczby, nie był wcale prosty. Ale dzi ę ki niemu mo ż na było stworzy ć system zapisu dowolnie du ż ych liczb za pomoc ą 10 cyfr.

14 WYNALAZEK ZERA Ciekawe, ż e wynalazek zera był ostatnim elementem odkrycia. Przez pewien czas obchodzono si ę bez zera, które zast ę powano wolnym miejscem. Zamiast 103 pisano 1 3. Jednak puste miejsce oznaczaj ą ce zero na ko ń cu było rzecz ą bardzo kłopotliw ą i po jakim ś czasie w pustym miejscu zacz ę to stawia ć kropk ę, która ostatecznie zamieniła si ę w znane nam kółko. Długo jednak zero było tylko cyfr ą, która samodzielnie nic nie znaczyła - uznawano tylko liczby dodatnie.

15 Skoro układ dziesi ą tkowy wymy ś lili Hindusi, to dlaczego mówimy o "cyfrach arabskich"? Otó ż do Europy wynalazek ten przenie ś li wła ś nie Arabowie, którzy zreszt ą nazywaj ą te cyfry hinduskimi. Dzi ś w krajach arabskich u ż ywa si ę cyfr o nieco innym kształcie, ale zasada konstruowania liczb pozostała bez zmian.

16 ZAPISYWANIE DZIAŁA Ń Najstarsze zapisy działa ń na liczbach znajdujemy na tabliczkach klinowych Sumerów (najdawniejszych mieszka ń ców Mezopotamii) sprzed ponad 4500 lat. Najstarszy zapis dotyczy dzielenia z reszt ą / 7. Wynik dzielenia ma by ć odpowiedzi ą na pytanie, dla ilu osób starczy jednostek miary ziarna, je ś li ka ż da osoba ma dosta ć po 7 jednostek.

17 ZNAKI DZIAŁA Ń Cztery działania na liczbach znajdujemy w egipskim papirusie Rhinda ( XVII wiek p.n.e.). Stosowane dzisiaj znaki ( + ) i ( - ) wprowadził Johann Widman w podr ę czniku " Szybki i pi ę kny rachunek dla całego stanu kupieckiego". Znaki ( ) i ( : ) zaproponował w 1698 r. Gottfried Leibniz, znany bardziej jako współtwórca rachunku ró ż niczkowego.

18 Co w poj ę ciu staro ż ytnych było liczb ą ? Najstarsze poj ę cie liczby (Okres od Talesa z Miletu do Euklidesa z Aleksandrii) to zbiór jedno ś ci całkowitych (dodatnich) lub jednako0wych cz ęś ci jedno ś ci, czyli liczba całkowita i ułamek. Euklides okre ś lał liczb ę jako stosunek danej wielkko ś ci do jednostki miary. Ten stosunek był zawsze licb ą dodatni ą całkowit ą lub ułamkow ą.

19 ODKRYCIE LICZBY UJEMNEJ Z liczb ą ujemn ą musiał si ę spotka ć ju ż Diofantos (III-IV w. n.e.), ale udawał ż e jej nie widzi, bowiem takich liczb nie uznawał. Ojciec europejskiej algebry Muhammed ibn Musa Al-Chorezmi (IX w. n.e.). równie ż nie uznawał liczb ujemnych i omijał je, natomiast staro ż ytna matematyka chi ń ska i hinduska znała je od dawna.

20 Leonardo z Pizy - FIBONACCI Pierwszy, kto nie pomin ą ł, liczb ujemnych,milczeniem, był Włoch Leonardo z Pizy ( znany pod nazwiskiem Fibonacci, XII-XIII w.n.e), który rozwi ą zuj ą c zadanie dane mu na turnieju matematycznym nie odrzucił odpowiedzi ujemnej, lecz wytłumaczył j ą pogl ą dowo jako strat ę (dług).

21 LICZBY FIBONACCIEGO Spo ś ród wszystkich ci ą gów liczbowych, które wyst ę puj ą, jeden jest szczególnie interesuj ą cy – ci ą g Fibonacciego. Liczby naturalne tworz ą ce ten ci ą g maj ą własno ść tak ą, ż e kolejny wyraz (z wyj ą tkiem dwóch pierwszych) jest sum ą dwóch poprzednich nazywa si ę liczbami Fibonacciego i pojawiaj ą si ę w tak wielu sytuacjach, ż e wydaje si ę to niemo ż liwe.

22 Ci ą g Fibonacciego to ulubiony ci ą g przyrody. Taki ci ą g liczbowy opisuje np. liczb ę p ę dów ro ś liny jednostajnie przyrastaj ą cej w latach (np. drzewa) Ró ż e kalafiora zielonego, poczynaj ą c od czubka układaj ą si ę w kształt spiral. Je ś li obliczymy ilo ść lewo- i prawoskr ę tnych spiral, to oka ż e si ę, ż e s ą to liczby z ci ą gu Fibonacciego. Podobn ą ilo ść spiral tworz ą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.

23 CI Ą G FIBONACCIEGO Ci ą g Fibonacciego to ci ą g liczb okre ś lony rekurencyjnie w sposób nast ę puj ą cy: F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n-1 + F n-2, dla n 2 Pocz ą tkowe warto ś ci tego ci ą gu to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... Podstawowy ci ą g liczb Fibonacciego to: 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Ka ż da liczba w ci ą gu jest sum ą dwóch poprzednich (poza pierwsz ą i drug ą ). Mamy wi ę c do czynienia z ci ą giem rekurencyjnym. Ci ą g liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ci ą gów tego rodzaju.

24 LICZBA ZŁOTA W wyniku podzielenia ka ż dej z liczb ci ą gu Fibonacciego przez jej poprzednik otrzymuje si ę iloraz oscyluj ą cy wokół 1,618 - liczby złotego podziału. W miar ę zwi ę kszania si ę liczb zmniejszaj ą si ę odchylenia od tej warto ś ci. Dokładna warto ść granicy jest złot ą liczb ą : Φ = 5+12 =1,

25 Korzystaj ą c z definicji mo ż na obliczy ć warto ść złotej liczby. Liczba złota wyra ż a długo ść odcinka spełniaj ą cego warunek tzw. złotego podziału Ułamek zwykły Ułamek ła ń cuchowy

26 ZŁOTY PODZIAŁ Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Staro ż ytni Grecy uwa ż ali złoty podział za idealn ą proporcj ę, któr ą ch ę tnie realizowali w architekturze. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu. Wielki astronom Kepler powiedział: "Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku ś rednim i skrajnym. Pierwsze porówna ć do miary złota. Drugie jest niby kamie ń drogocenny".

27 ZASTOSOWANIE Złoty podział wykorzystuje si ę cz ę sto w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ci ą gu Fibonacciego posługiwał si ę w swoim malarstwie Leonardo da Vinci i Botticelli. W XX wieku ci ą g Fibonacciego stosowany był tak ż e przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porz ą dkowania rytmu lub harmonii. Na ci ą gu Fibonacciego zbudowane jest mi ę dzy innymi Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera. Złote proporcje wykorzystano tak ż e podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i Partenonu w Grecji.

28 LICZBY PIERWSZE Liczb ę naturaln ą, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczb ą pierwsza. Liczb pierwszych jest niesko ń czenie wiele. Znajdowanie ich nie jest jednak łatwe. Od pewnego czasu u ż ywa si ę do tego komputerów. Najwi ę ksza znana dzi ś liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona i George'a Woltmana ma posta ć Ma ona a ż 4 miliony 53 tysi ą ce 946 cyfr. Po co szuka si ę takich olbrzymek?

29 ZASTOSOWANIE LICZB OLBRZYMÓW Wielkie liczby pierwsze słu żą do testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich równie ż nie mogliby ś my skutecznie szyfrowa ć informacji, bo klucze najlepszych szyfrów oparte s ą na liczbach pierwszych. S ą u ż yteczne przy konstruowaniu kodów korekcyjnych do wyszukiwania bł ę dów w przekazie obrazów i danych(satelity, sondy kosmiczne...) oraz w czytnikach CD wysokiej jako ś ci.

30 Z liczbami - olbrzymami spotykamy si ę nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikro ś wiecie, w ś wiecie atomów, jak i w makro ś wiecie, w kosmosie, w ś wiecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiej ś wielko ś ci z inn ą przyj ę t ą za jednostk ę miary. Nasze ludzkie jednostki s ą zbyt du ż e w ś wiecie atomów, a zbyt małe w ś wiecie galaktyk. Człowiek stoi wi ę c na granicy dwu ś wiatów: "niesko ń czenie" małego i "niesko ń czenie" wielkiego.

31 Liczba słownieLiczba w postaci notacji wykładniczej Miliard10 9 Bilion10 12 Biliard10 15 Trylion10 18 Sekstylion10 36 Septylion10 42 Oktylion10 48 Nonilion10 54 Decylion10 60 NAZWY LICZB OLBRZYMÓW

32 LICZBY PIERWSZE O CIEKAWEJ BUDOWIE S ą wielocyfrowe liczby pierwsze, które składaj ą si ę z samych jedynek, np cyfrowa Niektóre liczby pierwsze zapisane s ą kolejnymi cyframi. Liczb ą pierwsz ą jest ka ż da z liczb: 23, 67, 89, 23, Niektóre liczby pierwsze to palindromy, np.: 11, 757, W ś ród liczb pierwszych s ą liczby lustrzane, np.: 13 i 31, 37 i 73, 79 i 97, 113 i 311.

33 LICZBY PARZYSTE W XVIII wieku Christian Goldbach dostrzegł, i ż w ka ż dym przypadku, który wypróbował, dowolna liczba parzysta wi ę ksza od 4 mo ż e by ć przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych. Na przykład: 4 = = = = = itd.

34 LICZBY TRÓJK Ą TNE Liczby trójk ą tne i kwadratowe s ą szczególnymi przypadkami tzw. liczb wielok ą tnych. Zostały one odkryte przez pitagorejczyków. Nazwa "liczby trójk ą tne" pochodzi st ą d, ż e ka ż da taka liczba o numerze n jest liczb ą np. kół jednakowej wielko ś ci, z których mo ż na uło ż y ć trójk ą t równoboczny o boku zbudowanym z n kół.

35 Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójk ą tnych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

36 Poni ż sza tabela ilustruje zale ż no ść mi ę dzy numerem liczby trójk ą tnej (wska ź nikiem, indeksem), a sam ą liczb ą trójk ą tn ą Numer liczby Liczby trójkątne

37 n - ta liczba trójk ą tna Zale ż no ść na n - t ą liczb ę trójk ą tn ą mo ż na wi ę c wyrazi ć za pomoc ą wzoru: gdzie n jest liczb ą naturaln ą. Liczba trójk ą tna o n - tym numerze jest sum ą n kolejnych liczb naturalnych.

38 LICZBY KWADRATOWE Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi st ą d, ż e ka ż da taka liczba o numerze n jest liczb ą np. kół jednakowej wielko ś ci, z których mo ż na uło ż y ć kwadrat o boku zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

39 Poni ż sza tabela ilustruje zale ż no ść mi ę dzy numerem liczby kwadratowej (wska ź nikiem, indeksem), a sam ą liczb ą kwadratow ą : Numer liczby Liczby kwadratowe

40 Zale ż no ść t ę wyra ż a wzór: gdzie n jest liczb ą naturaln ą. Liczby kwadratowe s ą wi ę c oczywi ś cie kwadratami kolejnych liczb ci ą gu naturalnego. St ą d te ż wynika twierdzenie, ż e suma kolejnych liczb nieparzystych równa si ę kwadratowi ich liczby.

41 TRÓJK Ą T PASKALA Jednym z najbardziej interesuj ą cych układów liczbowych jest trójk ą t Pascala (od nazwiska Blaise'a Pascala, sławnego francuskiego matematyka i filozofa). Ka ż da liczba w trójk ą cie jest sum ą dwóch liczb znajduj ą cych si ę bezpo ś rednio nad ni ą.

42 BUDOWA TRÓJK Ą TA PASCALA Aby zbudowa ć trójk ą t, zacznij od 1 na wierzchołku, nast ę pnie kontynuuj układanie liczb poni ż ej w układzie trójk ą ta. Ka ż da cyfra stanowi sum ę dwóch wy ż ej poło ż onych liczb np = 4.

43 Pierwsza przek ą tna to oczywi ś cie same jedynki, nast ę pna przek ą tna ma liczby naturalne, trzecia przek ą tna utworzona została z liczb trójk ą tnych, tj.: kolejno ść stanowi wzór punktów tworz ą cych trójk ą t. Dodaj ą c kolejny wiersz z kropkami i sumuj ą c wszystkie punkty, mo ż na znale źć nast ę pn ą liczb ę w sekwencji

44 W sumach poziomych suma podwaja si ę w kolejnych wierszach.

45 LICZBA PI I JEJ WŁASNO Ś CI Ju ż w czasach zamierzchłych staro ż ytni rachmistrze zauwa ż yli, ż e wszystkie koła maj ą ze sob ą co ś wspólnego, ż e ich ś rednica i obwód pozostaj ą wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był wła ś nie trzykrotno ś ci ą ś rednicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych - papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) warto ść ta była przedstawiana jako ( ) 2 3,

46 W III wieku przed Chrystusem, Archimedes zaproponował ci ą g oszacowa ń. Wcisn ą ł ten stosunek mi ę dzy dwa ułamki. Pisał tak: W ka ż dym kole długo ść obwodu jest wi ę ksza ni ż trzykrotna długo ść ś rednicy o mniej ni ż jedn ą siódm ą, ale wi ę cej ni ż dziesi ęć siedemdziesi ą tych pierwszych. Poszukiwana liczba według Archimedesa zawarta jest mi ę dzy i Doszedł do tego obliczaj ą c pola zawarte w wielok ą tach foremnych o 96 bokach.

47 CZYM JEST LICZBA Liczba π to stosunek długo ś ci okr ę gu do długo ś ci jego ś rednicy, jest wielko ś ci ą stał ą i wynosi w przybli ż eniu π 3, Ale dlaczego w przybli ż eniu? Dzi ś jeste ś my w stanie obliczy ć warto ść pi do milionów miejsc po przecinku.

48 WŁASNO Ś CI LICZBY Liczba π jest liczb ą niewymiern ą, co oznacza, ż e nie mo ż e by ć zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co wi ę cej, jest ona liczb ą przest ę pn ą, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, ż e nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest mo ż liwe zapisanie π za pomoc ą sko ń czonego zapisu zło ż onego z liczb całkowitych, działa ń arytmetycznych, ułamków oraz pot ę g i pierwiastków.

49 NAZEWNICTWO U ż ywany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler u ż ywaj ą c tego zapisu w dziele Analiza. Sw ą nazw ę zawdzi ę cza pierwszej literze greckiego słowa "peryferia". Liczba ta nazywana jest równie ż ludolfin ą od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z ż on ą na pocz ą tku XVII w. podał jej przybli ż enie z dokładno ś ci ą 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Popularno ść liczba pi zawdzi ę cza wyst ę powaniu swoim we wzorach na pole koła czy obj ę to ś ci kuli, zwi ą zana jest tak ż e z kwadratur ą koła

50 Bibliografia Podręczniki do matematyki do gimnazjum i szkoły podstawowej,,Matematyka z plusem GWO Podręcznik do matematyki do gimnazjum,,Matematyka wokół nas WSIP matkram.republika.pl

51 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA


Pobierz ppt "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."

Podobne prezentacje


Reklamy Google