Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wybrane algorytmy wykorzystujące pojęcia z matematyki wyższej Krzysztof Gąsior Ko ł o Naukowe Matematyków Uniwersytet Rzeszowski.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wybrane algorytmy wykorzystujące pojęcia z matematyki wyższej Krzysztof Gąsior Ko ł o Naukowe Matematyków Uniwersytet Rzeszowski."— Zapis prezentacji:

1 Wybrane algorytmy wykorzystujące pojęcia z matematyki wyższej Krzysztof Gąsior Ko ł o Naukowe Matematyków Uniwersytet Rzeszowski

2 Matematyka często przeplata się z informatyka i wiele problemów rozwiązywanych za pomocą komputerów to problemy matematyczne(2)(2)

3 Wprowadzenie Czy zastanawialiście się kiedyś: jak działają programy wykorzystujące pojęcia matematyczne? dlaczego różne implementacje tej samej metody teoretycznej dają niekiedy różne wyniki lub z różną dokładnością? jak dokładnie program został zaimplementowany? algorytm Euklidesa sito Erastotelesa algorytm Fermata

4 Przypomnienie Algorytm Algorytm jest przepisem na rozwiązanie postawionego zadania, będącym określonym układem elementarnych instrukcji wraz z porządkiem ich wykonania. Sposoby zapisu algorytmu: opisu słownego listy kroków schematu blokowego lub innego grafu programu komputerowego

5 Przypomnienie c.d. Cechy każdego algorytmu: Skończoność Skończoność co oznacza, że realizowany ciąg operacji powinien mieć swój koniec Określoność Określoność co oznacza, że zarówno operacje, jak i porządek ich wykonywania powinny być ściśle określone, nie zostawiając miejsca na dowolną interpretację użytkownika Ogólność Ogólność algorytm nie ogranicza się do szczegółowego przypadku, ale odnosi się do pewnej klasy zadań Efektywność Efektywność algorytm prowadzi do rozwiązania możliwie najprostszą drogą

6 Do czego służą algorytmy w matematyce? matematyce algorytm W matematyce algorytm jest pojęciem służącym do formułowania rozwiązań i badania rozstrzygalności problemów

7 Obliczenie wartości logarytmu naturalnego Zadanie Oblicz wartość ln 4; Rozwiązanie: Wartość ln 4 możemy wyznaczyć przy pomocy: kalkulatora; gotowych programów np.: Excela, Matematica, Matlab; skonstruować własny programu;

8

9

10 Jak można napisać własny program? Z analizy matematycznej wiadomo, że: Powyższą całkę możemy policzyć za pomocą algorytmów numerycznych: m etoda prostokątów m etoda trapezów m etoda parabol (Simpsona) m etoda Romberga m etoda Monte Carlo

11 Metoda Monte Carlo Metoda Monte - Carlo jest prostą metodą, którą stosuje się w metodach numerycznych. Metoda ta służy do modelowania procesów złożonych, które nie mogą być modelowane za pomocą bardziej wyrafinowanych metod (tzn. o większej złożoności obliczeniowej).

12 Przykład zastosowania Monte Carlo – obliczanie całki - początek przedziału całkowania - koniec przedziału całkowania - funkcja podcałkowa - punkty losowo wybierane z przedziału - ilość losowanych punktów

13 Metoda Monte Carlo

14 Schemat Blokowy Start Czytaj (a, n); s = 0; i = 1; i++; Pisz (s); Stop NIE ;1 a n s s

15

16

17 Obliczanie wyznacznika macierzy Zadanie Oblicz wyznacznik macierzy:

18 =WYZNACZNIK.MACIERZY(B2:F6)

19

20 Jak można stworzyć własny program? Twierdzenie (o rozwinięciu Laplacea). Niech będzie dana macierz gdzie n > 1. Wówczas jest rozwinięciem Laplacea względem j - tej kolumny.

21 Wzór rekurencyjny n – stopień macierzy

22 Definicja Podwyznacznikiem (minor) macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy powstałej przez skreśleniu i tego wiersza i j tej kolumny tej macierzy i jest oznaczany przez Wzór rekurencyjny

23 Tworzenie programu Aby uniknąć zbędnego kopiowania elementów w programie wyliczającym wyznacznik macierzy, będziemy przekazywali tylko obraz minora w postaci wektora wiersza, a jego wymiar będzie oznaczał rozważaną kolumnę.

24 Tworzenie programu cd. - wektor wiersza numer kolumny = 2

25

26

27

28 Problem maksymalizacji zysku produkcji Zakład produkuje dwa wyroby, zużywając do tego celu pewną ilość środków produkcji, z których cztery: energia elektryczna, stal, drewno oraz praca są limitowane. W produkcji są zużywane w ilościach: WyróbEnergiaStalDrewnoPraca I55610 II25100

29 Problem maksymalizacji zysku produkcji Zasoby tych środków wynoszą: energia – 1200 jednostek, stal – 600 jednostek, drewno – 420 jednostek, praca – 900 jednostek. Ile poszczególnych wyrobów powinien produkować zakład, aby zysk jego był maksymalny, jeżeli jednostkowy wynosi: z produkcji wyrobu I – 10 zł, wyrobu II – 20 zł. Zakładamy przy tym, że siła robocza musi być wykorzystana w takiej ilości jaką dysponuje.

30 Schemat rozwiązania Schemat rozwiązania 1.Określenie danych wejściowych i celu, czyli wyniku 2.Stworzenie modelu matematycznego 3.Znaleźnie metody rozwiązania, czyli algorytmu 4.Stworzenie własnego programu lub skorzystanie z już istniejącego 5.Analiza poprawności rozwiązania

31 Programowanie liniowe Programowanie linowe jest działem matematyki poświęconym teorii i praktycznym algorytmom wyznaczania ekstremum funkcji wielu zmiennych przy ograniczeniach na obszar ich zmienności.

32 Zagadnie programowania linowego formułuje się w następujący sposób: min (max) funkcja celu (funkcja ekonomiczna) warunki ograniczające

33 Programowanie liniowe Wspomniany wcześniej problem jest klasycznym przykładem zagadnienia programowania linowego. Funkcja celu - zmienne decyzyjne bilans pracy bilans drewna warunki nieujemności bilans stali bilans energii Warunki ograniczające

34 Metoda graficzna Twierdzenie Twierdzenie. Jeżeli istnieje rozwiązanie optymalne zadania programowania liniowego, to istnieje wierzchołek zbioru dopuszczalnego będący rozwiązaniem optymalnym. A(30, 60) Rozwiązaniem zadania jest x1= 60 i x2 = 30 w którym funkcja celu osiąga wartość f(60, 30) = 1200 Obszar spełniający wszystkie warunki – obszar dopuszczalny

35 Metoda eliminacji zmiennej Z równości w warunkach ograniczających możemy wyeliminować drugą zmienną i ograniczyć obszar poszukiwań: Warunki ograniczające funkcja celu

36 Za pomocą metody kolejnych iteracji przeszukujemy obszar możliwych rozwiązań w poszukiwaniu maksimum funkcji celu.

37 Komórka celu: =10*B7+20*C7 Warunki ograniczające: =B3*$B$7+C3*$C$7 =B4*$B$7+C4*$C$7 =B5*$B$7+C5*$C$7 =B6*$B$7+C6*$C$7 Komórki zmieniane

38

39

40 Zaznaczenie tego pole przyśpieszy poszukiwanie rozwiązania w przypadku, gdy chcemy rozwiązać problem optymalizacji liniowej.

41 Sprawia, że dla wszystkich komórek zmienianych, dla których nie ustawiono dolnej granicy przyjmuje się dolną granicę równą 0.

42 Maksymalny zysk

43 Literatura 1. S. Krawczyk Programowanie Matematyczne, zbiór zadań, PWE, Warszawa A. Kierzkowski Turbo Pascal. Ćwiczenia praktyczne, Helion, Gliwice M Sysło, Elementy Informatyki, PWN, Warszawa B. Gleichgewicht, Algebra, Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, PWN, Warszawa 1983

44 Literatura 5.Z. Suraj, T. Rumak Algorytmiczne rozwiązywanie zadań i problemów, Fosze, Rzeszów A. Sebyła Algorytmy matematyczne języku Basic i Turbo Pascal, PLJ, Warszawa1993

45 Internet Materiały dydaktyczne prof. Zbigniewa Łuckiego, Matematyczne techniki zarządzania Materiały dydaktyczne prof. Zbigniewa Łuckiego, Matematyczne techniki zarządzania Strony dydaktyczne, mgr Jerzy Wałaszek Algorytmy i struktury danych Nowe cechy języka Java w wersji 1.5

46

47 Metoda graficzna

48

49


Pobierz ppt "Wybrane algorytmy wykorzystujące pojęcia z matematyki wyższej Krzysztof Gąsior Ko ł o Naukowe Matematyków Uniwersytet Rzeszowski."

Podobne prezentacje


Reklamy Google