Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 1/31 Wstęp Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski Pierwszy tym zagadnieniem zajął się Francuz Pierre.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 1/31 Wstęp Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski Pierwszy tym zagadnieniem zajął się Francuz Pierre."— Zapis prezentacji:

1 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 1/31 Wstęp Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Pierwszy tym zagadnieniem zajął się Francuz Pierre Bouguer. Ojciec Jean Bouguer nauczył syna Pierre'a matematyki i przedmiotów które wykładał. Pierre okazał się zdolnym uczniem. Po śmierci ojca Pierre objął po nim profesurę. W 1727 wygrywał główną nagrodę Królewskiej Akademii Nauki za konstrukcje masztów. Dwa lata później znowu wygrał wielką nagrodą, jak również w roku 1731 za pomiary pola magnetycznego na morzu. Został przyjęty na pełnoprawnego członka Królewskiej Akademii Nauk. W 1732 Bouguer studiował krzywe gonitwy wykazując się głębokim zrozumieniem matematyki. Zajmował się również astronomia i fotometrią. Porównywał jasność światła odbitego od księżyca z jasnością świecy. Na tej podstawie był w stanie podać zależności znane dzisiaj jako prawo Bouguer–Lamberta: "Natężenie I światła (lub innego promieniowania elektromagnetycznego) maleje wykładniczo z odległością d, na jaką wchodzi ono do ośrodka pochłaniającego, czyli I = I0exp(–md) gdzie I0 oznacza natężenie promieniowania wchodzącego do ośrodka, a m współczynnik absorpcji." Nazwa pochodzi od nazwisk Pierre'a Bouguer (1698–1758) oraz Johanna Heinricha Lamberta (1728–77) Jest to krzywa jaką zakreśla ścigający w pogoni za swoją ofiarą. Przykładem takiej krzywej jest tor jaki zakreśla pies goniący za zającem (inna nazwa - psia krzywa), czy tor myśliwca który ściga wroga, również nowoczesne rakiety poruszają się wzdłuż tej krzywej by uderzyć w cel. Równania te mają ogromne znaczenie w wojsku, NASA, jak również w obserwacjach kosmosu, szczególnie gdy musimy obliczyć czy dane ciało niebieskie uderzy w Ziemię czy tez nie. Zagadnienie to jest jednak zazwyczaj bardzo trudne ponieważ tor pościgu jak również tor ucieczki nie są łatwe do opisania. Dlatego, zazwyczaj można podać odpowiedź na tak postawione zadanie jedynie w przybliżeniu. Zajmiemy się opisem ruchu ścigającego gdy ścigany ucieka po torze prostoliniowym.

2 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 2/31 Definicja Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski M 0 (0,a) M(x,y) K P 1 (x 1,0) P(v 1 t,0) v 1 t-x x Niech punkt P porusza się ze stałą prędkością wzdłuż osi 0x, w kierunku dodatniego wzrostu wartości na osi 0x. Gdy punkt P znajduje się w punkcie 0, punkt M 0 (0,a), gdzie a>0, zaczyna poruszać się po płaszczyźnie 0xy ze stałą prędkością tak aby w punkcie M(x,y) płaszczyzny wektor prędkości był skierowany do punktu P (np. pies M goni zająca P).Trajektorie K punktu M nazywamy krzywą pogoni. y y P0P0 0 x MXMX α

3 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 3/31 Równanie różniczkowe 1/3 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Znajdziemy równanie krzywej pogoni K oraz odciętą x 1 punktu P 1, w którym punkt M dogoni punkt P, a także czas T trwania pogoni. Niech w trójkącie MM x P będzie kąt MPM x = Wtedy α Ponieważ, więc, skąd

4 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 4/31 Równanie różniczkowe 2/3 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Obliczając pochodną po x z powyższego wyrażenia na czas otrzymujemy: Korzystam ze wzoru na pochodną ilorazu dwóch funkcji: (1)

5 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 5/31 Twierdzenie o długości krzywej Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Twierdzenie. Jeżeli funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale domkniętym, to długość łuku S linii o równaniu y=f(x), gdzie, wyraża się następującym wzorem: Ponieważ więc, (2)

6 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 6/31 Równanie różniczkowe 3/3 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Porównując ze sobą wzory (1) i (2) otrzymujemy (3) (2) (1)

7 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 7/31 Podstawienie funkcja u(y) Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Ponieważ równanie (3) nie zawiera argumentu x poszukiwanej funkcji y=y(x), zastosujemy podstawienie: (4) ; Po podstawieniu (4) do (3) i po następujących przekształceniach otrzymujemy: (5) (3)

8 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 8/31 Rozkład równania różniczkowego Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Równanie (5) możemy rozłożyć na dwa równania: (6) (7) Poszukiwane rozwiązanie powinno spełniać warunki początkowe, Więc jeżeli,to i otrzymujemy ruch wzdłuż osi 0x. (W równaniu (4) podstawiliśmy jeżeli to ) Rozwiązanie nie spełnia warunku początkowego. (5)

9 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 9/31 Rozdzielenie zmiennych Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Rozdzielam zmienne w równaniu (7): (8) Po rozdzieleniu zmiennych możemy obliczyć całki lewą po u i prawą po y (7)

10 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 10/31 Rozwiązywanie całek 1/3 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Całkę po lewej stronie rozwiązujemy w następujący sposób : Wykorzystujemy następujące podstawienie: I sprowadzamy całkę do postaci następującej:

11 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 11/31 Rozwiązywanie całek 2/3 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski (9) Całka stojąca po lewej stronie równania (podstawiamy odpowiednio u i du): Równanie Dla u<0 funkcje są identyczne

12 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 12/31 Rozwiązywanie całek 3/3 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Całka stojąca po prawej stronie równania: (10) Całe równanie sprowadza się do: (11) Równanie

13 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 13/31 Warunek początkowy C 1 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Z warunku początkowe w chwili t=0, punkty M i P znajdują się na osi 0y (rzędna punktu M jest równa a). W punkcie (4) stosowaliśmy podstawienie W tym momencie mamy.Równanie (11) przechodzi w równanie następujące skąd obliczamy stałą (12)

14 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 14/31 R. R. z warunkiem początkowym 1/2 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Po podstawieniu (12) do (11) otrzymujemy: (12) (11) c.d.n.

15 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 15/31 R. R. z warunkiem początkowym 2/2 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski (13)

16 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 16/31 Obliczamy całki Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Po obliczeniu całek otrzymujemy:

17 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 17/31 Obliczamy stała C 2 1/2 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski (14) Stałą C 2 otrzymujemy z (14), wykorzystując warunek początkowy, mianowicie c.d.n.

18 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 18/31 Obliczamy stałą C 2 2/2 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski

19 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 19/31 Równanie krzywej pogoni Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Otrzymane równanie po podstawieniu do (14) daje ostatecznie równanie krzywej pogoni w postaci: (15) Jeżeli stosunek prędkości, to punkt M nie dogoni punktu P i krzywa pogoni będzie asymptotycznie zbliżać się do prostej y=0. Na przykład jeżeli to z (15) Mamy: skąd, czyli oś 0x jest asymptotą krzywej.

20 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 20/31 Czas pogoni Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Jeżeli stosunek prędkości to punkt M dogoni P w punkcie P 1 (x 1,0), przy czym x 1 otrzymamy, podstawiając y=0 do (15) (16) Czas pogoni wynosi: (17)

21 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 21/31 trójsieczna Tschirnhausa Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Jeżeli jest liczba wymierną, to krzywa pogoni jest krzywą algebraiczną. Jeżeli k jest liczbą niewymierną, to krzywa pogoni jest krzywą przestępną. W szczególności dla k=2 krzywa pogoni staje się krzywą algebraiczną trzeciego stopnia, mianowicie trójsieczną Tschirnhausa. (a=10) Jeżeli k=1, krzywa pogoni jest krzywą przestępną. Równanie różniczkowe krzywej z (13) jest postaci :

22 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 22/31 Krzywa przestępna k=1 1/2 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Otrzymujemy następujące równanie dla k=1: (18)

23 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 23/31 Krzywa przestępna k=1 2/2 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Ponieważ dla x=0 jest y=a, więc możemy obliczyć wartość stałej C: Otrzymujemy zatem następujące równanie dla k=1: (19)

24 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 24/31 Transformacje układu odniesienia 1/3 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Jeżeli przemianować oś 0x na 0y, oś 0y na –oś 0x oraz przesunąć nową oś 0x do punktu M 0, otrzymamy krzywa pogoni o równaniu: Kolejne kroki powyższego przekształcenia pokazane są poniżej: (20)

25 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 25/31 Transformacje układu odniesienia 2/3 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski 1.Wykres i wzór początkowy na podstawie którego wyprowadzone zostały wszystkie wzory 2.Po zamianie 0x na 0y i 0y na 0x + (Obrót o 90°) M 0 (a,0) M(x,y) K P 1 (0,y 1 ) P(0,v 1 t) MyMy P0P0 v 1 t-y x y M 0 (0,a) M(x,y) K P 1 (x 1,0) P(v 1 t,0) v 1 t-x x y y P0P0 0 x MXMX α α

26 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 26/31 Transformacje układu odniesienia 3/3 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Następnie przenosimy punkt M 0 na początek układu współrzędnych, czyli przenosimy wykres o a w prawo zmieniając jednocześnie kierunek osi x, czyli zmieniamy x na –x i dodajemy do x wartość a( translacja o wektor [a,0]), by przenieść wykres o a w prawo: (20) M 0 (a,0) M(x,y) K P 1 (0,y 1 ) P(0,v 1 t) MyMy P0P0 v 1 t-y x y α a

27 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 27/31 Przykłady krzywych 1/3 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski (21) (22) które przedstawia trójsieczną Tschirnhausa.Wykres powstał dla a=10 i k=2 Dla k=2 otrzymujemy równanie algebraiczne trzeciego stopnia: Z równania (19) dla k=1 a=10 otrzymujemy równanie przestępne postaci:

28 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 28/31 Przykłady krzywych 2/3 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Wykres powstał dla a=10 i k= Wykres powstał dla k= co 0.2, a=10. Najwyższy wykres dla k=1 posiada asymptotę pionową x=10

29 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 29/31 Przykłady krzywych 3/3 Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Wykres powstał dla k= co 0.1 a=10 Najbliższy osi y wykres, jest dla k=0.1. Są to przypadki torów ruchu dla których ścigany nigdy nie dogoni ofiary (czerwone) Jest to powyższy wykres dla k= co 0.1 dla a=10.Czerwony wykres dla k 1(niebieskie) przy której ścigający dogania ofiarę. Widać, że im większe jest k czyli stosunek prędkości ścigającego do prędkości ofiary, tym szybciej ścigany zostaje złapany.

30 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 30/31 Krzywa pościgu dla kwadratu Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski W każdym narożniku kwadratu umieszczamy jednego ścigającego. Wszyscy mają na celu swojego sąsiada stojącego po lewej stronie(patrz. Z rogu do środka). Robiąc zdjęcia w regularnych odstępach czasu stwierdzamy, że wyznaczywszy styczną i prostopadłą do niej w danej chwili i punkcie toru, uzyskujemy, po połączeniu wszystkich stycznych i prostopadłych ponownie kwadrat obrócony o pewien kąt. Prosta, która jest styczną do toru jednego ścigającego jest jednocześnie prostopadłą do toru swojego ściganego. Jeżeli teraz cztery osoby staną w narożnikach kwadratowego boiska, każda będzie miała na oku osobę stojąca po lewej stronie i wszyscy ruszą w jednym momencie ze stałą i jednakową prędkością ku sobie, to osoby te zakreślą spiralne ścieżki pokazane na rysunku obok. Zasady tworzenia krzywych: 2. Zaznacz punkty na kwadracie jakie osiągnęli ścigający po upływie tego samego czasu, poruszając się z jedną stała prędkością i startując jednocześnie 1. Narysuj kwadrat. Każdy z czterech ścigających startuje ze 3. Połącz nowe punkty rysując styczne do torów w tych punktach. Powstanie nowy kwadrat 4. Na nowym kwadracie zaznacz punkt leżący w tej samej odległości od początku nowego kwadratu co poprzedni punkt od startu i stwórz kolejny kwadrat 5. Kontynuuj tą procedurę aż nie będziesz w stanie narysować więcej kwadratów swojego narożnika

31 Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 31/31 Krzywa pościgu dla trójkąta Krzysztof Tadyszak, r. Prowadzący: dr A.Marlewski Sytuacja jest podobna jak w kwadracie. W narożnikach trójkąta równobocznego rozstawiono ścigających. Po uwzględnieniu tych samych warunków co poprzednio, stwierdzamy że ścigający spotkają się w samym środku trójkąta. Ten punk nazywa się punktem Brocarda od nazwiska francuskiego oficera Henri Brocard'a ( ). Okazuje się że każdy trójkąt posiada dwa punkty Brocarda. W przypadku trójkąta równobocznego te punkty po prostu leżą w tym samym miejscu. Punkt P jest punktem Brocarda jeżeli Brocard znalazł punkty nazwane jego imieniem studiując problem trzech psów goniących siebie nawzajem. Zajmował się trójkątami różnymi od równobocznych, wymuszając by psy spotkały się w jednym punkcie w tym samym czasie (the Brocard point). Eugeniusz Niczypowicz: Krzywe płaskie wybrane zagadnienia z geometrii analitycznych równań różniczkowych Bibliografia


Pobierz ppt "Krzywa pogoni (krzywa pościgowa) - 1/31 Wstęp Krzysztof Tadyszak, 7.05.05r. Prowadzący: dr A.Marlewski Pierwszy tym zagadnieniem zajął się Francuz Pierre."

Podobne prezentacje


Reklamy Google