Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."— Zapis prezentacji:

1 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

2 Dane informacyjne Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 5 im. Tadeusza Ko ś ciuszki w Pile ID grupy: 98/27_MF_G1 Opiekun: Alicja Marcinek Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Pot ę gi w słu ż bie pozycyjnych systemów liczbowych Semestr/rok szkolny: lll semestr 2010/2011

3

4 1.Definicja potęgowania 2.Własności potęg 3.Porównywanie potęg 4.Notacja wykładnicza 5.Liczby olbrzymy i liliputy 6.Zadanie problemowe 7.Systemy liczbowe 8.Ciekawostki 9.Bibliografia

5 Potęgowanie jest to działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, a liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. wykładnik podstawa

6 Przyjmujemy, że: Symbolu 0 0 nie definiujemy. a 1 = a, dla każdej liczby a a 0 = 1, dla dowolnej liczby a różnej od liczby 0

7 Symbolu 0 0 nie definiujemy. Powodem, dla którego nie określamy tej potęgi, jest następujący, trudny do rozstrzygnięcia konflikt: z jednej strony liczba zero podniesiona do jakiejkolwiek potęgi n > 0 daje zero, z drugiej strony przyjęliśmy, że każda liczba (z wyjątkiem zera) podniesiona do potęgi zero daje 1.

8

9 Iloczyn potęg o takich samych podstawach różnych od zera jest równy potędze o wykładniku równym sumie wykładników potęg z zachowaniem podstawy. a n. a m = a n+m

10 Iloraz potęg o tych samych podstawach różnych od zera jest równy potędze o wykładniku równym różnicy wykładników potęg z zachowaniem podstawy. a n :a m = a n-m

11 Potęga iloczynu liczb różnych od zera, jest równa iloczynowi potęg tych liczb z zachowaniem wykładników. (a. b) n =a n. b n (a. b) n = a n. b n

12 Potęga ilorazu dwóch liczb różnych od zera jest równa ilorazowi potęg tych liczb przy zachowaniu wykładnika. (a:b) n = a n :b n

13 Potęga potęgi liczby różnej od zera jest równa potędze o tej samej podstawie i iloczynie wykładników. (a n ) m = a n m

14 Potęga o wykładniku ujemnym liczby różnej od zera jest odwrotnością potęgi o tej samej podstawie i przeciwnym wykładniku. a –n = 1/a n

15

16 Zapisz w postaci pojedynczej potęgi: 1) 2) 3) 4)

17 5) 6) 7)

18 8)

19 Oblicz korzystając z własności potęg: 1) 2)

20 3) 4)

21 Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n liczba 3 n n jest podzielna przez 28. Rozwiązanie: Jeśli liczba naturalna A dzieli się przez 28, to można ją zapisać w postaci A = 28 B, gdzie B także jest liczbą naturalną i na odwrót – liczba postaci 28 B, gdzie B jest liczbą naturalną, jest podzielna przez 28. Po tej uwadze przystępujemy do rozwiązania zadania:

22 zatem okazuje się, że liczba A = 3 n n jest postaci 28 B, więc jest podzielna przez 28.

23

24 Aby ustalić, która z podanych potęg jest większa porównujemy wykładniki przy takich samych podstawach lub porównujemy podstawy przy takich samych wykładnikach.

25 Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy dodatnie większe od 1 to większa jest ta potęga, która ma większy wykładnik. Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy dodatnie i mniejsze od 1 to większa jest ta potęga, która ma mniejszy wykładnik.

26 Jeżeli dwie potęgi o dodatnich podstawach mają jednakowe wykładniki to większa jest ta potęga, która ma większą podstawę.

27

28 Uporządkuj podane liczby rosnąco: 1) Rozwiązanie: 2) Rozwiązanie:

29 Która z liczb jest większa czy ? Rozwiązanie: Liczby 31 i 17 kojarzymy z potęgami liczby 2: i,stąd pomysł na oszacowania: zatem jest mniejsze niż

30 Co jest większe czy ? Rozwiązanie: Potęgi można rozpisać następująco: czyli 4 5 > 5 3, więc >

31 Wykaż, że liczba ma co najmniej 31 cyfr. Rozwiązanie: Wiemy, że, stąd otrzymujemy, że: Liczba ma 31 cyfr, zatem liczba jako większa od niej ma ich co najmniej tyle samo.

32

33 Każdą liczbę dodatnią można przedstawić w postaci iloczynu k. 10 n, gdzie 1 k < 10, a n jest liczbą całkowitą. Takie przedstawienie liczby nazywamy notacją wykładniczą lub naukową. Taką postać przedstawienia liczby stosujemy do zapisu liczb bardzo dużych i bardzo małych.

34 MasaObjętośćPowierzchnia Merkury3, kg6, km³ km² Wenus4, kg9, km 3 4, km² Ziemia5, kg1, km³ km² Mars6, kg1, km³1, km² Jowisz1, kg142, km³62, km² Saturn5, kg7, km³4, km² Uran8, kg6, km 3 8, km 2 Neptun1, kg6, km³7, km²

35

36 Masa Słońca wynosi około kg, a masa Ziemi około kg. Ile razy masa Słońca jest większa od masy Ziemi? Rozwiązanie: Odp. Masa Słońca jest ok. 3, razy większa od masy Ziemi.

37 Prędkość obniżenia terenu w okolicach Elbląga wynosi m/s. O ile centymetrów obniżył się ten teren w ciągu stu lat? Rozwiązanie: Zamieniamy 100 lat na sekundy: 1 rok = 365 dni, 1 doba = 24 godziny, 1 godzina = 3600 sekund 100 lat = s = = s Odp.

38 Obliczamy, o ile obniżył się teren w ciągu : Odp. W ciągu stu lat teren w okolicach Elblaga obniżył się o ok. 25 cm.

39 Na głowie jest około 10 5 włosów. Włos rośnie z prędkością metra w ciągu roku. Zsumuj przyrosty wszystkich włosów w ciągu roku. Ile to metrów? Rozwiązanie: ilość włosów – 10 5 = sztuk roczny przyrost – 12 cm = cm = m Odp. W ciągu roku razem włosy wydłużą się o m.

40 Odległość Ziemi od Słońca zmienia się w ciągu roku od 1, km (w peryhelium, ok. 3 stycznia) do 1, km (w aphelium, ok. 6 lipca). Jaka jest różnica odległości Ziemi od Słońca w aphelium i w peryhelium? Rozwiązanie: 1, , = 10 8 (1, ,471) = = 0, = [km] Odp. Różnica odległości Ziemi od Słońca w podanym okresie wynosi km.

41

42 Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania pewnej wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.

43 W pogodną noc możemy zobaczyć gołym okiem najbliższą galaktykę: Wielką Mgławicę w Andromedzie, podobną do naszej Galaktyki. Natomiast w bezchmurny dzień widzimy Słońce, najbliższą naszą gwiazdę. Jeśli uświadomimy sobie, że Wielka Mgławica w Andromedzie jest oddalona od Ziemi o około km, a masa Słońca jest równa około g, to mamy wyobrażenie o liczbach olbrzymach.

44 Poniższa tabela przedstawia nazwy liczb, ich zapis w postaci dziesiętnej, oraz zapis w postaci potęgi liczby 10 (dla systemu stosowanego w Polsce). jeden10 0 kwintyliard10 33 tysiąc10 3 sekstylion10 36 milion10 6 septylion10 42 miliard10 9 oktylion10 48 bilion10 12 oktyliard10 51 biliard10 15 nonilion10 54 trylion10 18 noniliard10 57 tryliard10 21 decylion10 60 kwadrylion10 24 decyliard10 63 kwadryliard10 27 googol kwintylion10 30 centylion10 600

45 odległość Księżyca od Ziemi = 3, km odległość Ziemi od Słońca = 1, km odległość Ziemi od Marsa = 7, km odległość Słońca od Gwiazdy Porannej = 9, km odległość Słońca od Alfa Centauri = 4, km

46 odległość od najbliższej gwiazdy 4,1·10 16 km płetwal błękitny waży 1,310 5 kg słoń indyjski = 3, kg goryl = 1, t

47 Masa całego znanego obecnie wszechświata wynosi (podobno) ponad 20 nonilionów gramów. ( g) Ciało ludzkie składa się z atomów, Ziemia ma ich Widocznych gwiazd jest około

48 oznaczenie Nazwa naukowa Ile to jest Nazwa potoczna ddecy10 -1 jedna dziesiąta ccenty10 -2 jedna setna mmili10 -3 jedna tysiączna mikro10 -6 jedna milionowa nnano10 -9 jedna miliardowa ppiko jedna bilionowa ffemto jedna biliardowa aatto jedna trylionowa

49 średnica tułowia ameby = 6, m masa wirusa ospy = g masa ziarenka maku = g masa atomu wodoru = 1, g prędkość, z jaką rośnie bambus = 1, m/s

50 Masa cząsteczki wody – 0, kg Masa protonu – 0, kg Masa elektronu - 0, kg

51 średnica tułowia ameby = 6, m masa wirusa ospy = g masa ziarenka maku = g masa atomu wodoru = 1, g prędkość, z jaką rośnie bambus = 1, m/s masa najmniejszego ptaka - kolibra wynosi kg

52

53 Wyobraźmy sobie ogromny arkusz bibułki o grubości 0,01 mm. Arkusz ten składamy na pół, potem jeszcze raz na pół i jeszcze raz na pół itd. Po pierwszym złożeniu bibułka składałaby się z dwóch warstw i jej grubość wynosiłaby: 2 0,01 mm. Po drugim złożeniu grubość otrzymanej bibułki byłaby 2 razy większa i wynosiłaby: 2 2 0,01 mm = 2 2 0,01 mm.

54 Po trzecim złożeniu grubość bibułki byłaby znowu 2 razy większa i wynosiłaby: ,01 mm = 2 3 0,01 mm. Przypuśćmy, że moglibyśmy złożyć bibułkę 50 razy. Wtedy jej grubość wynosiłaby: ,01 mm. Z czym można byłoby porównać grubość otrzymanej w ten sposób bibułki? Wiemy, że ,01mm = (2 10 ) 5 0,01 mm (10 3 ) mm = mm

55 Odległość Księżyca od Ziemi wynosi około km: km = km = mm = = mm Porównajmy otrzymane wyniki: grubość bibułki odległość Księżyca od Ziemi Wynika stąd, że grubość bibułki byłaby ponad 25 razy większa niż odległość z Ziemi do Księżyca. = 25 =

56

57 System liczbowy – to zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisywania liczb używa się skończonego zbioru znaków, zwanych cyframi, które można łączyć w dowolnie długie ciągi, otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.

58 Addytywne systemy liczbowe, to systemy w których liczby tworzy się przez dodawanie kolejnych symboli i stąd ich nazwa. System addytywny dziesiątkowy to: system egipski, rzymski system zapisywania liczb.

59 Zaletą systemów addytywnych jest możliwość zapisu nawet dużych liczb (pod warunkiem, że są okrągłe) za pomocą jednego znaku, a wadą złożoność, kłopoty interpretacyjne i zbyt wielka liczba cyfr przy mało okrągłych liczbach, oraz bardzo skomplikowany sposób dokonywania za ich pomocą prostych operacji arytmetycznych, wymagający zapamiętywania długich tabel.

60 Pozycyjne systemy liczbowe to systemy, które posiadają symbole (cyfry) tylko dla kilku najmniejszych liczb naturalnych: 0, 1, 2,..., g 1, gdzie g to tzw. podstawa systemu, która może być dowolną liczbą naturalną większą niż 1. Cyfry te są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i są mnożone przez odpowiednią potęgę g.

61 W sytuacji, gdy dana potęga nie jest potrzebna do zapisu danej liczby, zostawia się w zapisie puste miejsce, lub częściej specjalny symbol. Współcześnie jest to cyfra 0. Zaletą systemów pozycyjnych jest ich klarowność, łatwość dokonywania nawet złożonych operacji arytmetycznych oraz możliwość zapisu dowolnie dużej liczby, jednak do zapisu bardzo dużych liczb (nawet okrągłych) jest potrzebna duża liczba cyfr.

62 Pierwotny rzymski system zapisywania liczb był prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali bowiem liczby za pomocą tylko pionowych kresek, na kształt systemu karbowego, który wyewoluował. System rzymski zapisywania liczb jest systemem addytywnym, czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 90, 400 i 900, do opisu których używa się odejmowania.

63 W systemie rzymskim posługujemy się znakami: I, V, X, L, C, D, M, gdzie: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

64 Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków, pamiętając przy tym o zasadach: 1. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M. 2. Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D. 3. Nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejszej bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą. 4. Znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C.

65 VI = = 6IV = 5 – 1 = 4 LX = = 60XL = 50 – 10 = – XIIXCV – XXIXCDLII – DCCLVICMX – MCCLMCV – MCMXCIXMDCL

66 Egipski system zapisywania liczb opierał się na liczbie 10 jako na podstawie, lecz nie był to system pozycyjny. Do oznaczania kolejnych potęg liczby 10 istniały specjalne znaki - hieroglify. Znak dla jedynki przedstawiał tyczkę do mierzenia, zapisywano zaś go jako pionową kreskę. Kreskami takimi oznaczano liczby od 1 do 9. Znak dla 10 przypominał podkowę. Znak dla 100 przedstawiał zwinięty liść palmy, zwiniętą linię do mierzenia albo - jak niektórzy twierdzą - laskę kapłańską. Znak dla 1000 przedstawiał kwiat lotosu, symbol Nilu.

67 Zapisując liczbę za pomocą tych znaków, powtarzano je odpowiednią ilość razy. Dodawanie w tym systemie polegało na liczeniu poszczególnych znaków. Pełne dziesiątki jednakowych znaków zastępowało się znakiem wyższego rzędu.

68 Przykłady:

69

70 Babilońskich znaków używano w Mezopotamii około 5000 lat temu. Zachowały się do naszych czasów na glinianych tabliczkach. Wśród tych tablic uczeni znaleźli sporo tablic, na których wypisana jest cała wiedza matematyczna Babilonii. Babilończycy pisali pismem klinowym. Liter klinowych było dużo, ale znaków cyfrowych było niewiele. System babiloński może wydawać się skomplikowany, jednak w rzeczywistości Babilończycy potrzebowali tylko dwóch symboli - dla oznaczenia jedności i dziesiątek. Ich cyfry były zbudowane właśnie z tych dwóch znaków.

71 Babilończycy jako pierwsi stosowali pozycyjny system liczenia. W systemie pozycyjnym wartość zapisana za pomocą cyfry zależy od miejsca zajmowanego w zapisie liczby. Podstawą babilońskiego systemu pozycyjnego była liczba 60. Do zapisu liczby Babilończycy używali 59 znaków, jeśli zachodziła potrzeba wykorzystania zera – pozostawiali w zapisie puste miejsce.

72

73 Przykłady liczb zapisanych w za pomocą cyfr babilońskich

74 Starożytni Majowie jako pierwsi na Ziemi odkryli dwie fundamentalne dla matematyki idee - system pozycyjny oraz koncepcję zera. Wynalezienie systemu pozycyjnego przypisuje się kulturze hinduskiej, lecz z badań historycznych wynika jasno, iż Majowie znali i stosowali system pozycyjny przynajmniej 300 lat wcześniej niż Hindusi. Podstawą systemu liczbowego Majów była liczba 20. Dlaczego? Otóż w ciepłym klimacie Ameryki Majowie nie mieli potrzeby noszenia obuwia. Każdy człowiek posiada dwadzieścia palców - dziesięć u rąk i dziesięć u nóg. Prawdopodobnie ta własność naszego ciała wpłynęła na wybór podstawy systemu liczenia.

75 U Majów podstawą systemu zapisu liczb mniejszych od 360 była liczba 20. Do zapisu wszystkich dwudziestu cyfr używali tylko 3 znaków: kropka oznaczała jednostkę, pozioma kreseczka oznaczała 5, a znak zera symbolizowała pusta miska.

76 Liczby w tym systemie podaje się, mnożąc cyfry przez kolejne potęgi 20, a następnie wyznacza się iloczyny częściowe. Majowie pisali cyfry od góry do dołu

77 Pozycyjny, dziesiątkowy system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach. Oryginalnie pochodzi on z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów. Od XVI wieku stosowano go obok systemu rzymskiego, w nauce, księgowości oraz tworzącej się właśnie bankowości, gdyż system ten znacznie upraszcza operacje arytmetyczne.

78 Mamy dziesięć znaków (cyfr) do zapisywania liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Wartość cyfry zależy od miejsca, czyli pozycji zajmowanej liczby. Podstawą systemu jest liczba 10. Wartość liczby jest sumą iloczynów cyfr przez kolejne potęgi liczby 10.

79 Przykład: = = = =

80 Dwójkowy system numeracji – jest najprostszym układem, zwany też systemem binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2, wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa.

81 Przykład: Liczbę zapisaną w systemie dziesiątkowym zapisz w systemie dwójkowym: = = = = = = = = = =

82 Przykład: Liczbę zapisaną w systemie dwójkowym zapisz w systemie dziesiątkowym: (101011) 2 = 1·2 5 +0·2 4 +1·2 3 +0· ·2 0 = = = = (1111) 2 = = =15 10

83 Zastosowanie: Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też w informatyce.

84 System szesnastkowy to system różny od tego, którego używamy na co dzień. Różni się o tyle, że bazuje na liczbie 16, a więc potrzebuje 16 znaków za pomocą, których można zapisać dowolną liczbę. Szesnastkowy system liczbowy jest właściwy komputerom, ponieważ pozwala na zapis większych liczb w mniejszych przestrzeniach pamięci. W systemie szesnastkowym wyróżniamy 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

85 Przykład: Liczbę zapisaną w systemie dziesiątkowym przestaw w systemie szesnastkowym: = 13·16+4 = D·16+4 = D· ·16 0 = = D· ·16 = D = = 1· · ·16 0 = =

86 Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy system liczbowy. Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych.

87 W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś. Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.

88 Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często najszybszy dostęp jest do adresów parzystych, albo podzielnych przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp.

89 System szesnastkowy często spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie stosowany jest do zapisu kolorów.

90

91 Od dawien dawna istniały trudności z nazywaniem dużych liczb. W Grecji największą liczbą mającą własną nazwę była miriada, oznaczająca dziesięć tysięcy (10 4 ). Dopiero Archimedes stworzył specjalny system oznaczania liczb większych od miriady. Liczby podzielił na okresy i rzędy. Do liczb pierwszego rzędu pierwszego okresu zaliczył liczby aż do miriady miriad (według dzisiejszego zapisu 10 8 ). Największą z rozważanych przez Archimedesa liczb była !

92 Wielkimi liczbami posługiwał się już Archimedes (287 p.n.e. – 212 p.n.e.). Oprócz znanej Grekom liczby miriada (10 000) wprowadził liczbę miriada miriad. W swoim dziele Rachmistrz piasku szacował, ile ziaren piasku jest na plaży. Obliczał także, ile ziaren piasku wypełniłoby wszechświat. Wynik, jaki otrzymał Archimedes, dzisiaj zapisalibyśmy jako

93 Największa liczba zapisana za pomocą trzech cyfr to Zapisanie jej w systemie dziesiątkowym zapełniłoby 33 książki po 800 stron i cyfr na stronie.

94 POTĘGI Gdy podstawy równe wszędzie Wykładniki miej na względzie. Przy mnożeniu - dodajemy, Przy dzieleniu - odejmiemy, Do potęgi - pomnożymy I wynikiem się cieszymy. Gdy są równe wykładniki Też jest łatwo o wyniki. Mnożąc potęgi - podstawy mnożymy, Gdy chcemy podzielić - podstawy dzielimy

95

96 1.Matematyka Podręcznik dla klasy 2 gimnazjum., A. Bazyluk, A. Dubiecka, B. Dubiecka-Kruk, Z. Góralewicz, T. Malicki, P. Piskorski, H. Sienkiewicz, A. Ziemińczuk 2.Matematyka Podręcznik dla klasy 3 gimnazjum., A. Dubiecka, B. Dubiecka-Kruk, Z. Góralewicz, T. Malicki, P. Piskorski, W. ZawadowskiA. Ziemińczuk 3.MATEMATYKA KROK PO KROKU. Podręcznik dla klasy pierwszej gimnazjum., J. M. Jędrzejewski, K. Gałązka, E. Lesiak, Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONIA Sp. z o.o., Łódź, 1999, 4.Matematyka 2. Podręcznik dla gimnazjum., A. Urbańczyk, W. Urbańczyk, Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON, Gdynia, 2007, 5.Matematyka 2. Podręcznik dla klasy drugiej gimnazjum., Praca zbiorowa pod redakcją M. Dobrowolskiej, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk, 2001, 6.http://www.matma.net.pl/potegi.php, 7.http://www.wckp.lodz.pl/leonardo/elektro/techcyfr/dziesiatkowy.html, 8.http://www.math.edu.pl, 9.http://edu.i-lo.tarnow.pl/inf/prg/005_pmc1/0003.php#babilonski, 10.http://www.megamatma.pl/uczniowie/gimnazjum/potegi/porownywanie-poteg, 11.http://edudu.pl/sciaga-porownywanie-poteg, 12.http://pl.wikipedia.org 13.http://www.gimn4.bedzin.pl/gimn4/strony/bogusia/liczby.html#ol

97

98 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA


Pobierz ppt "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."

Podobne prezentacje


Reklamy Google