Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."— Zapis prezentacji:

1 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

2 Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ W BACZYNIE, GIMNAZJUM NR 5 W POZNANIU ID grupy: 98/9_MF_G2; 98/30_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYKA I FIZYKA. Temat projektowy: POTĘGI W SŁUŻBIE POZYCYJNYCH SYSTEMÓW LICZBOWYCH Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011.

3 ZESPÓŁ SZKÓŁ w BACZYNIE ul. Szkolna Baczyna GIMNAZJUM NR 5 w ZESPOLE SZKÓŁ z ODDZIAŁAMI SPORTOWYMI nr 1 Poznań ul. Oś. Pod Lipami 106

4 POTĘGI W SŁUŻBIE POZYCYJNYCH SYSTEMÓW LICZBOWYCH LICZBOWYCH

5 Systemy liczbowe możemy podzielić na : pozycyjne niepozycyjne (addytywne). Przykładami systemów pozycyjnych są m.in. systemy: dziesiętny, jedynkowy, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Przykładami systemów niepozycyjnych są m.in. system arabski, system rzymski.

6 System pozycyjny to metoda zapisywania liczb w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Liczby zapisujemy przy pomocy cyfr od strony lewej do prawej. W takiej konwencji zapisu, każda pozycja ma ściśle określoną i niezmienną wagę liczbową. System pozycyjny umożliwia zapisywanie ułamków, przy czym liczby wymierne składają się albo ze skończonej liczby znaków, albo są od pewnego miejsca okresowe.

7 Systemy pozycyjne posiadają pojedyncze symbole dla kilku pierwszych liczb. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i oznaczają mnożnik potęgi liczby n + 1, gdzie n jest najwyższą liczbą reprezentowaną pojedynczą cyfrą. W momencie gdy dana potęga nie jest potrzebna do zapisu danej liczby, zostawia się w zapisie puste miejsce, lub częściej specjalny symbol oznaczający zbiór pusty. Obecnie jest to cyfra zero.

8 Każdą liczbę przedstawiamy w postaci wyrażenia C i-1 ·p i-1 +c i-2 ·p i c 2 ·p 2 + c 1 ·p 1 +c 0 ·p 0 gdzie p jest podstawą systemu liczenia, zaś liczby oznaczone literą c z indeksami, nazywamy cyframi. Cyfry wyrażają liczbę użytych jednostek rzędu, przy której występują.

9 Liczbę daną powyższym wyrażeniem zapisujemy w postaci: ( c i-1 c i-2... c 2 c 1 c 0 ) g Jeżeli g = 10, to piszemy c i-1 c i-2...c 2 c 1 c 0

10 Zaletą systemów pozycyjnych jest ich klarowność, łatwość dokonywania nawet złożonych operacji arytmetycznych oraz możliwość zapisu dowolnie dużej liczby, jednak do zapisu bardzo dużych liczb jest potrzebna duża liczba cyfr.

11

12 Masa Księżyca kg Masa Ziemi kg Masa Słońca kg

13

14 Masa cząsteczki wody - 0, kg Masa protonu - 0, kg Masa elekronu - 0, kg

15 Głos przebywa w tym czasie 33 centymetry Ziemia przebiega 30 metrów Samolot pokonuje 10 centymetrów Pociąg przejeżdża 1 centymetr torów

16 Włos ludzki powiększony na grubość milion razy będzie miał średnicę 70 metrów ! A jaką wielkość osiągnie komar powiększony milion razy? Będzie miał 5 kilometrów długości!!!

17 P ostać wykładnicza to zapis liczby bezpośrednio w formie iloczynu postaci: gdzie: - M jest mantysą znormalizowaną do przedziału [1,10) - E jest wykładnikiem całkowitym. Notacja wykładnicza, to uproszczony zapis bardzo dużych liczb i bardzo małych liczb.

18 Za pomocą potęg o wykładniku całkowitym ujemnym określamy bardzo małe liczby, np: masa najmniejszego ptaka - kolibra wynosi kg masa atomu wodoru 1, kg

19 0, = , =3* 0, = =3* Masa protonu w kilogramach: * =1672,6* = =16,726*10 28 =1,6726*10 -27

20 OznaczenieNazwa naukowaIle to jest Nazwa potoczna ddecy10 -1 jedna dziesiąta ccenty10 -2 jedna setna mmili10 -3 jedna tysiączna umikro10 -6 jedna milionowa nnano10 -9 jedna miliardowa ppiko jedna bilionowa ffemto jedna biliardowa aatto jedna trylionowa

21 Nanotechnologia – to ogólna nazwa całego zestawu technik i sposobów tworzenia rozmaitych struktur o rozmiarach nanometrycznych (od 0,1 do 100 nanometrów), czyli na poziomie pojedynczych atomów i cząsteczek.

22 Za pomocą potęg o wykładnikach naturalnych zapisuje się bardzo duże liczby, np: - masa Ziemi wynosi 5, kg, - największa ryba świata - płetwal błękitny waży 1,210 5 kg,

23 Liczba słownieLiczba w postaci notacji wykładniczej Miliard10 9 Bilion10 12 Biliard10 15 Trylion10 18 Sekstylion10 36 Septylion10 42 Oktylion10 48 Nonilion10 54 Decylion10 60

24 Jest to podstawowy system prezentacji liczb prawie we wszystkich krajach na świecie. Do zapisu licz w tym systemie wykorzystuje się 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 10. W praktyce wygląda to tak : - o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc cyfrę stojącą na pierwszej pozycji mnożymy razy 10 0, - cyfrę na 2 pozycji mnożymy razy 10 1, - cyfrę na 3 pozycji razy 10 2, itd.

25 4123 = 3* * * *10 3 = = =4123

26 Jest to najprostszy system zapisu liczb, gdyż wykorzystuje tylko jedna cyfrę 1. Podstawą pozycji też jest liczba 1. W praktyce wygląda to tak : - jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc cyfrę stojącą na pierwszej pozycji mnożymy razy cyfrę na 2 pozycji mnożymy razy 1 1, - cyfrę na 3 pozycji razy 1 2 itd. Jednakże jak wiadomo liczba 1 podniesiona do dowolnej potęgi daje jeden. Wynika z tego że w tym systemie na każdej pozycji cyfra 1 ma wartość 1.

27 111 = 1* * *1 2 = = 3 Liczba 111 w systemie jedynkowym równa jest liczbie 3 w systemie dziesiętnym.

28 System ten jest wiec bardzo niewygodny w praktyce: - Zapis liczby 10 wygląda tak: Na zapisanie większych liczb np mogło by nie starczyć nam chęci i miejsca na kartce

29 Do zapisu liczb w tym systemie wykorzystuje się zaledwie 2 cyfr: 0 i1. Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 2. W praktyce wygląda to tak : jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc cyfrę stojącą na pierwszej pozycji mnożymy razy 2 0, a cyfrę na 2 pozycji mnożymy razy 2 1, cyfrę na 3 pozycji mnożymy razy 2 2, itd.

30 Przykład: = 1* * * * * * *2 6 = = 101 Tak wiec liczba w systemie dwójkowym jest równa liczbie 101 w systemie dziesiętnym.

31 Liczby można również zamieniać w odwrotny sposób czyli z systemu dziesiętnego na dwójkowy. Aby to zrobić wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 2 tak długo aż zostanie nam liczba jeden (jedynkę też dzielimy) i przy każdym dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia ( 1 albo 0 ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako ciąg cyfr. Przykład: 41/2 = 20 reszta1 20/2 = 10 reszta0 10/2 = 5 reszta0 5/2 = 2 reszta1 2/2 = 1 reszta0 1/2 = 0 reszta1 Czytając reszty od tyłu wychodzi nam liczba tak wiec liczba 41 w systemie dziesiętnym jest równa liczbie w systemie dwójkowym.

32 Do zapisu liczb w tym systemie wykorzystuje się 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 8. W praktyce wygląda to tak : jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc cyfrę stojącą na pierwszej pozycji mnożymy razy 8 0, cyfrę na 2 pozycji mnożymy razy 8 1, cyfrę na 3 pozycji mnożymy razy 8 2 itd. Przykład: 174 = 4* * *8 2 = = 124 Tak wiec liczba 174 w systemie ósemkowym jest równa liczbie 124 w systemie dziesiętnym.

33 Liczby można również zamieniać w odwrotny sposób czyli z systemu dziesiętnego na ósemkowy. Aby to zrobić wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 8 tak długo aż zostanie nam liczba mniejsza niż 8 (tą liczbę też dzielimy tez dzielimy) i przy każdym dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 albo 7 ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako ciąg cyfr. Przykład: 167/8 = 20 r.7 20/8 = 2 r.4 2/8 = 0 r.2 Czytając reszty od tyłu wychodzi nam liczba 247 tak wiec liczba 167 w systemie dziesiętnym jest równa liczbie 247 w systemie ósemkowym

34 Do zapisu liczb w tym systemie wykorzystuje się 16 znaków ( 10 cyfr i 6 liter ): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 16. W praktyce wygląda to tak : jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc znak stojący na pierwszej pozycji mnożymy razy 16 0, znak na 2 pozycji mnożymy razy 16 1, znak na 3 pozycji mnożymy razy 16 2 itd. UWAGA ! Litery w tym systemie traktowane są jako następujące liczby: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 Przykład: D3A = 10* * *16 2 = = 3386 Tak wiec liczba D3A w systemie dwójkowym jest równa liczbie 3386 w systemie dziesiętnym.

35 Liczby można również zamieniać w odwrotny sposób czyli z systemu dziesiętnego na szesnastkowy. Aby to zrobić wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 16 tak długo aż zostanie nam liczba mniejsza niż 16 (tą liczbę też dzielimy ) i przy każdym dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia ( w przypadku liczby większej niż 9 stosujemy litery ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako ciąg cyfr. Przykład: 3738/16 = 233 reszta A 233/16 = 14 reszta 9 14/16 = 0 reszta E Czytając reszty od tyłu wychodzi nam liczba E9A tak wiec liczba 3738 w systemie dziesiętnym jest równa liczbie E9A w systemie szesnastkowym.

36 Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą BITÓW, najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy system liczbowy. Komputer zna tylko zera i jedynki. Bity przyjmują tylko jedną z tych dwóch wartości. Osiem bitów to jeden bajt. Ustawienie ośmiu bitów decyduje o numerze, który może przyjąć maksymalnie 256. Numer decyduje o znaku, jaki komputer ma wykorzystać.

37 Bajt 2 3 bitów = 8 bitów Kilobajt 2 10 bajtów = bajty Megabajt 2 20 bajtów = bajty Gigabajt 2 30 bajtów = bajty Terabajt 2 40 bajtów = bajty

38 W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś. Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.

39 Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często najszybszy dostęp jest do adresów parzystych, albo podzielnych przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp.

40 Przykład: 2 16 = = = = i są znacznie łatwiejsze do zapamiętania. System szesnastkowy często spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie stosowany jest do zapisu kolorów.

41 NIEPOZYCYJNE SYSTEMY LICZBOWE (ADDYTYWNE)

42 Systemy niepozycyjne (addytywne) to takie w których wartość danej liczby jest suma wartości znaków cyfrowych z których się ona składa. Najpopularniejszym systemem addytywnym jest system arabski którego używamy na codzień i wykorzystuje on symbole 1,2,3,4,5,... Innym popularnym systemem jest system rzymski.

43 Zaletą systemów addycyjnych jest możliwość zapisu nawet dużych liczb (pod warunkiem, że są "okrągłe") za pomocą jednego znaku, a wadą złożoność i kłopoty interpretacyjne przy "mało okrągłych" liczbach i bardzo skomplikowany sposób dokonywania za ich pomocą prostych operacji arytmetycznych, wymagający zapamiętywania długich tabel.

44

45 System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków. Te niewygody nie występują w systemie pozycyjnym.

46 Jakich znaków używa się do zapisywania liczb systemem rzymskim? I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

47 pochodzi od słowa centum = 100 pochodzi od słowa mille = 1000 C M

48 Liczby powstają z dodawania znaków. 6 = (V + I) = VI 11 = (X + I) = XI 60 = (L + X) = LX 110 = (C + X) = CX 600 = (D + C) = DC 1100 = (M + C) = MC

49 Liczby powstają również z odejmowania znaków. 4 = (V – 1) = IV 9 = (X – I) = IX 40 = (L – X) = XL 90 = (C – X) = XC 400 = (D – C) = CD 900 = (M – C) = CM

50 Jakie są inne zasady obowiązujące przy tworzeniu liczb systemem rzymskim? Obok siebie można zapisać tylko trzy jednakowe znaki I, X, C, M. Nie wolno powtarzać obok siebie znaków V, L, D.

51 78=LXXVIII 94=XCIV 116=CXVI 465=CDLXV 999=CMXCIX

52 XLV = 45 LXXIX=79 CCXLVI=246 CDXCIV=494 MMM=3000

53 Jak zapisać systemem rzymskim większe liczby? ICI = IXLVII = IDCIVI = Liczby w pionowych kreskach zwiększają swoją wartość stukrotnie.

54 Jak zapisać jeszcze większe liczby systemem rzymskim? XXX = DV = MM = Liczby podkreślone u góry zwiększają swoją wartość tysiąckrotnie.

55 Gdzie dzisiaj używa się zapisu liczb systemem rzymskim? Przy zapisywaniu dat i wieków 11 XI 1918 Przy numeracji ważnych rocznic XV Konkurs Chopinowski Przy imionach kolejnych królów Zygmunt III Waza

56 Gdzie jeszcze używa się zapisu liczb systemem rzymskim? Do oznaczania godzin na tarczy zegarowej Przy numeracji rozdziałów Na tablicach pamiątkowych W inskrypcjach

57 WYKONUJ KOLEJNE KROKI A ODGADNĘ, JAKA LICZBE POMYŚLAŁEŚ Pomyśl dowolną liczbę naturalną (ale nie za wielką, byś nie miał kłopotów z wykonywaniem na niej działań w głowie). A teraz: 1. Podnieś tę liczbę do kwadratu 2. Dodaj wynik do pomyślanej liczby 3. Podziel rezultat przez liczbę pomyślaną 4. Dodaj do wyniku – powiedzmy – Odejmij pomyślaną przez siebie na początku liczbę 6. Wynik podziel przez 6

58 Otrzymałeś 3

59 Podręczniki do matematyki do gimnazjum i szkoły podstawowej,,Matematyka z plusem GWO Podręcznik do matematyki do gimnazjum,,Matematyka wokół nas WSIP Zasoby Internetu m.in.

60 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA


Pobierz ppt "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."

Podobne prezentacje


Reklamy Google