Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 1 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 1 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż."— Zapis prezentacji:

1 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 1 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Podział dziedzin: Teoria systemów, teoria sterowania: badanie zachowania w czasie systemów korzystając z modeli systemów Analiza systemów, modelowanie: budowa modeli znajdujących stosowne zastosowanie Dwa zasadnicze podejścia do modelowania: Oparte na znanych teoriach: model jest wyprowadzany ze znanych praw fizyki, chemii itd. wykorzystując znane zasady matematyki (w skrócie: modelowanie teoretyczne, fenomenologiczne) Oparte na pomiarach: model jest budowany z wykorzystaniem mierzonych w systemie sygnałów (w skrócie modelowanie eksperymentalne, behawioralne, identyfikacja)

2 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 2 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Podstawowe działania w procesie modelowania A – ścieżka modelowania behawioralnego (eksperymentalnego) B – ścieżka modelowania fenomenologicznego (teoretycznego) Modelowanie behawioralne Założenia upraszczające Prawa: 1.równania równowagi 2. równania spójności 3.zależności wiążące Model fenomenologiczny (teoretyczny) Struktura Parametry Upraszczanie Uproszczony model fenomenologiczny 1) Struktura 2) Parametry Porównanie Przypadek BPrzypadek A Wynikowy model Wiedza aprioryczna o systemie Struktura znana Struktura nieznana Eksperyment Identyfikacja ParametrycznaNieparametryczna Model behawioralny (eksperymentalny) Parametryczny Nieparametryczny Struktura Parametry Modelowanie fenomenologiczne B/1 – wykorzystanie działań ścieżki modelowania eksperymentalnego do określenia wartości parametrów A/1, A/2 – wykorzystanie działań ścieżki modelowania teoretycznego do określenia struktury modelu

3 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 3 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Działania upraszczające w modelowaniu fenomenologicznym Cząstkowe równania różniczkowe liniowe Cząstkowe równania różniczkowe nieliniowe Zwyczajne równania różniczkowe nieliniowe, rzędu n Zwyczajne równania różniczkowe liniowe, rzędu n Zwyczajne równania różniczkowe liniowe, rzędu < n Zwyczajne równania różniczkowe nieliniowe, rzędu < n Równania algebraiczne liniowe Równania algebraiczne nieliniowe Linearyzacja Redukcja rzędu Aproksymacja równaniami o parametrach skupionych Przyrównanie pochodnych do zera Punkty wejścia procesu modelowania

4 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 4 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Modelowanie fenomenologiczne Modelowanie behawioralne Prawa fizyczne znane Parametry znane Prawa fizyczne znane Para- metry nieznane Sygnały mierzalne Reguły fizyczne znane Struktura modelu nieznana Para- metry nieznane Sygnały wejścia/wyjścia mierzalne Założenie struktury modelu Sygnały mierzalne Liniowe/nieliniowe równania różniczkowe Równania różniczkowe z estymacją parametrów Modele neuronowo/rozmyte z estymacją parametrów Modele odpowiedzi impulsowej (transmitancje) Sieci neuronowe Różne rodzaje modeli matematycznych

5 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 5 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Cechy modeli fenomenologicznych i behawioralnych Modelowanie teoretyczneModelowanie eksperymentalne Struktura modelu wynika z praw naturyStruktura modelu musi być założona Możliwe modelowanie zachowań w relacji wejście/wyjście jak i zachowań wewnętrznych (stanu) Tylko zachowania w relacji wejście/wyjście mogą być identyfikowane Parametry modeli są dane jako funkcje własności systemu Parametry modeli są tylko liczbami, w ogólności nie są znane związki z własnościami systemu Model jest ważny dla całej klasy procesów rozważanego typu i dla różnych warunków operacyjnych Model jest ważny tylko dla badanego systemu i w przyjętych granicach warunków operacyjnych Parametry modelu nie są znane dokładnieParametry modelu są bardziej dokładne dla badanego systemu i przyjętych warunków operacyjnych Model może być budowany dla systemów nie istniejących Model może być identyfikowany tylko dla istniejącego systemu

6 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 6 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Modelowanie teoretyczneModelowanie eksperymentalne Wewnętrzne zachowanie systemu musi być znane i opisywalne matematyczne Metody identyfikacji są niezależne od badanego systemu i mogą zatem być stosowane do wielu różnych systemów Modelowanie jest zwykłe przewlekłym procesem zajmującym dużo czasu Modelowanie jest szybkim procesem, jeżeli istnieją stosowne metody identyfikacji Model może być złożony i szczegółowyRozmiar modelu może być dostosowany do obszaru zastosowania Cechy modeli fenomenologicznych i behawioralnych – c.d.

7 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 7 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Modele dynamiczne typu white – box, czyli modele fenomenologiczne Fakt: prawie każdy system rzeczywisty jest systemem dynamicznym Przypadki, kiedy cele modelowania wymagają budowy modeli dynamicznych: chcemy badać w oparciu o model stany przejściowe (nieustalone) systemu; chcemy przeprowadzać w oparciu o model analizę stabilności, obserwowalności, sterowalności; chcemy generować sterowania systemem w oparciu o predykcję wyjść systemu (sterowanie predykcyjne) ………

8 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 8 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Propozycja kroków budowy modelu dynamicznego Krok I: Dokładne określenie systemu, który ma być modelowany i jego wyodrębnienie z otoczenia Krok II: Obmyślenie idealizowanej reprezentacji systemu, której właściwości będą w dostatecznym stopniu zgodne w zakresie interesujących nas cech (wynikających m. in. z celów modelowania) z właściwościami systemu rzeczywistego Krok III: Budowa modelu matematycznego, który będzie opisywał idealizowaną reprezentację systemu

9 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 9 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Krok I Wyodrębnienie obiektu Wyodrębnienie obiektu wyraża się wyborem wielkości wejściowych – tych wielkości, którymi otoczenie oddziałuje na obiekt oraz wielkości wyjściowych – tych wielkości, którymi obiekt oddziałuje na otoczenie

10 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 10 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Krok II Idealizowana reprezentacja Pod pojęciem idealizowanej reprezentacji rozumiemy utworzony w myśli system, który odpowiada rzeczywistemu pod względem jego istotnych cech wynikających z celów modelowania, ale jest prostszy (idealniejszy) i dlatego łatwiej poddający się analizie Idealizowana reprezentacja obiektu powstaje poprzez przyjęcie szeregu założeń, które w modelowanym obiekcie rzeczywistym są spełnione w określonym stopniu

11 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 11 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Krok III Budowa modelu (struktury) w oparciu o: (a)Wykorzystanie praw zachowania lub innych podstawowych praw o charakterze bilansowym (np. prawa Kirchhoffa, Newtona, zachowania masy, itd..) (b)zasadę najmniejszego działania, zwaną często zasadą Hamiltona

12 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 12 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Wyprowadzenie równań modelu poprzedzamy: właściwym wyborem zmiennych, które będą opisywać chwilowy stan systemu Zmienne modelu dogodnie jest podzielić na zmienne: przepływu, naporu Zmienne przepływu są zmiennymi systemu, które wyrażają intensywność przepływu określonej wielkości przez element systemu, bądź szybkość zmian w czasie określonej wielkości Zmienne naporu są zmiennymi systemu, które są miarą różnicy stanów na dwóch końcach elementu systemu, wyrażają napór jakiemu poddany jest element

13 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 13 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Centralne zagadnienie wyprowadzenia równań dynamiki Sformułowanie zależności (równań) wyrażających warunki równowagi, poprzez podanie bilansów wielkości właściwych dla rozważanego systemu, które muszą zachodzić dla całego systemu i jego podsystemów lub zależności (równań) wyrażających warunki spójności dynamiki, które muszą zachodzić pomiędzy elementami systemu ze względu na sposób w jaki elementy te łączą się ze sobą

14 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 14 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Zależności równowagi są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i nazywane są czasem zależnościami dla węzłów lub zależnościami ciągłości (I prawo Kirchhoffa, równanie ciągłości strugi, równanie sił w węźle,...) Zależności spójności są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi spadku (II prawo Kirchhoffa, spadek ciśnienia na połączonych kolejno odcinkach rurociągu,...)

15 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 15 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Po wyprowadzeniu równań wynikających z praw zachowania rozwijamy (uszczegóławiamy) je przez uwzględnienie w nich zależności wiążących wielkości związane z poszczególnymi elementami systemu Zależności wiążące są zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i spadku dla każdego poszczególnego elementu systemu (np.,...) Uwzględniamy również - przyjęte założenia - występujące w systemie tożsamości

16 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 16 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Systematyczny porządek: 1) wybór zmiennych; 2) zestawienie równań równowagi lub spójności; 3) uwzględnienie zależności wiążących, założeń, tożsamości a wynikowe równania zestawiamy w układ, w którym pozostawiamy jedynie wybrane przez nas zmienne niezależne i zależne

17 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 17 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przykłady modelowania fenomenologicznego (teoretycznego) Zawory regulacyjne Pomiar poziomu Pomiar temperatury Mieszadło Pole przekroju otwarcia zaworu A v Zbiornik LZbiornik R - Pole powierzchni przekroju obydwu zbiorników A - Idealne mieszanie w zbiornikach

18 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 18 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - Równania układu pomiarowego k h, k t – wzmocnienia przetworników pomiarowych - Obydwa zawory mają takie same charakterystyki przepływu i przyjmujemy, że k a – współczynniki przepływu - Prawo zachowania masy dla zbiorników L i R

19 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 19 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - Energia cieplna zgromadzona w objętości zbiorników T 0 - temperatura odniesienia, możemy przyjąć T 0 = 0, wówczas ρ, c – odpowiednio gęstość i ciepło właściwe wody - Dla przepływu przez kryzę – otwór przyjmiemy, że słuszna jest zależność pierwiastkowa P - spadek ciśnienia na kryzie – otworze, C d - stały współczynnik strat, A o – pole powierzchni kryzy - otworu

20 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 20 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - Ciśnienie hydrostatyczne cieczy na poziomie H poniżej powierzchni P a - ciśnienie atmosferyczne - Wypływ ze zbiornika R gdzie - Przepływ między zbiornikami L i R przy założeniu: H 1 > H 2

21 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 21 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - Zasada zachowania energii dla zbiornika L i R - Dzieląc przez ρc i różniczkując - Podstawiając oraz

22 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 22 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Całościowy model:

23 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 23 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Schemat blokowy

24 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 24 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Zmienne modelu: - Naturalny wybór zmiennych stanu – wyjścia integratorów - Zakłócenia – pole powierzchni otworu zaworu wypływowego ze zbiornika R, temperatury wody dopływającej - Sterowania – napięcia siłowników zaworów dopływów do zbiornika R Zmienne stanu: Zmienne sterowania:Zmienne zakłócenia: Zmienne wyjścia:

25 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 25 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Równania stanu: Równania wyjścia:

26 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 26 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Równania stanu nieliniowe: Linearyzacja w otoczeniu stacjonarnego punktu pracy: Dla naszego przykładu: 4 równania – 9 zmiennych !

27 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 27 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Jeżeli przyjąć np. wartości zmiennych sterowania i zmiennych zakłócenia Sterowania mogą zmieniać się w zakresie 0 – 10 V; Przyjmijmy: Otrzymamy:

28 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 28 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - Linearyzacja – zmienne przyrostowe w otoczeniu stacjonarnego punktu pracy: - Linearyzacja – rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu stacjonarnego punktu pracy:

29 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 29 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - Linearyzacja – jakobiany w stacjonarnym punkcie pracy równania stanu:

30 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 30 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - Linearyzacja – zlinearyzowane równanie stanu - Linearyzacja – jakobiany w stacjonarnym punkcie pracy równania wyjścia - Linearyzacja – zlinearyzowane równanie wyjścia

31 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 31 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Dla naszego przykładu

32 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 32 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Dla danych

33 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 33 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Otrzymamy

34 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 34 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Zlinearyzowany model przestrzeni stanu Ogólny schemat blokowy liniowego modelu przestrzeni stanu - ciągłego

35 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 35 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Modele liniowe – modele przestrzeni stanu z transmitancji Postać kanoniczna sterowalności (sterownika, regulatora) Transmitancja dana w postaci - wykonujemy pierwszy krok dzielenia wielomianów licznika i mianownika transmitancji - wprowadzamy zmienną pomocniczą

36 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 36 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. otrzymujemy - definiujemy zmienne stanu w dziedzinie zmiennej s - mnożymy każde z definicyjnych wyrażeń przez s i podstawiamy zmienne stanu w prawej stronie wyrażeń

37 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 37 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - wykonujemy odwrotne przekształcenie Laplacea ostatnich wyrażeń i wyrażenia na s n V(s) - równanie stanu w postaci macierzowej

38 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 38 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - wykonujemy odwrotne przekształcenie Laplacea na równaniu otrzymujemy - równanie wyjścia Uwagi: - terminologiczna: stopień licznika transmitancji = stopień mianownika transmitancji, mówimy transmitancja jest właściwa, system dynamiczny jest właściwy - terminologiczna: stopień licznika transmitancji < stopień mianownika transmitancji, mówimy transmitancja jest ściśle właściwa, system dynamiczny jest ściśle właściwy

39 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 39 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - macierz D – bezpośredniego sterowania pojawia się w modelu przestrzeni stanu tylko dla systemów właściwych; dla systemów ściśle właściwych macierz D nie występuje w modelu przestrzeni stanu - postać kanoniczna sterowalności jest bardzo efektywna w sensie liczby elementów niezerowych macierzy modelu - poza zerami i jedynkami elementy macierzy są takie same jak elementy transmitancji Uwagi c.d.:

40 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 40 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Schemat blokowy postaci kanonicznej sterowalności systemu SISO

41 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 41 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przykład – silnik prądu stałego Transmitancja w torze droga kątowa - napięcie Dla danych

42 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 42 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Schemat blokowy postaci kanonicznej sterowalności Natura fizyczna zmiennych stanu w przykładzie? Odpowiedź - jak powstawał model silnika

43 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 43 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przykład 3 – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez elastyczny wał

44 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 44 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Konwencja: - z II zasady dynamiki Newtona - z II prawa Kirchhoffa lub

45 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 45 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS 1 wejście: 1 wyjście: 5 zmiennych stanu:,,,,

46 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 46 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Zmienne modelu: - zmienne stanu Równania stanu: - zmienna wyjścia

47 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 47 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Równania stanu w postaci macierzowej: Równanie wyjścia: Równania wyjścia w postaci macierzowej:

48 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 48 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przykład 4 – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał Teraz Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS

49 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 49 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia Równania stanu w postaci macierzowej: Równanie wyjścia: Równania wyjścia w postaci macierzowej:

50 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 50 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Transmitancja:

51 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 51 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.

52 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 52 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przykład 5 – model małego silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał Model podsystemu elektrycznego Model podsystemu mechanicznego bez zmian - zmienne stanu - zmienna wyjścia Zmienne modelu:

53 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 53 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS Równania wyjścia w postaci macierzowej: Równania stanu w postaci macierzowej:

54 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 54 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Postać kanoniczna obserwowalności Transmitancja dana w postaci - wykonujemy pierwszy krok dzielenia wielomianów licznika i mianownika transmitancji - wprowadzamy zmienną pomocniczą

55 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 55 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. otrzymujemy - definiujemy zmienne stanu w dziedzinie zmiennej s

56 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 56 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - wykonujemy odwrotne przekształcenie Laplacea dla ostatnich zależności - mnożymy przez s - bierzemy pod uwagę otrzymujemy

57 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 57 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - równanie stanu w postaci macierzowej - równanie wyjścia w dziedzinie s stąd - równanie wyjścia w postaci macierzowej

58 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 58 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Schemat blokowy postaci kanonicznej obserwowalności systemu SISO

59 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 59 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przekształcenia podobieństwa gdzie, P – nieosobliwa macierz stałych (liczbowa) o wymiarze nxn Korzystając z przekształcenia podobieństwa możemy znaleźć model systemu wyrażony z użyciem nowych zmiennych stanu Możemy napisać: Mnożąc pierwsze równania lewostronnie przez P:

60 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 60 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Nowa postać: gdzie, Szczególne przekształcenie podobieństwa – związane z wartościami własnymi, wektorami własnymi macierzy A (lub A D )

61 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 61 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Równanie charakterystyczne dla modelu systemu po transformacji podobieństwa Wniosek: macierze A i A t mają takie same wartości własne Macierze tranzycji a przekształcenia podobieństwa: - system ciągły:

62 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 62 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - system dyskretny:

63 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 63 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przypadek 1: macierz A ma n różnych wartości własnych rzeczywistych n różnym wartościom własnym odpowiada n liniowo niezależnych wektorów własnych v i Związek wartości własnych i wektorów własnych lub

64 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 64 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Oznaczając diagonalną macierz wartości własnych przez biorąc pod uwagę: macierz A ma n różnych wartości własnych Wniosek: macierz A może być transformowana do postaci diagonalnej za pomocą transformacji podobieństwa czyli

65 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 65 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Model systemu po transformacji gdzie,

66 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 66 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Model systemu po transformacji dla systemu ciągłego dla i – tej zmiennej stanu ! zmienne stanu niezależne od siebie (odsprzężone)

67 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 67 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przypadek 2: macierz A ma wielokrotne wartości własne rzeczywiste Nie można zagwarantować liniowej niezależności wektorów własnych i wówczas macierz M może być osobliwa Postępowanie Jordana dla znalezienia n liniowo niezależnych wektorów własnych Niech wartość własna jest wielokrotna razy - definiujemy wektory rekursywnie przyjmując Tak znalezione wektory własne są nazywane uogólnionymi wektorami własnymi i są liniowo niezależne

68 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 68 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. - uogólnione wektory własne tworzą zbiór liniowo niezależnych wektorów gdzie, l jest liczbą różnych wartości własnych oraz - zachodzi gdzie, Macierz blokowo-diagonalna, macierz Jordana Blok (klatka) Jordana

69 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 69 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przypadek 3: macierz A ma wartości własne zespolone Załóżmy, bez utraty ogólności Odpowiadające wektory własne, tez zespolone sprzężone Macierz transformacji Postać kanoniczna Jordana po transformacji

70 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 70 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przykład 6 Dany jest model systemu Znaleźć model systemu wykorzystując macierz diagonalizującą wektorów własnych Równanie charakterystyczne

71 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 71 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Wartości własne Wektor własny dla Stąd i

72 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 72 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Rozwiązanie np. Podobnie Macierz diagonalizująca i odwrotna do niej

73 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 73 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przekształcenie podobieństwa daje nowy model przestrzeni stanu gdzie, Związki pomiędzy zmiennymi stanu Sprawdzić, że zmiana zmiennych stanu nie prowadzi do zmiany transmitancji

74 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 74 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przykład 7 – model małego silnika PS Korzystając z środowiska Matlab/Simulink znajdziemy wartości własne, wektory własne i macierz diagonalizującej transformacji podobieństwa

75 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 75 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.

76 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 76 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Macierze modelu po diagonalizującej transformacji podobieństwa

77 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 77 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przykład 8 Wartości własne Dwukrotna wartość własna

78 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 78 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Ponieważ istnieje tylko jeden wektor własny związany z Korzystając a Matlaba możemy policzyć niezależne wektory własne Uogólniony wektor własny

79 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 79 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Macierz transformacji Macierze modelu po diagonalizującej transformacji podobieństwa

80 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 80 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Przykład 9 Wartości własne Korzystając a Matlaba możemy policzyć niezależne wektory własne

81 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 81 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Macierz transformacji Macierze modelu po diagonalizującej transformacji podobieństwa

82 Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 82 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu


Pobierz ppt "Modelowanie i identyfikacja 2013/2014 Technologie modelowania – white box 1 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż."

Podobne prezentacje


Reklamy Google