Publiczne Gimnazjum im. Polskich Noblistów w Drążnej

Prezentacja na temat: "Publiczne Gimnazjum im. Polskich Noblistów w Drążnej"— Zapis prezentacji:

1

2 Publiczne Gimnazjum im. Polskich Noblistów w Drążnej
Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Publiczne Gimnazjum im. Polskich Noblistów w Drążnej ID grupy: 98_52_mf_g2 Opiekun: Mirosław Jadrych Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Liczba pi Semestr/rok szkolny: V/

3 = 3,

4 Spis treści Wstęp Informacje o liczbie pi Doświadczenia z liczbą pi Dzień liczby pi

5 Wstęp – CZYM SIĘ ZAJMOWALIŚMY
W naszej prezentacji chcielibyśmy przedstawić informacje dotyczące liczby π. Jest to efekt naszej pracy nad projektem polegającej na zbieraniu informacji o liczbie π, poszukiwaniu praktycznych sposobów jej wyznaczania, a także naszych doświadczeń zdobytych podczas zorganizowanego 14 marca 2012r. Dnia Liczby π. Całość naszego projektu zamknie prezentacja jego efektów podczas IX Festiwalu Nauki w naszej szkole 3 czerwca 2012r..

6 Wstęp – JAK PRACOWALIŚMY
W trakcie pierwszych spotkań poświęconych pracy nad liczbą pi dokonaliśmy podziału zadań, za które każdy z nas będzie odpowiadał. W trakcie pracy natrafialiśmy na sytuacje, w których musieliśmy się wzajemnie wspomagać. Ostatecznie przygotowaniem i prezentacją podczas Dnia liczby pi zajęli się głównie Adam Torous i Filip Szklarek z opiekunem grupy.

7 Wstęp – plAN NASZYCH DZIAŁAŃ

8 Informacje o liczbie pi
Liczba π jest liczbą niewymierną, określającą stosunek długości okręgu do długości jego średnicy. W przybliżeniu wynosi ona 3, i tak do nieskończoności. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby π z dokładnością do 35 cyfr po przecinku.

9 Informacje o liczbie pi
Symbol π został pierwszy raz użyty w 1706 roku przez matematyka angielskiego Wiliama Jonesa w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód). W powszechne użycie wszedł dopiero w połowie XVIII wieku po wydaniu Analizy L. Eulera. Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w 1761r. Johann Heinrich Lambert. Jest ona liczbą przestępną, co w 1882r. wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielo- mian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

10 Informacje o liczbie pi
Liczba π przechodziła wiele przemian. Od ustalonej przez Archimedesa wartości 22/7, która dawała dwa rzędy dziesiętne po przecinku, dochodzi do rozwinięcia dziesiętnego z 707 cyframi po przecinku, danego przez Shanksa. Jeszcze większą dokładność rozwinięcia dziesiętnego liczby π uzyskano dzięki zastosowaniu maszyn cyfrowych.

11 Historyczne oszacowania liczby pi

12

13

14 Wyznaczanie Liczby pi Liczba π może zostać wyznaczona na wiele sposobów … Oto kilka z nich Szereg Eulera Szereg Madhava’ego, Gregory’ego, Reihe’a i Leibniza Szereg Sharpa

15 Wyznaczanie Liczby pi

16 Mnemotechnika liczby Pi
Zapamiętanie kilkunastu początkowych cyfr po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby π, nie jest sprawą łatwą, lecz tutaj matematyce przychodzi na pomoc poezja. Znane są wiersze, które bardzo prosto rozwiązują ten problem. Licząc litery w poszczególnych wyrazach otrzymujemy kolejne cyfry rozwinięcia liczby π. Oto niektóre z wierszy: Kazimierz Cwojdziński (pisownia wiersza dawna) Kuć i orać w dzień zawzięcie, bo plonów niema bez trudu. Złocisty szczęścia okręcie kołyszesz.... Kuć. My nie czekajmy cudu. Robota. To potęga ludu.

17 Mnemotechnika liczby Pi
Inwokacja Witolda Rybczyńskiego do Mnemozyny, bogini pamięci, ogłoszona w „Problemach” (nr 8/1949), myślnik oznacza cyfrę zero. „Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć, gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami.”

18 Liczba Pi znana nam z lekcji matematyki
W czasie zajęć z matematyki zetknęliśmy się już z liczbą π. Pojawia się ona we wzorach związanych z kołami, okręgami i elipsami. r - promień Długość okręgu: l = 2r Pole koła: P = r2 Długość łuku: Pole wycinka kołowego: r Ł

19 Liczba Pi znana nam z lekcji matematyki
r r – promień a = ½ długości osi wielkiej b = ½ długości osi małej Objętość kuli: Pole powierzchni kuli: Pole elipsy: Obwód elipsy: b a

20 Liczba pi w sztuce Liczba π była inspiracją wielu artystów i reżyserów. Darren Aronofsky poruszył jej temat w swoim filmie Pi. W literaturze Pi jest imieniem bohatera powieści Yanna Martela – Życie Pi. Rozwinięcie binarne liczby π (jako zaszyfrowana informacja dotycząca sensu wszechświata) odgrywa kluczową rolę w zakończeniu znanej powieści s-f Kontakt Carla Sagana. Fascynacja π jako kluczem czy ważnym elementem „wiedzy tajemnej” bywa obecna w wielu paranaukowych czy ezoterycznych sektach i stowarzyszeniach, poczynając od XVIII w. W latach 80. XX w. w Polsce emitowany był telewizyjny program edukacyjny przeznaczony dla dzieci i młodzieży pt. Przybysze z Matplanety, w którym jednym z bohaterów był nieśmiały i tchórzliwy Pi.

21 Liczba pi w sztuce Wisława Szymborska Liczba Pi
Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy. Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem cztery sześć do czegokolwiek dwa sześć cztery trzy na świecie. Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne. Korowód cyfr składających się na liczbę Pi nie zatrzymuje się na brzegu kartki, potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze, przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo, przez całą nieba wzdętość i bezdenność. O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety! Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni! A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście mój numer telefonu twój numer koszuli rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr, w którym słowiczku mój a leć, a piej oraz uprasza się zachować spokój, a także ziemia i niebo przeminą, ale nie liczba Pi, co to to nie, ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć, nie byle jakie osiem, nieostatnie siedem, przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność do trwania.

22 Ciekawostki o liczbie pi
Liczba zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π jest pierwsza. 1 rok świetlny równa się w przybliżeniu π·107·c (km), gdzie c oznacza prędkość światła (w kilometrach na sekundę). Liczba sekund w roku wynosi 365·24·60·60= , co w przybliżeniu wynosi właśnie π·107·c. Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.

23 Ciekawostki o liczbie pi
W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie liczby π z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych. Ludolf van Ceulen na swoim nagrobku wyryte ma 35 miejsc po przecinku liczby π - tyle ile sam wyliczył. 14 marca 2004 roku chory na autyzm Daniel Tammet wyrecytował z pamięci cyfr rozwinięcia liczby π.

24 Ciekawostki o liczbie pi
W 2006 roku Akira Haraguchi wyrecytował z pamięci 100 tys. miejsc po przecinku liczby π. Zajęło mu to 16 godzin. 3 sierpnia 2010 Alexander J. Yee i Shigeru Kondo ukończyli obliczenia liczby π z dokładnością do cyfr po przecinku. Obliczenia na domowym komputerze trwały 90 dni. Skompresowany wynik zajął 2,7 TB miejsca na dysku! 14 marca – nieoficjalne święto liczby π i dzień urodzin Alberta Einsteina 10 listopada (lub 9 - jeśli jest to rok przestępny) przypada 314 dzień roku

25 Rektyfikacja okręgu Prace Lamberta i Lindemanna ostatecznie rozstrzygnęły, że niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła i choć nie ma on ścisłego rozwiązania, to istnieją konstrukcje przybliżone. Powiązanym, również niemożliwym do rozwiązania problemem, jest problem rektyfikacji okręgu, do którego również istnieją konstrukcje przybliżone, z których za jedną z najprostszych uchodzi konstrukcja Adama Adamandego Kochańskiego.

26 Rektyfikacja okręgu wg Kochańskiego

27 Doświadczenia z liczbą pi – okręgi na boisku
Realizując projekt zdecydowaliśmy się na wykonanie kilku doświadczeń zmierzających do wyznaczenia przybliżonej wartości liczby π. Narysowaliśmy na boisku szkolnym kilku dużych okręgów, a następnie porównaliśmy ich obwody ze średnicami. Oto wyniki naszych pomiarów i obliczeń. średnica w [m] zmierzony obwód w [m] wyznaczona wartość liczby pi 1 3,02 3,020 2 6,2 3,100 4 12,5 3,125

28 Doświadczenia z liczbą pi – okręgi na boisku

29 Doświadczenia z liczbą pi – okręgi na boisku

30 Doświadczenia z liczbą pi – okręgi na boisku

31 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda Monte CArlo
Metodę Monte Carlo można określić jako metodę polegającą na generowaniu zmiennych losowych w celu oszacowania parametrów ich rozkładu. Zakłada się, że to generowanie realizowane jest za pomocą komputera, chociaż w niektórych przypadkach można uzyskać dobre rezultaty posługując się urządzeniami typu: ruletka, kartka papieru i ołówek. Za datę narodzin idei wykorzystania zjawisk losowych w procesach obliczeniowych przyjęto rok Wtedy ukazała się praca Halla o obliczaniu liczby pi za pomocą losowych rzutów igły na płaszczyznę papieru, poliniowanego równoległymi prostymi. Istota zagadnienia polega na tym, żeby eksperymentalnie zrealizować zdarzenie, którego prawdopodobieństwo wyraża się za pomocą liczby π i w przybliżeniu oszacować to prawdopodobieństwo.

32 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda Monte CArlo
Wykorzystanie tej idei do różnych zastosowań nie było w sposób istotny rozwijane aż do 1944 roku. Jon van Neumann, w związku z pracami nad bombą atomową, zaproponował szerokie wykorzystanie aparatu rachunku prawdopodobieństwa dla rozwiązania praktycznych zagadnień. Nazwa omawianej metody pochodzi od kryptonimu "Monte Carlo "nadanego tajnym obliczeniom prowadzonym w USA podczas II Wojny Światowej, na potrzeby broni jądrowej. Początkowo metodę „Monte Carlo” stosowano przede wszystkim do rozwiązywania zagadnień fizyki neutronowej. Później zaczęto stosować tę metodę w szerokiej klasie bardzo zróżnicowanych w swojej treści zadań fizyki statystycznej.

33 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda Monte CArlo
Do dziedzin wiedzy, w których w znacznym stopniu korzysta się z metody Monte Carlo, należy zaliczyć: teorię kolejek, teorię gier, ekonomię matematyczną, teorię przesyłania sygnałów w warunkach zakłóceń. Wiele zawdzięcza jej również rozwój metod numerycznych. Duży wkład w stosowanie metod Monte Carlo miał także polski matematyk Stanisław Marcin Ulam. Był twórcą pierwszych metod numerycznych np. Metody Monte Carlo. Był też jednym z pierwszych naukowców, którzy wykorzystywali w swych pracach komputer. Metody komputerowe zostały użyte przez Ulama do modelowania powielania neutronów oraz rozwiązania problemu drgającej struny. Był współtwórcą amerykańskiej bomby termojądrowej w ramach projektu Manhattan.

34 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda Monte CArlo
Ulam był współtwórcą amerykańskiej bomby termojądrowej w ramach projektu Manhattan. Najpierw stosując swe innowacyjne metody matematyczne dowiódł, że koncepcja obrana przez kierownika tego projektu była błędna, a następnie zaproponował własne rozwiązanie, które doprowadziło projekt do sukcesu. Bomba tej konstrukcji nosi nazwę projektu Tellera-Ulama, od jej twórców węgierskiego fizyka Edwarda Tellera i Stanisława Ulama. Dokumenty z tamtego okresu są ciągle utajnione, więc jego wkład w ogólne dzieło pozostaje mało znany. My bomby nie budowaliśmy, ale za to spróbowaliśmy zastosować do obliczania liczby π metodę Monte Carlo.

35 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda Monte CArlo
Trochę teorii na początek, czyli, jak będziemy wyznaczali wartość liczby π. I zabieramy się do pracy...

36 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda Monte CArlo

37 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda Monte CArlo

38 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda Monte CArlo

39 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda Monte CArlo
W czasie zajęć obserwowaliśmy także obliczanie liczby pi metodą Monte Carlo z użyciem programu piMC – oto kilka przybliżeń, jakie uzyskaliśmy w tym programie.

40 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda Monte CArlo
W czasie zajęć obserwowaliśmy także obliczanie liczby pi metodą Monte Carlo z użyciem programu piMC – oto kilka przybliżeń, jakie uzyskaliśmy w tym programie.

41 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda Monte CArlo

42 Doświadczenia z liczbą pi – Igła Buffona
W statystyce matematycznej igła Buffona jest jednym z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon, a w 1777 podał on jego rozwiązanie. Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Narysujmy na płaszczyźnie rodzinę prostych równoległych co 1cm. Rzucajmy teraz na płaszczyznę całkowicie przypadkowo igłę o długości 1cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła ta przetnie którąś z linii? Prawdopodobieństwo to wynosi 2/π.

43 Doświadczenia z liczbą pi – Igła Buffona
Wynik ten pozwala na zbudowanie ciekawego algorytmu obliczania wartości π. Jeśli mianowicie będziemy rzucać na tak poliniowaną płaszczyznę wielką liczbę igieł, to stosunek liczby igieł przecinających którąś z linii do liczby igieł nieprzecinających żadnej z nich będzie tym bliższy liczbie 2/π, im więcej igieł rzucimy. Aby obliczyć π z dowolną dokładnością wystarczy zatem dostatecznie wiele razy rzucić igłą! My zamiast igieł użyliśmy w doświadczeniu bambusowych patyczków.

44 Doświadczenia z liczbą pi – Igła Buffona

45 Doświadczenia z liczbą pi – Igła Buffona

46 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda aproksymacji
W III w.p.n.e Archimedes pisał tak: W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych. Oszacował liczbę π z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody aproksymacji bazującej na zależnościach geometrycznych. Uzyskał ten wynik wyznaczając długości boków dwóch 96-kątów foremnych - opisanego na okręgu i wpisanego w ten sam okrąg. Następnie obliczył średnią arytmetyczną obwodów tych wielokątów, otrzymując przybliżenie długości okręgu.

47 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda aproksymacji
Aproksymacja to proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym. Jeśli nieznany jest obwód koła, to w przybliżeniu można go ustalić, obliczając obwód wielokąta wpisanego w okręg i obwód wielokąta opisanego na tym samym okręgu. Obwód koła, równy 2πr, jest zawsze dłuższy niż obwód wielokąta wpisanego, a krótszy niż obwód wielokąta opisanego na tym okręgu.

48 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda aproksymacji
W czasie naszych zajęć najpierw spróbowaliśmy wypróbować różne sposoby wyliczania liczby pi. Najpierw chcieliśmy oszacować pi poprzez wpisywanie do koła o podanym promieniu możliwie najmniejszych trójkątów, a później prostokątów i porównać sumę pól tych figur z polem koła.

49 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda aproksymacji
Dostrzegliśmy niestety kilka wad tej metody: jest dość żmudna, zawiera wiele błędów (np. związanych z pomiarami długości boków) i przede wszystkim jej dokładność zależy od stopnia „wypełnienia” koła figurami.

50 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda aproksymacji
Postanowiliśmy więc wartość liczby π spróbować oszacować za pomocą wielokąta foremnego wpisanego w okrąg. Uzyskiwane w ten sposób wyniki zależały oczywiście od tego, ile boków miał wpisywany wielokąt. Doszliśmy do wniosku, że tą metodą można zbliżyć się do wyznaczenia liczby pi, ale wielokąt musiałby mieć nieskończenie wiele boków.

51 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda aproksymacji
Najważniejszą jednak wadą tych rozwiązań jest fakt, że najpierw trzeba znać wartość liczby π, żeby móc porównać pole koła z uzyskaną sumą pól figur lub polem wielokąta foremnego. Dodatkowo zawsze zostanie jakiś element koła, który nie należy do żadnego wielokąta, a co sprawia, że π nie jest wyznaczone możliwie najdokładniej. Badając ten temat odkryliśmy metodę zastosowaną przez Archimedesa i wypróbowaliśmy ją z zastosowaniem programu geometrii dynamicznej Geogebra. W tabeli zamieszczamy niektóre z uzyskanych przez nas wyników.

52 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda aproksymacji
Liczba boków Pole wielokąta opisanego Pole wielokąta wpisanego Promień koła Wyznaczona wartość π Różnica π-wyznaczona wartość π 3 13,97 3,38 1,65 3, -0, 4 1069,87 534,93 16,35 3, 0, 5 9,65 6,31 1,63 3, 0, 6 60,86 45,65 4,19 3, 0, 7 180,14 146,23 7,31 3, 0, 8 48,83 42,05 3,86 3, 0, 9 105,76 93,39 5,68 3, 0, 10 201,7 182,44 7,88 3, 0, 12 9,32 8,69 1,7 3, 0, 15 130,9 125,24 6,41 3, 0,

53 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda aproksymacji
Liczba boków Pole wielokąta opisanego Pole wielokąta wpisanego Promień koła Wyznaczona wartość π Różnica π-wyznaczona wartość π 16 169,15 161,95 7,26 3, 0, 18 138,79 135,64 6,62 3, 0, 20 272,2 265,54 9,27 3, 0, 25 73,64 72,48 4,83 3, 0, 30 815,68 805,44 16,06 3, -0, 36 62,63 62,15 4,46 3, 0, 45 447,45 445,27 11,92 3, 0, 75 94,84 94,7 5,49 3, -0, 96 7747,4 7739,11 49,65 3, 0, 280 538852,52 538784,69 414,14 3, 0,

54 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda aproksymacji
Jak widać w zestawieniu otrzymanych wyników udało nam się zbliżyć do wartości liczby π z dokładnością do stutysięcznej części. Osiągnęliśmy wynik lepszy od wyniku Archimedesa!

55 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda aproksymacji

56 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda aproksymacji

57 Doświadczenia z liczbą pi – Metoda aproksymacji

58 Obliczanie Pi w arkuszu kalkulacyjnym
Realizując nasz projekt natknęliśmy się na metodę Monte Carlo służącą m.in. szacowaniu wartości liczby π. Okazało się, że w dość prosty sposób można zastosować do tej metody arkusz kalkulacyjny. Wystarczy wylosować najpierw współrzędne punktów z zakresu (-1; 1), a następnie sprawdzić, czy leżą one wewnątrz koła o promieniu 1 (czyli, sprawdzić, czy x²+y²<1). Teraz wystarczyło tylko zliczyć, ile takich punktów leży w okręgu, podzielić przez liczbę wszystkich wylosowanych punktów i pomnożyć przez 4. Wynik – to oszacowanie liczby π. Im więcej punktów wylosowaliśmy, tym lepsze oszacowanie uzyskiwaliśmy.

59 Obliczanie Pi w arkuszu kalkulacyjnym

60 Obliczanie Pi w arkuszu kalkulacyjnym

61 Obliczanie Pi w arkuszu kalkulacyjnym
Poniższy wykres przedstawia przykładowe 20 wyników uzyskanych w opracowanym arkuszu kalkulacyjnym dla próby losowanych 4000 punktów i punktów. Jak widać dokładność uzyskiwanego wyniku zwiększa się wraz z liczbą losowanych punktów.

62 Dzień liczby Pi w naszej szkole
W trakcie realizacji projektu zdecydowaliśmy się przedstawić jego efekty całej społeczności szkolnej. Doskonałą do tego datą okazał się 14 marca obchodzony jako Dzień liczby π. Nasi koledzy z zespołu projektowego przygotowali prezentację o liczbie π, a później zaprosiliśmy wszystkich uczniów naszej szkoły do matematycznych zmagań z ciekawymi zadaniami. Bezkonkurencyjni w rozwiązywaniu zadań okazali się uczniowie klas III, z klasą IIIB na czele. Dla wyróżniających się uczniów i klas były specjalne nagrody.

63 Dzień liczby Pi w naszej szkole - zadania
Przykładowe zadania z Dnia liczby π Rozwiąż rebusy: WAMPIR KOPIARKA ZAPIS Znajdź liczbę czterocyfrową, w której cyfra jedności jest sześć razy większa od cyfry tysięcy i o jeden mniejsza od cyfry setek. Suma cyfr tej liczby wynosi 14. Otrzymana liczba to rok, w którym po raz pierwszy użyto symbolu π. W którym to było roku? 1706

64 Dzień liczby Pi w naszej szkole - prezentacja

65 Dzień liczby Pi w naszej szkole - prezentacja

66 Dzień liczby Pi w naszej szkole - prezentacja

67 Dzień liczby Pi w naszej szkole - prezentacja

68 Dzień liczby Pi w naszej szkole - prezentacja

69 Dzień liczby Pi w naszej szkole - prezentacja

70 Dzień liczby Pi w naszej szkole - prezentacja

71 Dzień liczby Pi w naszej szkole - prezentacja

72 Dzień liczby Pi w naszej szkole - prezentacja

73 ŹRÓDŁA W czasie realizacji projektu korzystaliśmy z różnych źródeł informacji. Główne z nich wymieniamy poniżej. publications.com/Bible_Commentary/Pi_In_The_Bible.html

74 ŹRÓDŁA oraz tutaj A także z naszego podręcznika Matematyka z plusem wydawnictwa GWO i innych źródeł.

75 Nasz zespół

76