DANE INFORMACYJNE : 98/30_MF_G2 W ŚWIECIE LICZB Nazwa szkoły:

Prezentacja na temat: "DANE INFORMACYJNE : 98/30_MF_G2 W ŚWIECIE LICZB Nazwa szkoły:"— Zapis prezentacji:

1

2 DANE INFORMACYJNE : 98/30_MF_G2 W ŚWIECIE LICZB Nazwa szkoły:
GIMNAZJUM NR 5 W POZNANIU ID grupy: 98/30_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYKA I FIZYKA. Temat projektowy: W ŚWIECIE LICZB Semestr/rok szkolny: SEMESTR IV / rok szk. 2011/2012.

3 „W ŚWIECIE LICZB”

4 HISTORIA LICZB Najstarszy znany zapis liczby ma 30 tysięcy lat. W 1937 roku na Morawach znaleziono kość wilka, na której widać 55 rowków ułożonych w grupach po pięć. A więc najstarsza zapisana liczba to 55. Pierwsze cyfry wymyślili Sumerowie około 3300 p.n.e. Od tego odkrycia zaczęła się historia pisma: najpierw wymyślono sposób zapisywania liczb, a dopiero potem sposób zapisywania słów. Każdy lud wymyślał swój system liczbowy, wykorzystując specjalne znaki albo litery alfabetu. Do dziś zachowały się tylko cyfry rzymskie.

5 CYFRY GRECKIE

6 CYFRY RZYMSKIE I = 1 C = 100 V = 5 D = 500 X = 10 M = 1000 L = 50

7 Przykładowe liczby zapisane znakami rzymskimi:
XLV = 45 LXXIX = 79 CCXLVI = 246 CDXCIV = 494 MMM = 3000

8 CYFRY BABILOŃSKIE

9 CYFRY EGIPSKIE Opis znaków z tabeli: Pojedyncze pociągnięcie
Kości pięty Kłębek liny Grzebień egipski Palec Kijanka lub żaba Człowiek wznoszący ręce

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ٠ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ cyfry arabskie cyfry indyjsko-arabskie Cyfry wschodnio-indyjsko-arabskie

11 Przykład liczby zapisanej w systemie arabskim
ابجد 1–2–3–4 czyli: ج = 3 , ب = 2 , ا = 1 , , د = 4

12 CYFRY HINDUSKIE I ARABSKIE

13 WYNALEZIENIE SYSTEMU DZIESIĄTKOWEGO
System dziesiątkowy był jednym z największych wynalazków ludzkości. Swój udział mają w nim Babilończycy, Egipcjanie i Hindusi, którzy opracowali ostateczną wersję. Pomysł, że ta sama cyfra może mieć różne znaczenie w zależności od miejsca, które zajmuje w zapisie liczby, nie był wcale prosty. Ale dzięki niemu można było stworzyć system zapisu dowolnie dużych liczb za pomocą 10 cyfr.

14 WYNALAZEK ZERA Ciekawe, że wynalazek zera był ostatnim elementem odkrycia. Przez pewien czas obchodzono się bez zera, które zastępowano wolnym miejscem. Zamiast 103 pisano 1 3. Jednak puste miejsce oznaczające zero na końcu było rzeczą bardzo kłopotliwą i po jakimś czasie w pustym miejscu zaczęto stawiać kropkę, która ostatecznie zamieniła się w znane nam kółko. Długo jednak zero było tylko cyfrą, która samodzielnie nic nie znaczyła - uznawano tylko liczby dodatnie.

15 Skoro układ dziesiątkowy wymyślili Hindusi, to dlaczego mówimy o "cyfrach arabskich"? Otóż do Europy wynalazek ten przenieśli właśnie Arabowie, którzy zresztą nazywają te cyfry hinduskimi. Dziś w krajach arabskich używa się cyfr o nieco innym kształcie, ale zasada konstruowania liczb pozostała bez zmian.

16 ZAPISYWANIE DZIAŁAŃ Najstarsze zapisy działań na liczbach znajdujemy na tabliczkach klinowych Sumerów (najdawniejszych mieszkańców Mezopotamii) sprzed ponad 4500 lat. Najstarszy zapis dotyczy dzielenia z resztą / 7. Wynik dzielenia ma być odpowiedzią na pytanie, dla ilu osób starczy jednostek miary ziarna, jeśli każda osoba ma dostać po 7 jednostek.

17 ZNAKI DZIAŁAŃ Cztery działania na liczbach znajdujemy w egipskim papirusie Rhinda ( XVII wiek p.n.e.). Stosowane dzisiaj znaki ( + ) i ( - ) wprowadził Johann Widman w podręczniku " Szybki i piękny rachunek dla całego stanu kupieckiego". Znaki (  ) i ( : ) zaproponował w 1698 r. Gottfried Leibniz, znany bardziej jako współtwórca rachunku różniczkowego.

18 Co w pojęciu starożytnych było liczbą?
Najstarsze pojęcie liczby (Okres od Talesa z Miletu do Euklidesa z Aleksandrii) to zbiór jedności całkowitych (dodatnich) lub jednako0wych części jedności, czyli liczba całkowita i ułamek. Euklides określał liczbę jako stosunek danej wielkkości do jednostki miary. Ten stosunek był zawsze licbą dodatnią całkowitą lub ułamkową.

19 ODKRYCIE LICZBY UJEMNEJ
Z liczbą ujemną musiał się spotkać już Diofantos (III-IV w. n.e.), ale udawał że jej nie widzi, bowiem takich liczb nie uznawał. Ojciec europejskiej algebry Muhammed ibn Musa Al-Chorezmi (IX w. n.e.). również nie uznawał liczb ujemnych i omijał je, natomiast starożytna matematyka chińska i hinduska znała je od dawna.

20 Leonardo z Pizy - FIBONACCI
Pierwszy, kto nie pominął, liczb ujemnych ,milczeniem, był Włoch Leonardo z Pizy ( znany pod nazwiskiem Fibonacci, XII-XIII w.n.e), który rozwiązując zadanie dane mu na turnieju matematycznym nie odrzucił odpowiedzi ujemnej, lecz wytłumaczył ją poglądowo jako stratę(dług).

21 LICZBY FIBONACCIEGO Spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują, jeden jest szczególnie interesujący – ciąg Fibonacciego. Liczby naturalne tworzące ten ciąg mają własność taką, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe.

22 Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody
Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (np. drzewa) Róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to liczby z ciągu Fibonacciego. Podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.

23 CIĄG FIBONACCIEGO Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący: F0 = 0 F1 = 1 Fn = Fn-1 + Fn-2, dla n ≥ 2 Początkowe wartości tego ciągu to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... Podstawowy ciąg liczb Fibonacciego to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Mamy więc do czynienia z ciągiem rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju.

24 LICZBA ZŁOTA W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu Fibonacciego przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół 1,618 - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złotą liczbą: Φ= 5+12 =1,

25 Korzystając z definicji można obliczyć wartość złotej liczby.
Liczba złota wyraża długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału Ułamek zwykły Ułamek łańcuchowy

26 ZŁOTY PODZIAŁ Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu. Wielki astronom Kepler powiedział: "Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny" .

27 ZASTOSOWANIE Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciągu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci i Botticelli. W XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był także przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Na ciągu Fibonacciego zbudowane jest między innymi Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera. Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i Partenonu w Grecji.

28 LICZBY PIERWSZE Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą pierwsza. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Znajdowanie ich nie jest jednak łatwe. Od pewnego czasu używa się do tego komputerów. Największa znana dziś liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona i George'a Woltmana ma postać Ma ona aż 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr. Po co szuka się takich olbrzymek?

29 ZASTOSOWANIE LICZB OLBRZYMÓW
Wielkie liczby pierwsze służą do testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich również nie moglibyśmy skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów oparte są na liczbach pierwszych. Są użyteczne przy konstruowaniu kodów korekcyjnych do wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych(satelity, sondy kosmiczne...) oraz w czytnikach CD wysokiej jakości.

30 Z liczbami - olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.

31 NAZWY LICZB OLBRZYMÓW Liczba słownie
Liczba w postaci notacji wykładniczej Miliard 109 Bilion 1012 Biliard 1015 Trylion 1018 Sekstylion 1036 Septylion 1042 Oktylion 1048 Nonilion 1054 Decylion 1060

32 LICZBY PIERWSZE O CIEKAWEJ BUDOWIE
Są wielocyfrowe liczby pierwsze, które składają się z samych jedynek, np. 23-cyfrowa Niektóre liczby pierwsze zapisane są kolejnymi cyframi. Liczbą pierwszą jest każda z liczb: 23, 67, 89, 23, Niektóre liczby pierwsze to palindromy, np.: 11, 757, Wśród liczb pierwszych są liczby lustrzane, np.: 13 i 31, 37 i 73, 79 i 97, 113 i 311 .

33 LICZBY PARZYSTE W XVIII wieku Christian Goldbach dostrzegł, iż w każdym przypadku, który wypróbował, dowolna liczba parzysta większa od 4 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych. Na przykład: 4 = = = = = itd.

34 LICZBY TRÓJKĄTNE Liczby trójkątne i kwadratowe są szczególnymi przypadkami tzw. liczb wielokątnych. Zostały one odkryte przez pitagorejczyków. Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół.

35 Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

36 Poniższa tabela ilustruje zależność między numerem liczby trójkątnej (wskaźnikiem, indeksem), a samą liczbą trójkątną Numer liczby 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... Liczby trójkątne 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120

37 n-ta liczba trójkątna Zależność na n-tą liczbę trójkątną można więc wyrazić za pomocą wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba trójkątna o n-tym numerze jest sumą n kolejnych liczb naturalnych.

38 LICZBY KWADRATOWE Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

39 Poniższa tabela ilustruje zależność między numerem liczby kwadratowej (wskaźnikiem, indeksem), a samą liczbą kwadratową: Numer liczby 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... Liczby kwadratowe 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225

40 Zależność tę wyraża wzór: gdzie n jest liczbą naturalną
Zależność tę wyraża wzór: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc oczywiście kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego. Stąd też wynika twierdzenie, że suma kolejnych liczb nieparzystych równa się kwadratowi ich liczby.

41 TRÓJKĄT PASKALA Jednym z najbardziej interesujących układów liczbowych jest trójkąt Pascala (od nazwiska Blaise'a Pascala, sławnego francuskiego matematyka i filozofa). Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią.

42 BUDOWA TRÓJKĄTA PASCALA
Aby zbudować trójkąt, zacznij od „1” na wierzchołku, następnie kontynuuj układanie liczb poniżej w układzie trójkąta. Każda cyfra stanowi sumę dwóch wyżej położonych liczb np = 4.

43 Pierwsza przekątna to oczywiście same „jedynki”, następna przekątna ma liczby naturalne, trzecia przekątna utworzona została z liczb trójkątnych, tj.: kolejność stanowi wzór punktów tworzących trójkąt. Dodając kolejny wiersz z kropkami i sumując wszystkie punkty, można znaleźć następną liczbę w sekwencji

44 W sumach poziomych suma podwaja się w kolejnych wierszach.

45 LICZBA PI I JEJ WŁASNOŚCI
Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych - papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako ( )2 ≈3,

46 W III wieku przed Chrystusem, Archimedes zaproponował ciąg oszacowań
W III wieku przed Chrystusem, Archimedes zaproponował ciąg oszacowań. Wcisnął ten stosunek między dwa ułamki. Pisał tak: „W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych.” Poszukiwana liczba według Archimedesa zawarta jest między i Doszedł do tego obliczając pola zawarte w wielokątach foremnych o 96 bokach.

47 CZYM JEST LICZBA  Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu π ≈3, Ale dlaczego w przybliżeniu? Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku.

48 WŁASNOŚCI LICZBY  Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

49 NAZEWNICTWO Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele Analiza. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa "peryferia". Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Popularność liczba pi zawdzięcza występowaniu swoim we wzorach na pole koła czy objętości kuli, związana jest także z kwadraturą koła

50 Bibliografia Podręczniki do matematyki do gimnazjum i szkoły podstawowej ,,Matematyka z plusem’’ GWO Podręcznik do matematyki do gimnazjum ,,Matematyka wokół nas’’ WSIP matkram.republika.pl

51