Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Technika planowania eksperymentu Robert Ręgowski gr. R57 Prezentacja wygłoszona dnia 17.12.2002 na seminarium.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Technika planowania eksperymentu Robert Ręgowski gr. R57 Prezentacja wygłoszona dnia 17.12.2002 na seminarium."— Zapis prezentacji:

1 Technika planowania eksperymentu Robert Ręgowski gr. R57 http://Robert.Regowski.Tripod.com r.r@wp.pl: Prezentacja wygłoszona dnia 17.12.2002 na seminarium dyplomowym specjalności robotyka wydziału Mechatroniki Politechniki Warszawskiej r.r@wp.pl: Prezentacja wygłoszona dnia 17.12.2002 na seminarium dyplomowym specjalności robotyka wydziału Mechatroniki Politechniki Warszawskiej

2 2 Wstęp Współczesne badania z jakimi spotykamy się w nauce wymagają niekiedy dużych nakładów środków – kosztów, czasu, energii. Technika planowania eksperymentu, powstała na gruncie statystyki matematycznej, próbuje dać odpowiedź na pytanie: jak przeprowadzić doświadczenie, aby przy minimalnych nakładach uzyskać jak najbardziej miarodajne wyniki.

3 3 Podstawowe zagadnienia planowania eksperymentów Pojęcie eksperymentu Przebieg eksperymentu Potrzeba stosowania sformalizowanych planów Rodzaje planów Porównanie metod – tradycyjnej i współczesnej

4 4 Eksperyment Jako eksperyment uznajemy serię doświadczeń, umożliwiającą utworzenie opisu matematycznego (modelu) bądź poprawienie działania dotychczasowego obiektu. Inaczej mówiąc: eksperyment ma umożliwić identyfikację lub optymalizację rozważanego obiektu. Ponadto jakość identyfikacji lub optymalizacji zależeć może w dużym stopniu od doboru doświadczeń.

5 5 Przebieg eksperymentu Poszukujemy związków i zależności między zmienną wyjściową Y a zbiorem zmiennych wejściowych X=[X 1, X 2,...X n ] Przeprowadzamy doświadczenia w których zadajemy konkretne wartości zmiennych niezależnych Wyznaczamy wartości zmiennych wyjściowych Analizujemy statystycznie wyniki doświadczeń celem uzyskania zależności Y=f(X 1, X 2,...X n ) Analiza wariancji lub kowariancji Analiza regresji

6 6 Regresja a korelacja Znajomość regresji umożliwia przewidywanie przeciętnego zachowania się obiektu Korelacja (kowariancja) daje nam możliwość określenia natężenia wzajemnej zależności zmiennych X i Y Przy analizie regresji x, realizacja zmiennej X jest ustalana i przyjmuje się ze nie zawiera błędów. Mierzymy y – uzyskaną realizację zmiennej Y W przypadku badania korelacji, zarówno X i Y zawierają błędy obserwacji

7 7 Potrzeba planowania eksperymentu Szukamy odpowiedzi na pytanie: jakie mamy przyjąć wartości zmiennych wejściowych aby przeprowadzić doświadczenie z najmniejszym nakładem środków. Plany stanowią zespół wytycznych, co do wyboru wartości wejść w zależności od tego jakie informacje o obiekcie nas interesują

8 8 Poziomy planu Wartości wielkości wejściowych nazywamy poziomami czynników Zakładamy, że liczba poziomów czynników w planie jest jednakowa i nazywamy ją liczbą poziomów planu

9 9 Podstawowe rodzaje planów eksperymentów Plany dwupoziomowe Kompletne Ułamkowe (frakcyjne) Plany wielopoziomowe Kompozycyjne Ortogonalne Trój- i wielo- poziomowe Kompletne Ułamkowe Plany symplektyczne (dla mieszanin)

10 10 Plany dwupoziomowe Plan eksperymentu dwupoziomowego zakłada przyjmowanie wartości wejść na dwóch poziomach. np. dla zmiennej X i przyjmujemy dwa poziomy: mniejszy – x (min)i większy – x (max)i Plany dwupoziomowe są najprostsze w realizacji i niekiedy nazywa się je planami eliminacyjnymi.

11 11 Standaryzacja zmiennych Jeśli zmienna X i przyjmuje dwie wartości x (min)i i x (max)i, przeprowadzamy normowanie do poziomów –1, +1, stosując zależność kodującą: W ten sposób, bez względu na charakter zmiennych wejściowych, eksperyment możemy zapisać w postaci takiego samego planu

12 12 Plan kompletny dwuwartościowy 2 p Plan kompletny polega na wyczerpaniu wszystkich możliwych skojarzeń zmiennych wejściowych. np. Dla dwóch zmiennych (p=2), z kodowaniem ±1 ma on postać: Liczba doświadczeń realizujących plan kompletny dwupoziomowy: 2 2 =4 Nr. 12341234 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1

13 13 Punkty planu kompletnego w przestrzeni zakodowanych zmiennych niezależnych Plan kompletny dla 2 zmiennych 1 1 1 2 34

14 14 Macierze wejść Postać zakodowana Postać normalna 1 kolumna: x 0 formalna zmienna o wartościach 1 2 kolumna: wartości zmiennej x 1 3 kolumna: wartości zmiennej x 2 4 kolumna:człon interakcyjny, lub dodatkowa zmienna X 3 Środkowe kolumny stanowią plan eksperymentu.

15 15 W wyniku przeprowadzonego doświadczenia otrzymujemy wektor wyjść: Y=[y 1,y 2,y 3,y 4 ]; Szukamy wektora współczynników regresji liniowej (metoda najmniejszej sumy kwadratów): b=(xx) -1 xy Otrzymujemy wektor: Wynik eksperymentu dwupoziomowego ma zatem postać funkcji:

16 16 Plan kompletny dwupoziomowy dla 3 zmiennych 1 1 1 3 7 5 1 4 2 8 6 Nr 1 2+1 3 +1 4+1 5 +1 6 +1 7+1 8 Plan 2 3

17 17 Metoda Boxa – Wilsona Służy do planowania eksperymentów polegających na szukaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych. Dwa etapy: Niewielka seria doświadczeń dla znalezienia lokalnego opisu matematycznego; Większa seria doświadczeń w pobliżu obszaru najbardziej interesującego

18 18 Przykład – planowanie dwupoziomowe Rozważmy obiekt opisany charakterystyką nieliniową: y=f(x 1,x 2,x 3 ). Szukamy maksimum wyjścia obiektu w obszarze o ograniczeniach: 0x 1100; 0x 2500; 0x 3100; Rozwiązanie: Startujemy z punktu: x 1 0 =30; x 2 0 =250; x 3 0 =50 W otoczeniu tego punktu szukamy opisu liniowego o postaci y=b 0 +b 1 x 1 + b 2 x 2 +b 3 x 3 Przyjmujemy kroki próbne: x 1 =3; x 2 =20; x 3 =2; Przeprowadzamy eksperyment otrzymując macierz wyjść y

19 19Standaryzacja Obliczamy: Podstawiamy do powyższych wzorów wartości poziomów próbnych: x n : x n 0 - x n ; x n 0 + x n Otrzymamy: : -1; +1

20 20 Macierze wejść i macierz wyjść Postać zakodowana Postać normalna Macierz wyjść

21 21 Szukana funkcja Postać funkcji nieliniowej

22 22 Wyznaczanie współczynników Współczynników : szukamy na podstawie wzoru: Obliczamy : det =4096 ( ) -1 =1/8 I Zatem:

23 23 Poszukiwany model w postaci funkcji regresji:

24 24 Szukanie maksimum Aby znaleźć maksimum przeprowadzamy kolejne doświadczenia: Przyjmujemy kroki robocze R x n proporcjonalne do współczynników i x n według wzoru: krok roboczy: x 1 =+10 x 2 =+200 x 3 =+5 Dla x 2 napotykamy Ograniczenia, wstawiamy więc do tabeli 0 Osiągnięte maksimum lokalne: y=455,0 Nrx1x1 x2x2 x3x3 y 9405055385,0 1050060450,0 1160065455,0 12700 450,0

25 25 Maksimum globalne W dalszych doświadczeniach szukamy maksimum globalnego: Dla x 1 =100, x 2 =0, x 2 =0 (oba ograniczenia przekroczone) mamy: max(y)=800

26 26 Eksperyment ułamkowy 2 p-k W przypadku 3 zmiennych, w kompletnym dwupoziomowym eksperymencie przeprowadzamy 2 3 =8 doświadczeń; Dla 30 zmiennych: 2 30 =1 073 741 824 dośw. które, jeśli trwały by 1 s. wymagały by 34 lat; Dla dużej liczby zmiennych tworzymy plany połówkowe (2 p-1 ), ćwiartkowe (2 p-2 ), ósemkowe (2 p-3 ) itp. Liczba k nie może przekroczyć wartości przy której liczba równań nie pozwala na uzyskanie założonego modelu regresji

27 27 Tworzenie planu frakcyjnego Model o postaci: Przyjmujemy, że jedna ze zmiennych unormowanych równa jest współdziałaniu pierwszego rzędu pozostałych zmiennych: Relację taką nazywamy funkcją generującą: Model przyjmuje postać:

28 28 Tabele planów Plan2323 2 3-1 dla Nr. 1– 1 –1 –1---------------– 1 –1 –1 2+ 1 –1 –1 ------------ 3– 1 +1 – 1 ------------ 4+1 +1 – 1--------------+1 +1 – 1 5–1 –1 +1 ----------- 6+1 –1 +1------------+1 –1 +1 7–1 +1 +1------------–1 +1 +1 8+1 +1 +1 -----------

29 29 Plany 2 3-1 dla 1 1 1 3 5 1 2 8 1 1 1 7 1 4 6

30 30 Równania 2, 3, 5, 8 spełniają założenie: Równania 1, 4, 6, 7 spełniają założenie: Dla funkcji gen.:mamy spełnione: Biorąc pod uwagę funkcję generującą i powyższe równania, poszukiwana funkcja przyjmie postać:

31 31 Struktura uwikłania interakcji Na podstawie powyższych zależności możemy stwierdzić że równanie: jest prawidłowym modelem pod warunkiem, że człony interakcyjne są pomijalne w porównaniu z oddziaływaniami głównymi.

32 32 Plany wielopoziomowe Użycie dwóch poziomów zmiennych wejściowych nie daje możliwości analizy zależności nieliniowych Testowanie zależności i interakcji kwadratowych wymaga co najmniej trzech poziomów planu

33 33 Centralne plany kompozycyjne Umożliwiają wyznaczenie równania regresji postaci: Wyróżniamy: Plany ortogonalne; Plany rotalne (rotatabilne); Plany kompletne trójpoziomowe 3 p ; Plany kompletne frakcyjne 3 p-k ;

34 34 Plany ortogonalne Dają możliwość aproksymacji wielomianu drugiego stopnia Plan nazywać będziemy ortogonalnym, jeżeli w każdej kolumnie macierzy planu suma iloczynu poszczególnych elementów kolumny będzie równa 0. Jeśli kolumny macierzy planu są ortogonalne, to wówczas macierz jest macierzą diagonalną W przypadku pełnej ortogonalności poziomy czynników i członów interakcyjnych nie są skorelowane.

35 35 Celem zapewnienia jak największej ortogonalności planu typu 2 p lub 2 p-k stosuje się rozszerzenie o dwa dodatkowe poziomy + ort – ort – tzw. punkty gwiezdne Pozostałe zmienne dla tych poziomów równają się 0 Wartość ort nazywamy odległością osiową i wyznaczamy z zależności: Gdzie: n s – liczba punktów wierzchołkowych jądra planu; n s – liczba punktów gwiezdnych; n o - liczba punktów centalnych;

36 36 Plan ortogonalny 1 1 1 2 34 5 7 8 69 Nr.Nazwa grupy 1–1 2 punkty kubiczne 2+1–1 3 +1 4 5 ort 0 Punkty gwiezdne 6 ort 0 70 80 900Punkty centralne..........

37 37 Plany rotalne Plany ortogonalne maja wadę: dokładność aproksymacji zależy w nich od przyjętych wartości zmiennych niezależnych Wady tej nie mają plany rotalne w których punkty wartości zmiennych wejściowych są umieszczone na powierzchni wielowymiaro- wej sfery o środku w początku układu współrzędnych, czyli: gdzie – promień Wariancja zmiennej zależnej pozostaje stała bez względu na wartości zmiennych niezależnych

38 38 Do warunku rotalności prowadzi rozszerzenie planu typu 2 p lub 2 p-k ( jądra planu) o punkty gwiezdne + rot – rot Odległość osiowa rot wyznaczana jest z zależności:

39 39 Plany optymalne Procedury planów optymalnych polega na wy- borze z listy możliwych punktów planu (kan- dydatów), takich punktów które zagwarantują uzyskanie maksimum informacji Ogólne kryterium: minimalizacja korelacji zmiennych wejściowych;

40 40 Plany A–optymalne Najmniejsza korelacja między zmiennymi niezależnymi wystąpi, gdy wybierzemy taki plan, by na przekątnej macierzy były możliwie największe wartości w stosunku do elementów poza przekątną Warunek A–optymalności: tr(.) – suma elementów na przekątnej macierzy (ślad macierzy)

41 41 Plany D–optymalne Najmniejsza korelacja między zmiennymi niezależnymi wystąpi, gdy wybierzemy taki plan, by wyznacznik macierzy miał możliwie największą wartość Warunek D–optymalności: Kryterium D–optymalności skraca czas obliczeń w stosunku do A–optymalności

42 42 Porównanie planów tradycyjnego (XIX w.) i współczesnego Rozpatrujemy prosty obiekt liniowy o 7 wejściach i wyjściu opisanym zależnością: n=1,2,... – numery obserwacji.... x n1 x n2 x n7 enen ynyn

43 43 Zakłócenia e n mają rozkład normalny Model obiektu: Przyjmujemy, że pomiary mogą być dokonywane w obszarze ograniczonym: -1x k+1k=1,2,...,7... x n1 x n2 x n7

44 44 Plan najbardziej tradycyjny: Układ równań: nx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 y 10000000y1y1 2+1000000y2y2 30 00000y3y3 400 0000y4y4 5000 000y5y5 60000 00y6y6 700000 0y7y7 8000000 y8y8 Współczynniki modelu: Wariancje współczynników

45 45 Plan unowocześniony: Układ równań: nx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 y 1–1 y1y1 2+1000000y2y2 30 00000y3y3 400 0000y4y4 5000 000y5y5 60000 00y6y6 700000 0y7y7 8000000 y8y8 Współczynniki modelu: Wariancje współczynników:

46 46 Plan współczesny: Dla zmiennych x 1,x 2,x 3, przyjęto plan dwupoziomowy 2 3, a dla dalszych zmiennych przyjęto: nx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 y 1–1 y1y1 2+1–1 +1 –1y2y2 3 +1–1+1 –1+1y3y3 4 –1 +1 y4y4 5–1 +1 –1+1 y5y5 6 –1+1–1+1–1+1y6y6 7–1+1 –1+1 –1y7y7 8+1 –1 y8y8 Współczynniki modelu: Wariancje współczynników :

47 47 Literatura Dobosz Marek.: Wspomagana komputerowo statystyczna analiza wyników badań. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT Warszawa 2001 Mańczak Kazimierz.: Technika planowania eksperymentu. WNT Warszawa 1976

48 Dziękuję za uwagę


Pobierz ppt "Technika planowania eksperymentu Robert Ręgowski gr. R57 Prezentacja wygłoszona dnia 17.12.2002 na seminarium."

Podobne prezentacje


Reklamy Google