Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Technika planowania eksperymentu Robert Ręgowski gr. R57 Prezentacja wygłoszona dnia 17.12.2002 na seminarium.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Technika planowania eksperymentu Robert Ręgowski gr. R57 Prezentacja wygłoszona dnia 17.12.2002 na seminarium."— Zapis prezentacji:

1 Technika planowania eksperymentu Robert Ręgowski gr. R57 Prezentacja wygłoszona dnia na seminarium dyplomowym specjalności robotyka wydziału Mechatroniki Politechniki Warszawskiej Prezentacja wygłoszona dnia na seminarium dyplomowym specjalności robotyka wydziału Mechatroniki Politechniki Warszawskiej

2 2 Wstęp Współczesne badania z jakimi spotykamy się w nauce wymagają niekiedy dużych nakładów środków – kosztów, czasu, energii. Technika planowania eksperymentu, powstała na gruncie statystyki matematycznej, próbuje dać odpowiedź na pytanie: jak przeprowadzić doświadczenie, aby przy minimalnych nakładach uzyskać jak najbardziej miarodajne wyniki.

3 3 Podstawowe zagadnienia planowania eksperymentów Pojęcie eksperymentu Przebieg eksperymentu Potrzeba stosowania sformalizowanych planów Rodzaje planów Porównanie metod – tradycyjnej i współczesnej

4 4 Eksperyment Jako eksperyment uznajemy serię doświadczeń, umożliwiającą utworzenie opisu matematycznego (modelu) bądź poprawienie działania dotychczasowego obiektu. Inaczej mówiąc: eksperyment ma umożliwić identyfikację lub optymalizację rozważanego obiektu. Ponadto jakość identyfikacji lub optymalizacji zależeć może w dużym stopniu od doboru doświadczeń.

5 5 Przebieg eksperymentu Poszukujemy związków i zależności między zmienną wyjściową Y a zbiorem zmiennych wejściowych X=[X 1, X 2,...X n ] Przeprowadzamy doświadczenia w których zadajemy konkretne wartości zmiennych niezależnych Wyznaczamy wartości zmiennych wyjściowych Analizujemy statystycznie wyniki doświadczeń celem uzyskania zależności Y=f(X 1, X 2,...X n ) Analiza wariancji lub kowariancji Analiza regresji

6 6 Regresja a korelacja Znajomość regresji umożliwia przewidywanie przeciętnego zachowania się obiektu Korelacja (kowariancja) daje nam możliwość określenia natężenia wzajemnej zależności zmiennych X i Y Przy analizie regresji x, realizacja zmiennej X jest ustalana i przyjmuje się ze nie zawiera błędów. Mierzymy y – uzyskaną realizację zmiennej Y W przypadku badania korelacji, zarówno X i Y zawierają błędy obserwacji

7 7 Potrzeba planowania eksperymentu Szukamy odpowiedzi na pytanie: jakie mamy przyjąć wartości zmiennych wejściowych aby przeprowadzić doświadczenie z najmniejszym nakładem środków. Plany stanowią zespół wytycznych, co do wyboru wartości wejść w zależności od tego jakie informacje o obiekcie nas interesują

8 8 Poziomy planu Wartości wielkości wejściowych nazywamy poziomami czynników Zakładamy, że liczba poziomów czynników w planie jest jednakowa i nazywamy ją liczbą poziomów planu

9 9 Podstawowe rodzaje planów eksperymentów Plany dwupoziomowe Kompletne Ułamkowe (frakcyjne) Plany wielopoziomowe Kompozycyjne Ortogonalne Trój- i wielo- poziomowe Kompletne Ułamkowe Plany symplektyczne (dla mieszanin)

10 10 Plany dwupoziomowe Plan eksperymentu dwupoziomowego zakłada przyjmowanie wartości wejść na dwóch poziomach. np. dla zmiennej X i przyjmujemy dwa poziomy: mniejszy – x (min)i większy – x (max)i Plany dwupoziomowe są najprostsze w realizacji i niekiedy nazywa się je planami eliminacyjnymi.

11 11 Standaryzacja zmiennych Jeśli zmienna X i przyjmuje dwie wartości x (min)i i x (max)i, przeprowadzamy normowanie do poziomów –1, +1, stosując zależność kodującą: W ten sposób, bez względu na charakter zmiennych wejściowych, eksperyment możemy zapisać w postaci takiego samego planu

12 12 Plan kompletny dwuwartościowy 2 p Plan kompletny polega na wyczerpaniu wszystkich możliwych skojarzeń zmiennych wejściowych. np. Dla dwóch zmiennych (p=2), z kodowaniem ±1 ma on postać: Liczba doświadczeń realizujących plan kompletny dwupoziomowy: 2 2 =4 Nr

13 13 Punkty planu kompletnego w przestrzeni zakodowanych zmiennych niezależnych Plan kompletny dla 2 zmiennych

14 14 Macierze wejść Postać zakodowana Postać normalna 1 kolumna: x 0 formalna zmienna o wartościach 1 2 kolumna: wartości zmiennej x 1 3 kolumna: wartości zmiennej x 2 4 kolumna:człon interakcyjny, lub dodatkowa zmienna X 3 Środkowe kolumny stanowią plan eksperymentu.

15 15 W wyniku przeprowadzonego doświadczenia otrzymujemy wektor wyjść: Y=[y 1,y 2,y 3,y 4 ]; Szukamy wektora współczynników regresji liniowej (metoda najmniejszej sumy kwadratów): b=(xx) -1 xy Otrzymujemy wektor: Wynik eksperymentu dwupoziomowego ma zatem postać funkcji:

16 16 Plan kompletny dwupoziomowy dla 3 zmiennych Nr Plan 2 3

17 17 Metoda Boxa – Wilsona Służy do planowania eksperymentów polegających na szukaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych. Dwa etapy: Niewielka seria doświadczeń dla znalezienia lokalnego opisu matematycznego; Większa seria doświadczeń w pobliżu obszaru najbardziej interesującego

18 18 Przykład – planowanie dwupoziomowe Rozważmy obiekt opisany charakterystyką nieliniową: y=f(x 1,x 2,x 3 ). Szukamy maksimum wyjścia obiektu w obszarze o ograniczeniach: 0x 1100; 0x 2500; 0x 3100; Rozwiązanie: Startujemy z punktu: x 1 0 =30; x 2 0 =250; x 3 0 =50 W otoczeniu tego punktu szukamy opisu liniowego o postaci y=b 0 +b 1 x 1 + b 2 x 2 +b 3 x 3 Przyjmujemy kroki próbne: x 1 =3; x 2 =20; x 3 =2; Przeprowadzamy eksperyment otrzymując macierz wyjść y

19 19Standaryzacja Obliczamy: Podstawiamy do powyższych wzorów wartości poziomów próbnych: x n : x n 0 - x n ; x n 0 + x n Otrzymamy: : -1; +1

20 20 Macierze wejść i macierz wyjść Postać zakodowana Postać normalna Macierz wyjść

21 21 Szukana funkcja Postać funkcji nieliniowej

22 22 Wyznaczanie współczynników Współczynników : szukamy na podstawie wzoru: Obliczamy : det =4096 ( ) -1 =1/8 I Zatem:

23 23 Poszukiwany model w postaci funkcji regresji:

24 24 Szukanie maksimum Aby znaleźć maksimum przeprowadzamy kolejne doświadczenia: Przyjmujemy kroki robocze R x n proporcjonalne do współczynników i x n według wzoru: krok roboczy: x 1 =+10 x 2 =+200 x 3 =+5 Dla x 2 napotykamy Ograniczenia, wstawiamy więc do tabeli 0 Osiągnięte maksimum lokalne: y=455,0 Nrx1x1 x2x2 x3x3 y , , , ,0

25 25 Maksimum globalne W dalszych doświadczeniach szukamy maksimum globalnego: Dla x 1 =100, x 2 =0, x 2 =0 (oba ograniczenia przekroczone) mamy: max(y)=800

26 26 Eksperyment ułamkowy 2 p-k W przypadku 3 zmiennych, w kompletnym dwupoziomowym eksperymencie przeprowadzamy 2 3 =8 doświadczeń; Dla 30 zmiennych: 2 30 = dośw. które, jeśli trwały by 1 s. wymagały by 34 lat; Dla dużej liczby zmiennych tworzymy plany połówkowe (2 p-1 ), ćwiartkowe (2 p-2 ), ósemkowe (2 p-3 ) itp. Liczba k nie może przekroczyć wartości przy której liczba równań nie pozwala na uzyskanie założonego modelu regresji

27 27 Tworzenie planu frakcyjnego Model o postaci: Przyjmujemy, że jedna ze zmiennych unormowanych równa jest współdziałaniu pierwszego rzędu pozostałych zmiennych: Relację taką nazywamy funkcją generującą: Model przyjmuje postać:

28 28 Tabele planów Plan dla Nr. 1– 1 –1 – – 1 –1 – –1 – – 1 +1 – – – 1 5–1 – – –1 +1 7– –

29 29 Plany dla

30 30 Równania 2, 3, 5, 8 spełniają założenie: Równania 1, 4, 6, 7 spełniają założenie: Dla funkcji gen.:mamy spełnione: Biorąc pod uwagę funkcję generującą i powyższe równania, poszukiwana funkcja przyjmie postać:

31 31 Struktura uwikłania interakcji Na podstawie powyższych zależności możemy stwierdzić że równanie: jest prawidłowym modelem pod warunkiem, że człony interakcyjne są pomijalne w porównaniu z oddziaływaniami głównymi.

32 32 Plany wielopoziomowe Użycie dwóch poziomów zmiennych wejściowych nie daje możliwości analizy zależności nieliniowych Testowanie zależności i interakcji kwadratowych wymaga co najmniej trzech poziomów planu

33 33 Centralne plany kompozycyjne Umożliwiają wyznaczenie równania regresji postaci: Wyróżniamy: Plany ortogonalne; Plany rotalne (rotatabilne); Plany kompletne trójpoziomowe 3 p ; Plany kompletne frakcyjne 3 p-k ;

34 34 Plany ortogonalne Dają możliwość aproksymacji wielomianu drugiego stopnia Plan nazywać będziemy ortogonalnym, jeżeli w każdej kolumnie macierzy planu suma iloczynu poszczególnych elementów kolumny będzie równa 0. Jeśli kolumny macierzy planu są ortogonalne, to wówczas macierz jest macierzą diagonalną W przypadku pełnej ortogonalności poziomy czynników i członów interakcyjnych nie są skorelowane.

35 35 Celem zapewnienia jak największej ortogonalności planu typu 2 p lub 2 p-k stosuje się rozszerzenie o dwa dodatkowe poziomy + ort – ort – tzw. punkty gwiezdne Pozostałe zmienne dla tych poziomów równają się 0 Wartość ort nazywamy odległością osiową i wyznaczamy z zależności: Gdzie: n s – liczba punktów wierzchołkowych jądra planu; n s – liczba punktów gwiezdnych; n o - liczba punktów centalnych;

36 36 Plan ortogonalny Nr.Nazwa grupy 1–1 2 punkty kubiczne 2+1– ort 0 Punkty gwiezdne 6 ort Punkty centralne

37 37 Plany rotalne Plany ortogonalne maja wadę: dokładność aproksymacji zależy w nich od przyjętych wartości zmiennych niezależnych Wady tej nie mają plany rotalne w których punkty wartości zmiennych wejściowych są umieszczone na powierzchni wielowymiaro- wej sfery o środku w początku układu współrzędnych, czyli: gdzie – promień Wariancja zmiennej zależnej pozostaje stała bez względu na wartości zmiennych niezależnych

38 38 Do warunku rotalności prowadzi rozszerzenie planu typu 2 p lub 2 p-k ( jądra planu) o punkty gwiezdne + rot – rot Odległość osiowa rot wyznaczana jest z zależności:

39 39 Plany optymalne Procedury planów optymalnych polega na wy- borze z listy możliwych punktów planu (kan- dydatów), takich punktów które zagwarantują uzyskanie maksimum informacji Ogólne kryterium: minimalizacja korelacji zmiennych wejściowych;

40 40 Plany A–optymalne Najmniejsza korelacja między zmiennymi niezależnymi wystąpi, gdy wybierzemy taki plan, by na przekątnej macierzy były możliwie największe wartości w stosunku do elementów poza przekątną Warunek A–optymalności: tr(.) – suma elementów na przekątnej macierzy (ślad macierzy)

41 41 Plany D–optymalne Najmniejsza korelacja między zmiennymi niezależnymi wystąpi, gdy wybierzemy taki plan, by wyznacznik macierzy miał możliwie największą wartość Warunek D–optymalności: Kryterium D–optymalności skraca czas obliczeń w stosunku do A–optymalności

42 42 Porównanie planów tradycyjnego (XIX w.) i współczesnego Rozpatrujemy prosty obiekt liniowy o 7 wejściach i wyjściu opisanym zależnością: n=1,2,... – numery obserwacji.... x n1 x n2 x n7 enen ynyn

43 43 Zakłócenia e n mają rozkład normalny Model obiektu: Przyjmujemy, że pomiary mogą być dokonywane w obszarze ograniczonym: -1x k+1k=1,2,...,7... x n1 x n2 x n7

44 44 Plan najbardziej tradycyjny: Układ równań: nx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 y y1y y2y y3y y4y y5y y6y y7y y8y8 Współczynniki modelu: Wariancje współczynników

45 45 Plan unowocześniony: Układ równań: nx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 y 1–1 y1y y2y y3y y4y y5y y6y y7y y8y8 Współczynniki modelu: Wariancje współczynników:

46 46 Plan współczesny: Dla zmiennych x 1,x 2,x 3, przyjęto plan dwupoziomowy 2 3, a dla dalszych zmiennych przyjęto: nx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 y 1–1 y1y1 2+1–1 +1 –1y2y2 3 +1–1+1 –1+1y3y3 4 –1 +1 y4y4 5–1 +1 –1+1 y5y5 6 –1+1–1+1–1+1y6y6 7–1+1 –1+1 –1y7y7 8+1 –1 y8y8 Współczynniki modelu: Wariancje współczynników :

47 47 Literatura Dobosz Marek.: Wspomagana komputerowo statystyczna analiza wyników badań. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT Warszawa 2001 Mańczak Kazimierz.: Technika planowania eksperymentu. WNT Warszawa 1976

48 Dziękuję za uwagę


Pobierz ppt "Technika planowania eksperymentu Robert Ręgowski gr. R57 Prezentacja wygłoszona dnia 17.12.2002 na seminarium."

Podobne prezentacje


Reklamy Google