Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Przybliżone metody rozwiązywania układów równań nieliniowych – metody.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Przybliżone metody rozwiązywania układów równań nieliniowych – metody."— Zapis prezentacji:

1 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Przybliżone metody rozwiązywania układów równań nieliniowych – metody iteracyjne Metoda Newtona Zmodyfikowana metoda Newtona Metoda siecznych Zakładamy a priori istnienie rozwiązania α układu równań.

2 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metody rozwiązywania układów równań nieliniowych – metoda Newtona Układ n równań nieliniowych zawierający n niewiadomych: Funkcje f j należy rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu punktu x k z dokładnością do pierwszych pochodnych. Uzyskano układ n równań liniowych. Znane jest k-te przybliżenie wektora x

3 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metody rozwiązywania układów równań nieliniowych – metoda Newtona Uzyskano układ n równań liniowych. Z wektorem zmiennych postaci:

4 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Zapis macierzowy układu równań Wartości kolejnych pochodnych dotyczą : W(x)- macierz Jacobiego dla k=0,1,... Gdzie jest wektorem niewiadomych i

5 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Układ nieliniowych równań algebraicznych dla k=0,1,2,...., oraz dla i=1,2,...,n Metoda Newtona jest zbieżna, jeżeli przybliżenie x 0 jest dostatecznie bliskie rozwiązaniu układu równań. Przykład 1 Dany jest układ równań nieliniowych – znaleźć rozwiązania układu dla czterech przybliżeń początkowych:I [1.3,1.2,0.8]; II [10,20,-10];III [-10, -20, 10]; IV [1000,1000,2000]

6 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Modyfikacje metody Newtona – dla dużej liczby niewiadomych n dla k=0,1,2,...., oraz Obliczenia iteracyjne dla k=0,1,2... Jednokrotne obliczenie macierzy Jacobiego dla zerowego przybliżenia rozwiązania

7 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Nad-kreślony układ równań nieliniowych dla m n Norma Pseudo-rozwiązaniem nad-określonego układu (1) nazywamy takie, dla którego norma (2) osiąga minimum Np.: Jeśli funkcje są różniczkowalne w sposób ciągły: metody minimalizacji gradientowe Jeśli funkcje są nieregularne i nie mają wszędzie ciągłych pochodnych: metody minimalizacji bez-gradientowe z oszczędniejszą normą wektora f(x) tzw. Norma maksimum:

8 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metody rozwiązywania układów równań nieliniowych – metoda gradientowa – metoda najszybszego spadku NS Jeśli m=n to każde rozwiązanie układu równań nieliniowych jest zerem funkcji U(x) i na odwrót. Wektor x, dla którego U(x)=0 jest pierwiastkiem równania (1). d k- k-ty kierunek poprawy, - współczynnik kroku Współczynnik kroku jest tak dobrany aby: jeżeli to

9 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metoda najszybszego spadku NS jest to metoda gradientowa, która pozwala szukać minimum różniczkowalnej funkcji nieliniowej f(x). Koncepcja metody wynika z lematu, w którym wykazano, że jeśli istnieje I kierunek d w przestrzeni taki, że to Szczegółowo lemat zostanie przedstawiony w ramach wykładu nr 10. oraz

10 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Algorytm obliczeń – metoda NS (1)Wybierz punkt startowy x o =x k. Oblicz wartość funkcji f(x k ) oraz jej gradient f(x k ) (2) Zbadaj kryterium zbieżności: Jeśli tak, to koniec, jeśli nie, to przejdź do (3)

11 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic (3) Wyznacz kierunek poszukiwań : (4) Wykonaj minimalizację kierunkową wybraną metodą: (5) Podstaw

12 Do minimalizacji w kierunku można użyć kilku algorytmów takich jak np.: Algorytmy bez-gradientowe: złotego podziału, aproksymacji kwadratowej, Algorytmy gradientowe: ekspansji i kontrakcji geometrycznej z testem jednoskośnym, logarytmiczny złoty podział odcinka ze wstępną ekspansją i kontrakcją geometryczną, aproksymacji parabolicznej z testem jednoskośnym, bisekcji z testem dwuskośnym Goldsteina,

13 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Algorytm bisekcji z testem dwuskośnym Golsteina – algorytm gradientowy Praktycznie do wyszukania punktów spełniających test dwuskośny Goldsteina stosuje się następujący algorytm bisekcji: (1)Oblicz pochodną w kierunku oraz współczynnik kroku (2) Wyznacz (3) Jeśli to podstaw i przejdź do kroku (2), w przeciwnym razie przejdź do kroku (4) (4) Jeśli to podstaw i przejdź do kroku (2), w przeciwnym przypadku koniec.

14 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic f(x 1, x 2 ) = (x 1 ) 2 + 2(x 2 ) 2 – 6x 1 + x 1 x 2 punkt początkowy x 0 = (0, 0) kierunek d = (1, 0) współczynnik testu = początkowa wartość współczynnika kroku R = 9 dokładność dla testu Działanie algorytmu bisekcji z testem dwuskośnym Goldstein'a dla funkcji:

15 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Pochodna w kierunku zatem mamy: dla x = x 0 = (0, 0) Otrzymano wartość pochodnej p:

16 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic (2) Obliczamy Przechodzimy do kroku (3)

17 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic (3) Jeżeli to podstaw i przejdź do kroku (2). W przeciwnym wypadku przejdź do kroku (4) sprawdzamy: -6,75 < ? NIE Przechodzimy do kroku (4)

18 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic (4) Jeżeli to podstaw i przejdź do kroku (2). W przeciwnym wypadku KONIEC sprawdzamy: -6,75 > ? TAK i przechodzimy do kroku (2) DRUGA ITERACJA (...) Po trzeciej iteracji otrzymujemy wynik

19 Działanie algorytmu najszybszego spadku dla funkcji: f(x 1, x 2 ) = 2(x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 – 2 x 1 x 2 punkt początkowy x 0 = (2, 3) współczynnik testu = początkowa wartość współczynnika kroku R = 1

20 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Obliczamy Ponieważ pierwsza stosowana wartość współczynnika kroku R = 1 spełnia test dwuskośny Goldsteina, więc: x 1 = x d 0 = [0 1] T W drugiej iteracji mamy: Otrzymujemy:

21 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Zatem test dwuskośny ma postać Za pomocą algorytmu bisekcji (test dwuskośny Goldsteina) w trzeciej próbie znajdujemy wartość współczynnika 1 = 0,25 Stąd x = x d 1 = [ ] T Postępując zgodnie z algorytmem otrzymujemy kolejne wartości punktów optymalizowanej funkcji.

22 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Kolejno podane są punkty wyznaczone za pomocą algorytmu najszybszego spadku dla funkcji: f(x 1, x 2 ) = 2(x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 – 2 x 1 x 2 x 0 = [2 3] x 1 = [0 1] x 2 = [ ] x 3 = [ ] x 4 = [ ] itd.... I tak kolejno, aż do momentu gdy zostanie spełniony warunek TAK OTRZYMUJEMY PUNKT MIN (0,0)

23 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Funkcja celu f(x)

24 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic x4x4 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x^x^ x5x5 Kolejne iteracje metody najszybszego spadku NS


Pobierz ppt "Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Przybliżone metody rozwiązywania układów równań nieliniowych – metody."

Podobne prezentacje


Reklamy Google