Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Zadanie programowania liniowego PL dla ograniczeń mniejszościowych.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Zadanie programowania liniowego PL dla ograniczeń mniejszościowych."— Zapis prezentacji:

1 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Zadanie programowania liniowego PL dla ograniczeń mniejszościowych przy ograniczeniach : dim x=n, dim c=n, dim A =[m x n], dim b 1 =m 1, Postać kanoniczna zadania PL

2 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Równoważność zadań programowania matematycznego I Ograniczenie równościowe można zastąpić dwoma ograniczeniami nierownościowymi II Ograniczenie nierównościowe można zastąpić ograniczeniem równościowym, wprowadzając zmienną uzupełniającą III Zmienną wolną można przedstawić jako różnicę dwóch zmiennych nieujemnych gdzie:

3 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Podstawowe definicje Jeśli dla układu równań liniowych Ax=b spełniony jest warunek rz[A r ]=rz[A] to mogą zaistnieć trzy następujące przypadki: 1.rz[A] = m = n istnieje jedno rozwiązanie układu Ax=b. 2.rz[A] = n < m istnieje jedno rozwiązanie układu równań, lecz przy tym (m - n) równań jest zbędnych. 3. rz[A] = m < n istnieje nieskończenie wiele rozwiązań układu Ax=b, jest to układ nieoznaczony. Definicja macierzy bazowej B Macierzą bazową B układu równań Ax = b rz[A] = m, n>m nazywamy nieosobliwą macierz kwadratową o wymiarach (m*m) utworzoną z liniowo-niezależnych kolumn a j macierzy A. Definicja rozwiązania bazowego Rozwiązaniem bazowym układu równań Ax=b rz[A]=m, n>m nazywamy wektor x b =B -1 b utworzony ze zmiennych odpowiadających kolumnom a j macierzy bazowej B. Składowe wektora bazowego x b są to zmienne bazowe.

4 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Rozwiązania bazowe Definicja: Rozwiązanie bazowe jest rozwiązaniem bazowym dopuszczalnym zadania programowania liniowego PL jeśli wektor x B jest nieujemny tzn. Wówczas rozwiązanie bazowe dopuszczalne posiada nie więcej niż m dodatnich x i. Definicja: Niezdegenerowanym rozwiązaniem bazowym dopuszczalnym zadania PL nazywamy rozwiązanie dopuszczalne, w którym nie wszystkie składowe x i są większe od zera. B- macierz bazowa nieosobliwa N- macierz niebazowa - wektor zmiennych bazowych odpowiadających kolumnom macierz B - wektor zmiennych niebazowych odpowiadających kolumnom macierz N

5 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Extremum zadania programowania liniowego PL Twierdzenie 5.1 Zbiór wszystkich rozwiązań dopuszczalnych zadania programowania liniowego PL jest zbiorem wypukłym. Definicja: Punkt x należący do wypukłego zbioru jest punktem wierzchołkowym zbioru X, jeśli nie może być wyrażony jako kombinacja liniowa innych punktów zbioru X. Dowód: 1. Zakłada się, że wektor x jest bazowym rozwiązaniem dopuszczalnym. Pokazać, że x jest punktem wierzchołkowym zbioru X 2. Zakłada się, że wektor x jest punktem wierzchołkowym zbioru rozwiązań dopuszczalnych zadania programowania liniowego. Pokazać, że wektor x jest bazowym rozwiązaniem dopuszczalnym. Twierdzenie 5.2 Rozwiązanie dopuszczalne x zadania programowania liniowego PL jest punktem wierzchołkowym zbioru rozwiązań dopuszczalnych X wtedy i tylko wtedy gdy odpowiada mu bazowe rozwiązanie dopuszczalne tzn.:

6 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Extremum zadania programowania liniowego PL cd. Twierdzenie 5.3 Jeżeli funkcja określona na domkniętym i ograniczonym wypukłym zbiorze jest ciągła i wypukła, to globalne maksimum funkcji f(x) występuje w punkcie ekstremalnym (bądź punktach) zbioru X. Dowód: Zaprzeczamy tezie: - dowolne globalne minimum v – dowolny punkt ekstremalny zbioru X. Zbiór X jest zbiorem zwartym, funkcja f(x) jest ciągła – więc istnieje punkt - punkty ekstremalne zbioru X. Każdy punkt, który nie jest punktem ekstremalnym, może być wyrażony jako kombinacja wypukła punktów v i Funkcja f(x) jest wypukła więc zachodzi dla dowolnego punktu zachodzi: ckd.

7 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Extremum zadania programowania liniowego PL cd. Twierdzenie Funkcja celu zadania PL przyjmuje wartość maksymalną w punkcie wierzchołkowym zbioru rozwiązań dopuszczalnych zadania PL. 2. Jeśli funkcja celu zadania PL przyjmuje wartość maksymalną w więcej niż jednym punkcie wierzchołkowym, to ma tą samą wartość dla każdej kombinacji wypukłej tych punktów. Dla p dopuszczalnych bazowych rozwiązań optymalnych, tzn. Zbiór rozwiązań optymalnych przyjmuje postać:

8 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Pierwsze rozwiązanie bazowe

9 Poszukiwanie rozwiązań bazowych dopuszczalnych

10 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Pierwsze rozwiązanie bazowe dopuszczalne

11 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Wprowadzone oznaczenia: oraz gdzie oznaczają kolumny macierzy N.

12 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Postać początkowej tablicy simpleksowej dla przypadku gdy c B =0 tzn. pierwsze rozwiązanie bazowe dopuszczalne odpowiada za punkt wierzchołkowy x=0.

13 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Polepszanie rozwiązania bazowego dopuszczalnego

14 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Polepszanie bazowego rozwiązania dopuszczalnego Gdy mamy nie-zdegenerowane rozwiązanie bazowe dopuszczalne takie, że dla przynajmniej jednego i wówczas można z niego otrzymać lepsze bazowe rozwiązanie dopuszczalne przez wymianę jednej z kolumn macierzy B na kolumnę macierzy N.

15 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Optymalne rozwiązanie zadania programowania liniowego PL metodą simpleks Twierdzenie 5.5 Rozwiązanie bazowe dopuszczalne układu równań Ax=b jest rozwiązaniem optymalnym zadania PL, jeśli są spełnione dwa warunki: (i) Warunek prymalnej dopuszczalności: (ii) Warunek optymalności

16 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Pierwsza tablica simpleks-I rozwiązanie bazowe dopuszczalne

17 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Polepszona tablica simpleks odpowiada za następne rozwiązanie bazowe dopuszczalne o większej wartości funkcji celu.

18 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Algorytm simpleks (prymalny) Krok 1. (start). Rozpoczynamy algorytm od znalezienia pierwszego rozwiązania bazowego dopuszczalnego. Należy sprawdzić dopuszczalność rozwiązania: czy Tak - idź do kroku 2, Nie – STOP. Krok 2. (test optymalności). Czy dla każdego ? Tak - to aktualne rozwiązanie jest optymalne. Nie - idź do kroku 3. Krok 3. (Wybór zmiennej wchodzącej do bazy). Wybierz jako zmienną wchodzącą do bazy taką zmienną dla której Typową regułą jest wybór zmiennej jest reguła dla której: Idż do kroku 4.

19 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Algorytm simpleks (prymalny) c.d. Krok 5. (eliminacja Gaussa). Wyznacz oraz względem zmiennych oraz zmiennejzgodnie z wyprowadzonym wzorem. Podstaw aby otrzymać nowe rozwiązanie bazowe dopuszczalne. Idź do kroku 2. Krok ten czasami nazywa się wymianą zmiennej bazowej ( piwotyzacją). Krok 4. (wybór zmiennej usuwanej z bazy). Wybierz jako zmienną usuwaną z bazy taką zmienną dla której Jeśli wiele zmiennych spełnia ten warunek, wybierz arbitralnie jedną z nich. Idż do kroku 5.

20 Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Schemat reguły przeliczenia współczynników w tablicy simpleks wg metody eliminacji Gaussa p - element centralny (główny) q – dowolny element w wierszu centralnym (głównym) r – dowolny element w kolumnie centralnej (głównej) s – dowolny pozostały element


Pobierz ppt "Wydział Elektroniki PWr EiT III r. Algorytmy optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 4 Zadanie programowania liniowego PL dla ograniczeń mniejszościowych."

Podobne prezentacje


Reklamy Google