Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Modelowanie matematyczne jako podstawa obliczeń naukowo-technicznych:

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Modelowanie matematyczne jako podstawa obliczeń naukowo-technicznych:"— Zapis prezentacji:

1 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Modelowanie matematyczne jako podstawa obliczeń naukowo-technicznych: Wybór modelu opisowego, a w konsekwencji struktury matematycznej modelu jest w znacznym stopniu arbitralny, Struktura matematyczna użyta do modelowania powinna by skończenie wymiarowa – tzn.: wyczerpująco opisana za pomocą skończonej liczby parametrów, Kryteria oceny modelu są ściśle związane z jego przeznaczeniem. Wniosek: Model uznany za adekwatny w jednym zastosowaniu może się okazać nieadekwatny w innym.

2 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Przykład I Zadanie wyznaczania optymalnego ukształtowania autostrady Koszt budowy jest proporcjonalny do ilości podłoża dodawanego lub usuwanego T – długość drogi, c(t) – wysokość terenu dla każdego Autostrada będzie budowana na nierównym terenie Należy wyznaczyć wysokość drogi y(t) dla Założenia: Warunki początkowe trasy: y(0) = a Warunki końcowe trasy: y(T) = b Maksymalne nachylenie nie może przekraczać b 1 dla uniknięcia nadmiernych spadków: Należy graniczyć szybkość zmian nachylenia drogi (wyeliminowanie garbów na jezdni):

3 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Zadanie wyznaczania optymalnego ukształtowania autostrady y(t) Przy ograniczeniach:

4 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Przekształcenie zadania: Założenia: drogę należy podzielić na K równych odcinków o długości l, k=1,...,K zmienna sterująca: u(t)=y(t)-c(t) zmienna modelu dynamicznego: Przyjmując oznaczenia: y 1 = y,, c(k) = c k, y 1 (k) = y 1,k, y 2 (k) = y 2,k Zadanie optymalizacji statycznej: przy ograniczeniach: Powstało zadanie optymalizacji liniowej z ograniczeniami większościowymi i mniejszościowymi.

5 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Przykład II. Zadania sterowania siecią dystrybucji wody minimalizujące zużycie energii elektrycznej Dana jest sieć dystrybucji wody w postaci: m- węzłów, s - odbiorców z odpowiednimi potrzebami, w których utrzymywane jest odpowiednie ciśnienie oraz n łuków, każdy łuk i charakteryzuje się przepływem y i : Opis sieci: spadek ciśnienia x i na łuku i: gdzie: r i - opór hydrauliczny łuku i d i - różnica wysokości geodezyjnych łuku i Ograniczenia wynikające ze struktury sieci: I prawo Kirchhoffa: A – macierz incydencji dla węzłów sieci wodociągowej, II prawo Kirchhoffa: B – macierz oczkowa dla węzłów sieci wodociągowej.

6 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Sterowanie siecią dystrybucji wody minimalizujące zużycie energii elektrycznej gdzie: przy ograniczeniach :

7 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Przykład III: Znaleźć najlepszą liniową aproksymację nieznanej funkcji określonej poprzez tabelę 20 pomiarów. Wyznaczyć optymalne wartości wektora współczynników b=[b 1, b 2, b 3, b 4 ] formy liniowej : gdzie: u - wektor wielkości sterujących, y - wektor wielkości wyjściowych Dane: tabela z 20 pomiarami wektora u wielkości sterujących oraz wektora wielkości wyjściowych dla następujących kryteriów jakości: 1.minimum sumy wartości bezwzględnych różnic między wartościami wektora wyjść a wartościami otrzymanymi z modelu liniowego: gdzie: - wartości zmierzone wielkości wyjściowych i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie modelu Zadanie trudne do rozwiązania, ponieważ funkcja celu jest nie-różniczkowalna.

8 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Równoważne zadanie programowania liniowego Wprowadzono nową zmienną: Ø Zwiększenie wymiaru zadania: 24 zmienne niezależne przy ograniczeniach: dla i=1,...,20 Zadanie programowania liniowego: Ø funkcja celu jest wypukła. Ø rozwiązano metodą dwufazową simpleks. Wektor b optymalnych współczynników :

9 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Drugie kryterium jakości : 2. minimum sumy kwadratów różnic między wartościami wektora wyjść a wartościami otrzymanymi z modelu liniowego: gdzie: - wartości zmierzone wielkości wyjściowych - i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie modelu Zadanie programowania nieliniowego: funkcja celu jest wypukła rozwiązano metodą gradientów sprzężonych w wersji Polaka-Ribierey. Wyniki identyfikacji zależą od wyboru kryterium optymalizacji i przyjętej dokładności obliczeń.

10 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Przykład projektowania topologii sieci telekomunikacyjnej cz. 1 Zadanie określenia liczby nadmiarowych kanałów w sieci telekomunikacyjnej przy minimalizacji sumarycznych kosztów inwestycyjnych poniesionych na projektowanie sieci. Dana jest nieliniowa sieć telekomunikacyjna opisana grafem nieskierowanym G=[N,U] w postaci: m węzłów, n krawędzi, każdy może posiadać xi elementów nadmiarowych, przy czym każda krawędź (kanał) charakteryzuje się niezawodnością elementu ri. Sieć telekomunikacyjna posiada n krawędzi obciążonych kosztami inwestycyjnymi uzależnionymi od ilości elementów nadmiarowych w postaci: gdzie: - współczynniki kosztów inwestycyjnych dla poszczególnych linii telekomunikacyjnych.

11 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Przykład projektowania topologii sieci telekomunikacyjnej cz. 2 R(x)- miara niezawodności lub gotowości sieci w funkcji ilości elementów nadmiarowych do wyboru w postaci: 1. wielokrotny wybór dla kolejnych wartości wektora x 2. równoległa nadmiarowość dla x2 równoległych kanałów w sieci przy czym r2– oznacza prawdopodobieństwo niezawodności dla dowolnego elementu : 3. nadmiarowość typu k z n dla prawdopodobieństwa elementu rj

12 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Przykład projektowania topologii sieci telekomunikacyjnej cz. 2 Zadanie nieliniowej optymalizacji statycznej:przy ograniczeniach na niezawodnośc kanałów: przy ograniczeniach: lub przy ograniczeniach na koszty inwestycyjne Zadanie nieliniowej optymalizacji statycznej:

13 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Przykład - Symulacja ramienia robota przemysłowego Adekwatny model matematyczny dla szerokiej klasy obiektów sterowania- to układ równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. W tym celu: 1. Konkretne ustalenie liczby równań 2. Oznaczenie wartości parametrów tych równań 3. Ustalenie warunków początkowych 4. Jeżeli to możliwe - uproszczenie modelu do postaci równań liniowych. Proces symulacji: Numeryczne rozwiązanie równań różniczkowych poprzez: Zastąpienie pochodnych – ilorazami różnicowymi Rozwiązanie wynikającego z tego faktu układu równań liniowych.

14 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Rozwiązywanie zadań inżynierskich – to umiejętność sprowadzania tych zadań do standardowych problemów numerycznych, takich jak: Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych, Rozwiązywanie układu nieliniowych równań algebraicznych, Aproksymacja i interpolacja funkcji jednej i wielu zmiennych, Różniczkowanie funkcji jednej i wielu zmiennych, Całkowanie układów równań różniczkowych zwyczajnych, Rozwiązywanie zadań optymalizacji liniowej, Rozwiązywanie zadań optymalizacji nieliniowej. D W, Zadanie numeryczne – to proces przetwarzania pewnego elementu zbioru danych D w taki element zbioru wyników W, który spełnia zadane wymagania R 1, R 2,…. UkładTo klasa zadań numerycznych.

15 Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 D W Algorytm numeryczny – opis jednoznacznie uporządkowanego ciągu operacji, które przekształcają zbiór danych D w zbiór wyników W dla pewnej klasy zadań numerycznych. Równoważne formy opisów algorytmu: Tradycyjny zapis matematyczny Zapis w języku programowania komputerów Siec działań Zapis sekwencyjny.


Pobierz ppt "Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2 Modelowanie matematyczne jako podstawa obliczeń naukowo-technicznych:"

Podobne prezentacje


Reklamy Google