Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

ZNAJDOWANIE NAJKRÓTSZYCH DRÓG oraz NAJNIŻSZYCH i NAJKRÓTSZYCH DRZEW WSTĘP DO OBLICZEŃ NA GRAFACH Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "ZNAJDOWANIE NAJKRÓTSZYCH DRÓG oraz NAJNIŻSZYCH i NAJKRÓTSZYCH DRZEW WSTĘP DO OBLICZEŃ NA GRAFACH Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK."— Zapis prezentacji:

1

2 ZNAJDOWANIE NAJKRÓTSZYCH DRÓG oraz NAJNIŻSZYCH i NAJKRÓTSZYCH DRZEW WSTĘP DO OBLICZEŃ NA GRAFACH Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu 2 informatyka +

3 Algorytm, algorytmika Algorytm – opis rozwiązania krok po kroku postawionego problemu lub sposobu osiągnięcia jakiegoś celu Pierwszy algorytm – algorytm Euklidesa 300 p.n.e algorytm od Muhammad ibn Musa al-Chorezmi IX w. Algorytmika – dziedzina zajmująca się algorytmami i ich własnościami informatyka + 3

4 Algorytmy a informatyka Informatyka – jedna z definicji: dziedzina wiedzy i działalności zajmująca się algorytmami Donald E. Knuth: Mówi się często, że człowiek dotąd nie zrozumie czegoś, zanim nie nauczy tego – kogoś innego. W rzeczywistości, człowiek nie zrozumie czegoś (algorytmu) naprawdę, zanim nie zdoła nauczyć tego – komputera. Ralf Gomory (IBM): Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami) informatyka + 4

5 Grafy i algorytmy Plan: Przykłady pojawiania się grafów –siatki wielościanów –mosty królewieckie – figury jednobieżne –malowanie map –drzewa w informatyce –sieci dróg –cykle Hamilton Przykłady trudnych problemów –szukanie trasy objazdu Problemy, które mają efektywne algorytmy –szukanie najniższych drzew – krótkich kodów –komputerowe reprezentacje grafów –problemy najkrótszych dróg –problem najkrótszego drzewa informatyka + 5

6 Grafy – przykłady występowania – wielościany informatyka + 6 Leonhard Euler ( ) – Ojciec Teorii Grafów: Podał zależność między liczbą wierzchołków. krawędzi i ścian w wielościanach Spłaszczony sześcian Ściany Krawędzie Wierzchołki Sześcian Wzór Eulera: Liczba wierzchołków + liczba ścian = 2 + liczba krawędzi n + f = 2 + m dla sześcianu: =

7 Grafy – przykłady występowania – grafy Eulera, 1 informatyka + 7 Leonhard Euler ( ) – Ojciec Teorii Grafów: 1736: Problem mostów Królewieckich Czy istnieje droga, która zawiera każdy most (każdą krawędź) dokładnie raz? Do każdego wierzchołka, z wyjątkiem dwóch, tyle samo razy musimy wyjść, ile razy wchodzimy

8 Grafy – przykłady występowania – grafy Eulera, 2 informatyka + 8 Leonhard Euler ( ) – Ojciec Teorii Grafów: 1736: Problem mostów Królewieckich Figury unikursalne, jednobieżne

9 Kolorowanie map informatyka + 9 Problem czterech kolorów (1852): Czy każdą mapę można pomalować 4 kolorami? 1976: K. Appel. W. Haken i J. Koch (programista) Pierwszy dowód – z wykorzystaniem komputera Mapa województw Graf województw Pomalowany graf

10 Drzewa w informatyce informatyka + 10 Drzewa – grafy spójne bez cykli Drzewa obliczeń Drzewo algorytmu (6 + 3)*(5 – 3*4) (x 2 + y 2 )/(a – b) Zastosowanie: ONP Odwrotna Notacja Polska Jan Łukasiewicz (1920)

11 Drzewa w algorytmice – wyłanianie zwycięzcy informatyka + 11 BartekRomek Bolek Witek TomekZenek Tolek Felek Bartek Witek Tomek Tolek Bartek Tomek Porównania – mecze Ośmiu zawodników: 7 meczy n zawodników: n – 1 meczy

12 A jak znaleźć drugiego najlepszego zawodnika w turnieju? informatyka + 12 BartekRomek Bolek Witek TomekZenek Tolek Felek Bartek Witek Tomek Tolek Bartek Tomek Czy jest nim Bartek? Bo przegrał z Tomkiem? Ale Bartek nie grał z drugą połową! ??? Tylko dwa dodatkowe mecze!

13 Sieci dróg samochodowych, kolejowych, lotniczych … informatyka + 13

14 Grafy Hamiltona informatyka + 14 William R. Hamilton ( ): 1859: cykl Hamiltona – przechodzi przez każdy wierzchołek dokładnie raz Dwunastościan foremny Siatka (graf) dwunastościanu Cykl Hamiltona

15 Zastosowanie – najkrótsza trasa premiera, 1 Problem: Znajdź najkrótszą trasę dla Premiera przez wszystkie miasta wojewódzkie. informatyka + 15 Rozwiązanie: Premier zaczyna w Stolicy a inne miasta może odwiedzać w dowolnej kolejności. Tych możliwości jest: 15*14*13*12*11*…*2*1 = 15! (15 silnia) W 1990 roku było: 48*47*46*…*2*1 = 48! (48 silnia)

16 Zastosowanie – najkrótsza trasa premiera, 2 informatyka + 16 Na superkomputerze o mocy 1 PFlops – ile trwa obliczanie n! 15! = /10 15 sek. = ok sek. 48! = 1, *10 61 /10 15 = 3*10 38 lat 25! = /10 15 sek. = sek. = = dni = 491 lat Wartości funkcji n! Rosną BARDZO SZYBKO Prezydent Stanów Zjednoczonych ma problem ze znalezieniem najkrótszej trasy objazdu Stanów.

17 Zastosowanie – najkrótsza trasa premiera, 3 informatyka + 17 Algorytmy przybliżone szukania rozwiązań: 1.Metoda zachłanna – najbliższy sąsiad – mogą być bardzo złe 2.Meta-heurystyki: algorytmy genetyczne – krzyżowanie i mutowanie rozwiązań algorytmy mrówkowe – modelowanie feromonów Trudno sprawdzić, jak dobre jest to rozwiązanie w stosunku do najlepszego, bo go nie znamy. Zły wybór

18 Kody: ASCII a: b: d: k: r: Huffman znaków 24 znaki 18 Krótkie kody – kompresja abrakadabra

19 Algorytm Huffmana: Powtarzaj, aż zostanie jedna liczba: Wybierz dwie najmniejsze częstości i dodaj ich sumę do ciągu Litery i ich częstości M.M. Sysło 19 Krótkie kody – kompresja Kody Krótsze dla często występujących liter Drzewo Huffmana

20 M.M. Sysło 20 Reprezentacje grafów w komputerze

21 M.M. Sysło 21 Najkrótsze drogi

22 M.M. Sysło 22 Najkrótsze drzewa

23 Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami) [Ralf Gomory, IBM] 23 Konkluzja

24 Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka + Wykład+Warsztaty (Wszechnica Poranna): Wprowadzenie do algorytmiki i programowania – wyszukiwanie i porządkowanie informacji Proste rachunki wykonywane za pomocą komputera. Techniki algorytmiczne – przybliżone (heurystyczne) i dokładne. Wykłady (Wszechnica Popołudniowa): Czy wszystko można policzyć na komputerze? Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania. Dlaczego możemy się czuć bezpieczni w sieci, czyli o szyfrowaniu informacji. Znajdowanie najkrótszych dróg, najniższych drzew, najlepszych małżeństw informatyka + 24

25 Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka + Kursy (24 godz.) – Wszechnica na Kołach: Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka programowania Różnorodne algorytmy obliczeń i ich komputerowe realizacje Grafy, algorytmy grafowe i ich komputerowe realizacje Kursy (24 godz.) – Kuźnia Informatycznych Talentów – KIT dla Orłów: Przegląd podstawowych algorytmów Struktury danych i ich wykorzystanie Zaawansowane algorytmy Tendencje – Wykłady Algorytmy w Internecie, K. Diks Czy P = NP, czyli jak wygrać milion dolarów w Sudoku, J. Grytczuk Między przeszłością a przyszłość informatyki, M.M Sysło informatyka + 25

26


Pobierz ppt "ZNAJDOWANIE NAJKRÓTSZYCH DRÓG oraz NAJNIŻSZYCH i NAJKRÓTSZYCH DRZEW WSTĘP DO OBLICZEŃ NA GRAFACH Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK."

Podobne prezentacje


Reklamy Google