Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 13 18.06.2008 r. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Punkty równowagi Lagrangea Wszystkie punkty P, dla których F przechodzi przez barycentrum.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 13 18.06.2008 r. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Punkty równowagi Lagrangea Wszystkie punkty P, dla których F przechodzi przez barycentrum."— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA NIEBA WYKŁAD r

2 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Punkty równowagi Lagrangea Wszystkie punkty P, dla których F przechodzi przez barycentrum są położone na symetralnej odcinka łączącego masy m1 i m2. Stąd, że siła dośrodkowa może być w całości kompensowana przez siłę o tym samym kierunku (przeciwnym zwrocie) dostaliśmy a=d. W związku z tym punkt równowagi leży w wierzchołku trójkąta równobocznego, którego podstawą jest linia łącząca obie masy. Ze względu na symetrię w układzie istnieje drugi punkt trójkątny. Poza tym istnieją jeszcze trzy punkty leżące na linii łączącej obie masy. m1m1 m2m2 P a b a O d αα β γ g

3 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea Punkty równowagi to punkty osobliwe powierzchni zerowej prędkości: które są zdefiniowane poprzez: gdzie U jest wprowadzonym wcześniej pseudo potencjałem:

4 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea Z równania oraz z równań ruchu: Wynika, że w każdym punkcie osobliwym mamy: czyli, punkty osobliwe są jednocześnie punktami równowagi

5 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea Co więcej pamiętając, żeoraz otrzymujemy, że z=0. W takim razie zagadnienie sprowadza się do zagadnienia płaskiego, które rozpatrujemy w płaszczyźnie x-y Oprócz z=0, przyjmujemy taki układ jednostek, w którym odległość mas jest równa 1 oraz n=1.

6 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea nt ξ η x μ2μ2 μ1μ1 y r1r1 r r2r2 O (ξ2,η2,ζ2)(ξ2,η2,ζ2) (ξ1,η1,ζ1)(ξ1,η1,ζ1) Ruch cząstki opisujemy w układzie (x,y) rotującym ze stałą prędkością Korzystając z wcześniejszych definicji mamy: korzystając z powyższych równań oraz z faktu, że μ 1 +μ 2 =1 otrzymujemy: co pozwala na przekształcenie U do postaci:

7 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea Otrzymana postać potencjału jest wygodniejsza przy obliczaniu pochodnych cząstkowych ze względu na brak zależności od x i y Dla znalezienia punktów równowagi musimy rozwiązać układ równań:

8 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea Po wyznaczeniu pochodnych cząstkowych dostajemy: (13.1) Rozwiązanie trywialne tego układu: daje r 1 =r 2 =1 (w przyjętym układzie jednostek). Ponieważ jednocześnie odległość między masami jest równa 1, więc otrzymaliśmy wprowadzone wcześniej punkty trójkątne

9 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea Można zauważyć, że innym rozwiązaniem drugiego z równań 13.1 jest y=0 co oznacza, że pozostałe punkty równowagi leżą na osi x i spełniają pierwsze z równań 13.1 Są trzy takie punkty. L 1 leżący pomiędzy masami, L 2 położony na prawo od μ 2 oraz L 3 znajdujący się na lewo od masy μ 1. Wykorzystując te informacje możemy rozwiązywać kolejno pierwsze z równań 13.1 dla poszczególnych przypadków μ2μ2 μ1μ1 L1L1 L2L2 L3L3

10 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea W przypadku punktu L 1 mamy: Podstawiamy to do równania 13.1a otrzymujemy: a po przekształceniu: (13.2)

11 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea Zdefiniujmy: wtedy: W przypadku małych r 2 przybliżonym rozwiązaniem tego równania jest r 2 =α Po rozwinięciu równania 13.2 w szereg otrzymujemy: Aby otrzymać zależność r 2 (α) możemy odwrócić powyższy szereg wykorzystując metodę podaną przez Lagrangea (wykład 8)

12 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea Porównując równania: możemy napisać: gdzie nowa funkcja φ jest zdefiniowana jako:

13 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea W takim razie mamy: pamiętając, że: otrzymujemy ostatecznie:

14 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea W przypadku punktu L 2 mamy: Podstawiamy to do równania 13.1a otrzymujemy: a po przekształceniu: Postępując podobnie jak w przypadku L 1 dostajemy:

15 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea Dla L 3 mamy: Tym razem w równaniu 13.1a podstawiamy za r 2 : a po przekształceniu: Jeśli dokonamy podstawienia r 1 =1+β (czyli r 2 =2+β) to otrzymamy:

16 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea Położenia krzywych zerowej prędkości i punktów osobliwych w przypadku stosunku mas μ 2 =0.2

17 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea CJCJ Położenia punktów osobliwych (μ 2 =0.2) w funkcji wartości stałej Jacobiego. Najmniejszą wartość C J mają punkty L 4 i L 5 Dla cząstki, której C J

18 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Położenie punktów równowagi Lagrangea W Układzie Słonecznym największą wartość μ 2 ma układ Pluton-Charon, gdzie μ 2 =10 -1, a dla układu Ziemia-Księżyc μ 2 = Wszystkie inne układy planeta-księżyc i Słońce-planeta mają μ 2 o co najmniej rząd mniejsze, co sprawia, że kształt krzywych zerowej prędkości i położenia punktów równowagi badamy w przybliżeniu małych μ 2 (na rys. =0.01)

19 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea Załóżmy, że punkt równowagi ma współrzędne (x 0,y 0 ). Rozpatrzymy małe wychylenie (X,Y) z położenia równowagi takie, że: Podstawiamy do równań ruchu: i po rozwinięciu w szereg Taylora dostajemy:

20 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea Pamiętając, że n=1 i oznaczając stałe wielkości jako: możemy przepisać otrzymane równania jako: (13.3) a następnie w postaci macierzowej: co pozwala zmienić problem rozwiązania układu dwóch równań drugiego rzędu w cztery układ czterech równań rzędu pierwszego

21 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea Układ równań ma teraz postać: gdzie: Jego równanie charakterystyczne:

22 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea Otrzymane równanie charakterystyczne redukuje się do wielomianu: Takie równanie łatwo przekształcić do równania kwadratowego i wyznaczyć wszystkie cztery pierwiastki:

23 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea Możemy napisać teraz ogólne rozwiązania (α j są stałymi): (13.4a) oraz (β j są stałymi): (13.4b) Stałe β j są zależne od α j ponieważ w ogólnym rozwiązaniu mogą być tylko cztery stałe. Zależność między nimi można znaleźć podstawiając powyższe równania do dowolnego z równań Otrzymamy wtedy:

24 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea Trywialne rozwiązanie tego równania pozwala uzyskać zależność pomiędzy stałymi: Co oznacza, że jeżeli w momencie czasu t=0 znamy warunki początkowe to możemy wyznaczyć stałe α j (a więc także β j ) rozwiązując układ czterech równań liniowych: (13.5)

25 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea Pełne rozwiązanie jest dane równaniami 13.4, dla których stałe można wyznaczyć z równań Jednak aby zbadać stabilność punktów równowagi wystarczy rozpatrzenie tylko wartości własnych. W tym celu zdefiniujemy następujące wielkości:

26 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea W takim razie mamy: Ogólnie wartości własne możemy zapisać jako liczby zespolone postaci: gdzie j 1,k 1,j 2,k 2 są liczbami rzeczywistymi. Wartości własne decydują o stabilności ponieważ ogólne rozwiązanie układu zlinearyzowanego jest superpozycją wyrazów typu:

27 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea - dla j 0 co najmniej jeden czynnik w równaniach 13.4 będzie rozbieżny i ruch jest niestabilny - gdy j=0 mamy rozwiązanie oscylujące (punkt liniowo stabilny) Wynika stąd, że punkt równowagi jest stabilny jeżeli wszystkie wartości własne są liczbami urojonymi. Badanie liniowej stabilności wskazuje, że: - punkty L 1, L 2, L 3 są liniowo niestabilne - punkty L 4, L 5 są stabilne dla szczególnych wartości μ 2, które można wyznaczyć następująco

28 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea (L 4, L 5 ) Uzyskane wcześniej: podstawiamy do równań:

29 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea (L 4, L 5 ) W efekcie dostajemy: a więc wartości własne będą liczbami urojonymi wtedy gdy: Otrzymujemy stąd warunek stabilności (liniowej):

30 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea (L 4, L 5 ) W przypadku stabilności liniowej punktów trójkątnych są dwa wyjątki dla: μ 2 =0.0243μ 2 = Dla takich wartości punkty trójkątne są niestabilne pomimo, że spełniony jest warunek stabilności. Punkty współliniowe są niestabilne, ale tylko w przypadku liniowej analizy stabilności. Okazuje się, że przy uwzględnieniu wyrazów wyższych rzędów możemy otrzymać orbity stabilne.

31 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea (L1)

32 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea (L1)

33 Ograniczone zagadnienie 3 ciał Stabilność punktów równowagi Lagrangea (L2) WMAP James Webb Space Telescope (JWST)


Pobierz ppt "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 13 18.06.2008 r. Ograniczone zagadnienie 3 ciał Punkty równowagi Lagrangea Wszystkie punkty P, dla których F przechodzi przez barycentrum."

Podobne prezentacje


Reklamy Google