Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Pogorzeli ID grupy: 97/63_MF_G1 Kompetencja: matematyczno- fizyczna Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa Semestr/rok szkolny: IV/ 2011/2012

3 KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

4 Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

5 SILNIA Jeśli mamy wyrażenie, którym jest ciąg mnożeń kolejnych liczb od 1, np. 1 * 2 * 3 * 4 * 5, możemy zapisać go w skrócie jako 5! (pięć silnia). KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

6 PERMUTACJA - przestawienie, zmiana; układanie elementów (pewnego ciągu, serii) w różnej kolejności; każdy z różnych możliwych układów danych elementów. Permutacja wyraża się wzorem : P n = n! Dowód. Przeprowadzimy dowód tego twierdzenia stosując zasadę indukcji matematycznej. Jeśli n=1, tzn. dysponujemy tylko jednym elementem, to możemy utworzyć tylko jeden ciąg. Ponieważ 1! =1, zatem twierdzenie jest prawdziwe dla n=1. Założenie indukcyjne: Dla pewnego k, liczba permutacji w zbiorze k- elementowym wynosi k!. Teza: Liczba permutacji w zbiorze (k+1)- elementowym wynosi (k+1)!. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

7 Dowód tezy : Przedstawmy zbiór (k+1)-elementowy X' w postaci X È {x k+1}, gdzie X jest zbiorem k- elementowym i x k+1 do niego nie należy. Permutację zbioru X' możemy uzyskać biorąc jakąkolwiek permutację zbioru X i uzupełnić ją wstawiając na wszystkie możliwe pozycje element xk+1. Pozycji, na których możemy umieścić nowy element, jest oczywiście (k+1) (przed pierwszym elementem, przed drugim itd...., po ostatnim). Na mocy założenia indukcyjnego, k- elementowych permutacji jest k!. Zatem wszystkich (k+1)-elementowych permutacji jest k! *(k+1), czyli (k+1)!. Ponieważ wszystkie założenia zasady indukcji matematycznej zostały spełnione, więc twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

8 Na ile sposobów można ułożyć owoce: jabłko, banan P 2 = 2! = 2, - permutacje 2-elementowe zbioru 2-elementowego jabłko, banan, kiwi P 3 = 3! = 6 - permutacje 3-elementowe zbioru 3-elementowego, istnieje 6 różnych ciągów 3-wyrazowych 4 owoce P 4 = 4! = 24 jabłkobanan Jabłko, banan, kiwiBanan, jabłko, kiwiKiwi, jabłko, banan Jabłko, kiwi, bananBanan, kiwi, jabłkoKiwi, banan, jabłko KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

9 ZADANIE: Na ile sposobów możemy ustawić 3 książki na półce? P(3)=3!=1*2*3=6 Książkę można ustawić na 6 różnych sposobów KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

10 ELEMENTY PRAWODPODOBIEŃSTWA KOMBINACJE Kombinacją (bez powtórzeń) k- elementową (kϵN) zbioru Z n- elementowego (nϵ N + ) o różnych elementach jest każdy podzbiór k- elementowy (kn) utworzony z elementów zbioru Z. Liczba wszystkich różnych k- elementowych kombinacji zbioru n- elementowego wyraża się wzorem: KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

11

12 Na ile sposobów można wybrać z koszyka 3 owoce spośród 5: jabłka, gruszki, śliwki, banana i kiwi ? Jabłko, gruszka, śliwka Jabłko, gruszka, banan Jabłko, gruszka, kiwi Jabłko, śliwka, banan Jabłko, śliwka, kiwi Gruszka, śliwka, banan Gruszka, śliwka, kiwi Śliwka, banan, kiwi Banan, gruszka, kiwi Jabłko, banan, kiwi KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

13 ELEMENTY KOMBINATORYKI WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Wariacją (bez powtórzeń) k- wyrazową (kϵN) zbioru Z n- elementowego (nϵ N + ) o różnych elementach jest każdy k- wyrazowy (kn) ciąg utworzony z elementów zbioru Z. Liczba wszystkich różnych k- wyrazowych wariacji bez powtórzeń utworzonych ze zbioru n- elementowego wyraża się wzorem: KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

14 PRZYKŁAD Z okazji święta szkoły uczniowie postanowili udekorować budynek trójkolorowymi chorągiewkami. Ile mogą uszyć różnych trójkolorowych chorągiewek, mając do dyspozycji materiał w 8 kolorach i zakładając, że pasy materiału są jednakowej wielkości i każdy jest innego koloru? Uczniowie mogą uszyć 336 chorągiewek. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

15 ELEMENTY KOMBINATORYKI WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Wariacją z powtórzeniami k- wyrazową (kϵN) zbioru Z n- elementowego (nϵ N + ) jest każdy k- wyrazowy (kn) ciąg utworzony z elementów zbioru Z. Liczba wszystkich różnych k- wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n- elementowego wyraża się wzorem: Ciągów 3-wyrazowych o niekoniecznie różnych wyrazach ze zbioru 5-elementowego można utworzyć: KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

16 PRZYKŁADY Na ile sposobów można umieścić w 3 szufladach 7 bluzek? Bluzki można umieścić na 2187 sposobów. Trzech pasażerów wsiada do pociągu złożonego z 5 wagonów. Na ile sposobów mogą być rozmieszczeni w wagonach ? Pasażerowie mogą być rozmieszczeni na 125 sposobów. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

17 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się badaniem zjawisk losowych oraz praw nimi rządzących. Doświadczenie losowe to eksperyment dający się wielokrotnie powtórzyć w prawie identycznych warunkach. Zdarzenie losowe to niedający się przewidzieć wynik doświadczenia losowego. Zdarzenie elementarne (pojęcie pierwotne) – pojedynczy wynik doświadczenia losowego. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

18 KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jeżeli Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne to: - oznacz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A - oznacz liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

19 ABY UŁATWIĆ SOBIE KORZYSTANIE ZE WZORÓW PRZY ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ MOŻNA SKORZYSTAĆ Z ALGORYTMU POSTĘPOWANIA : KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

20 ZADANIA Zad.1 Na ile sposobów Agata może umieścić 4 sweterki w 6 szufladach tak, aby: a) Każdy sweterek był w innej szufladzie, b) Sweterki były rozmieszczone dowolnie c) Wszystkie sweterki były w jednej szufladzie? KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

21 Zad.2 Sześciu kolegów postanowiło obliczyć, ile jest przyporządkowań dni tygodnia, w których się urodzili, jeżeli: a) Każdy urodził się w innym dniu tygodnia b) Urodzili się w dowolnym dniu tygodnia KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

22 Zad.3 Rzucamy dwiema kostkami sześciennymi. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: a) Iloczyn wyrzuconych oczek jest równa 6 b) Suma wyrzuconych oczek jest liczbą podzielną przez 3 c) Suma wyrzuconych oczek jest mniejsza od 10 KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

23 Zad.4 Z zestawu kostek do gry w domino (28 różnych kostek) losujemy jedną kostkę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że: a) na obu częściach wylosowanej kostki jest taka sama liczba oczek A={ (0;0); (1;1); (2;2); (3;3); (4;4); (5;5); (6;6)} Odp. Prawdopodobieństwo wynosi KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

24 Zad.5 Z urny, w której znajdują się 4 ponumerowane kule białe i 3 czarne, losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A-obie wylosowane kule będą białe, B-dokładnie jedna z wylosowanych kul będzie biała. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

25 ,

26 Zad.6 Ze zbioru liczb {1,2,3,4...,10} wybieramy losowo jedną. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: a) Liczby nieparzystej b) Liczby podzielnej przez 4 KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

27 Zad. 7 Z talii 52-kartowej wybieramy losowo jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: a) Karty koloru pikowego b) Asa KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

28 c) Karty koloru pikowego lub asa d) Karty młodszej od piątki lub starszej od trójki KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

29 Zad. 8 Wybieramy losowo jedną literę ze słów AS KOMPETENCJI. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to litera E. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

30 ŹRÓDŁA: kombinatoryka-elementy-statystyki-opisowej u_matematyki KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

31 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google