Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki."— Zapis prezentacji:

1 Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki

2 Metody numeryczne Interpolacja dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki

3 Interpolacja Definicje Interpolacja jest to wstawienie do cudzego tekstu wyrazów, zwrotów, zdań, których pierwotnie nie zawierał; (przybliżone) oblicze, oszacowanie wartości (zwł. funkcji mat.) znajdujących się między dwiema znanymi wartościami. /kopalinski/D6DC7462CB749143C12565E30055DDD5.php Ekstrapolacja jest to wnioskowanie o tendencjach rozwojowych, stosunkach, warunkach, wartościach (zwł. funkcji mat.) na zewnątrz jakiegoś przedziału na podstawie znanych, zaobserwowanych tendencji, wartości itp. wewnątrz niego. Załóżmy że dane są wartości funkcji f(x) na zbiorze punktów x 0,x 1,…,x n zwanych węzłami interpolacji. Zadaniem interpolacji jest wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji f(x) zwanej funkcją interpolowaną w punktach nie będących węzłami interpolacji. Przybliżoną wartość funkcji f(x) obliczamy za pomocą funkcji F(x) zwanej funkcją interpolującą, która w węzłach ma te same wartości co funkcja interpolowana.

4 Interpolacja Definicje Funkcja interpolująca – przybliżenie zadanej funkcji musi przechodzić przez zadane punkty, inaczej niż w aproksymacji. Interpolację stosuje się najczęściej gdy nie znamy analitycznej postaci funkcji (jest ona tylko stablicowana) lub gdy jej postać analityczna jest zbyt skomplikowana. Funkcja interpolująca F(x) jest funkcją z pewnej klasy. Najczęściej będzie to wielomian algebraiczny, wielomian trygonometryczny, funkcja wymierna lub funkcja sklejana. W dalszej części wykładu ograniczymy się do przypadku gdy funkcja aproksymująca jest uogólnionym wielomianem. Przypomnienie: wielomian uogólniony jest kombinacją liniową pewnych funkcji bazowych q i (x), i=0,1,2,…,n. Szczególnym przypadkiem wielomianu uogólnionego jest klasyczny wielomian: q i (x)=x i, i=0,1,2,…,n.

5 Interpolacja Sformułowanie problemu Węzły interpolacji: xx0x0 x1x1 …xnxn yy0y0 y1y1 …xnxn (x 0,y 0 ) (x 1,y 1 ) (x n,y n ) To jest układ n+1 równań liniowych z n+1 niewiadomymi a 0,a 1,…,a n

6 Interpolacja Zapis macierzowy Układ równań: Oznaczenie: v ij =q j (x i )

7 Interpolacja Własności wielomianu interpolującego Wektor funkcji bazowych: Funkcja aproksymująca: Po podstawieniu rozwiązania z poprzedniego slajdu otrzymujemy: q(x) jest wektorem wierszowym zawierającym funkcje bazowe. Wartości tych funkcji zależą tylko od zmiennej niezależnej x. V jest macierzą kwadratową, której elementy zależą wyłącznie od wartości funkcji bazowych w węzłach interpolacji (x-ach) Wektor kolumnowy Y zależy od składowych y-kowych węzłów interpolacji

8 Interpolacja Własności uogólnionego wielomianu Mnożenie macierzy jest łączne: A(BC)=(AB)C Dlatego można napisać: Q n (x)=q(x)(V -1 Y)=(q(x)V -1 )Y Wprowadzamy oznaczenie: R n (x)=q(x)V -1 R n (x) jest wektorem wierszowym o n+1 składowych: R n (x)=[l 0,l 1,…,l n ] Wszystkie te składowe są funkcjami zmiennej niezależnej x i zależą od składowych x-owych węzłów interpolacji: l i =l i (x,x 0, x 1,…, x n ), i=0,1,2,…,n. Ostatecznie: Q n (x)= R n (x)Y. Oznacza to, że poszukiwany uogólniony wielomian interpolujący jest liniową kombinacją składowych y-kowych węzłów interpolacji. Współczynnikami w tej liniowej kombinacji są funkcje l 0,l 1,…,l n.

9 Interpolacja Klasyczny wielomian interpolacyjny Pytanie: czy można wyznaczyć analitycznie funkcje l i, i=0,1,2,…,n? Jeżeli się to uda, to wtedy wyznaczanie wartości wielomianu interpolującego sprowadzi się do podstawiania do wzoru. Z tym (tzn. z obliczaniem wartości wyrażenia) komputery radzą sobie najlepiej. Jest to możliwe dla wybranych wektorów funkcji bazowych. W tym zbiorze ważnym przypadkiem jest klasyczny wielomian interpolacyjny q i (x)=x i, i=0,1,2,…,n:

10 Interpolacja Wyznacznik Vandermondea Macierz V przypomina macierz X z wykładu o aproksymacji. Istotna różnica: V jest zawsze macierzą kwadratową. Można obliczyć jej wyznacznik. Jest to znany z algebry wyznacznik Vandermondea. Jak widać z wzoru |V| 0 wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne x- owe węzłów interpolacji są różne. Jest to warunek istnienia i jednoznaczności rozwiązania

11 Interpolacja Wzór Lagrangea Twierdzenie 1 Jeżeli |V| 0 to wtedy zadanie interpolacji wielomianowej posiada jednoznaczne rozwiązanie, czyli istnieje tylko jeden wielomian L n (x) stopnia nie większego niż n spełniający warunek L n (x i )=y i, i=0,1,2,…,n Szukany wielomian ma postać: Powyższy wzór nosi nazwę wzoru Lagrangea Funkcje Lagrangea:

12 Interpolacja Przykład 1: n=1 Jest to znany ze szkoły wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Zarys dowodu: –Jest to prosta niewątpliwie równanie linii prostej –y(x 0 )=y 0, y(x 1 )=y 1 xx0x0 x1x1 yy0y0 y1y1

13 Interpolacja Przykład 2: n=2 Jest to na pewno parabola y(x 0 )=y 0, y(x 1 )=y 1, y(x 2 )=y 2 Jest to zatem to, czego szukaliśmy. xx0x0 x1x1 x2x2 yy0y0 y1y1 y2y2

14 Interpolacja Przykład 3: n=2 (historyczny) Wniosek: poprawianie kartkówek przedświątecznych nie musi być zajęciem bardzo wyczerpującym. x01 y00a


Pobierz ppt "Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google