Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 Rozkłady wywodzące się z rozkładu normalnego standardowego Bardzo ważną rolę w statystyce odgrywają trzy rozkłady zmiennych losowych bazujące na zmiennych.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 Rozkłady wywodzące się z rozkładu normalnego standardowego Bardzo ważną rolę w statystyce odgrywają trzy rozkłady zmiennych losowych bazujące na zmiennych."— Zapis prezentacji:

1 1 Rozkłady wywodzące się z rozkładu normalnego standardowego Bardzo ważną rolę w statystyce odgrywają trzy rozkłady zmiennych losowych bazujące na zmiennych o standardo- wych rozkładach normalnych. Są to następujące rozkłady: (Chi-kwadrat) 2.t-Studenta 3.F-Fishera-Snedecora. Ze statystykami opartymi na tych rozkładach związane są takie działy statystyki jak: przedziały ufności, weryfikacja hipotez, analiza wariancji i regresji.

2 2 Rozkład Chi-kwadrat Zmienna losowa X ma rozkład Chi-kwadrat Pearsona, jeżeli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa dana jest wzorem: Wielkość v występująca w podanym wyżej wzorze jest jednocześnie wartością oczekiwaną tej zmiennej, a jej podwojona wartość jest wariancją zmiennej:

3 3 Rozkład Chi-kwadrat (c.d.) Jeżeli zmienne x i mają wszystkie standardowy rozkład normalny N(0; 1) i są niezależne, to zmienna: ma rozkład chi-kwadrat. Liczbę v nazywamy liczbą stopni swobody, wskazuje ona liczbę niezależnych składników zmiennej, jest jednocześnie wartością oczekiwaną tej zmiennej losowej. Wariancja tej zmiennej jest równa 2v.

4 4 Rozkład Chi-kwadrat (c.d.) Poniżej podane są wykresy funkcji gęstości prawdopodo- bieństwa zmiennej dla trzech wybranych stopni swobody.

5 5 Rozkład t-Studenta Zmienna losowa t ma rozkład t-Studenta, jeśli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa dana jest wzorem: Liczba v jest liczbą stopni swobody, a parametrami rozkładu tej zmiennej losowej są odpowiednio:

6 6 Rozkład t-Studenta (c.d.) Jeżeli zmienne losowe są nie- zależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to zmienna: ma rozkład t-Studenta z liczbą stopni swobody v.

7 7 Rozkład t-Studenta (c.d.) Poniżej podane są przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu t-Studenta dla trzech wybranych stopni swobody.

8 8 Rozkład F-Fishera-Snedecora Zmienna losowa X ma rozkład F-Fishera-Snedecora, jeżeli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa dana jest wzorem: gdzie u i v są liczbami stopni swobody. Parametrami zmiennej losowej F-Fishera-Snedecora są odpowiednio:

9 9 Rozkład F-Fishera-Snedecora (c.d.) Jeżeli zmienne losowe i są niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to zmienna: ma rozkład F-Fishera-Snedecora z liczbami stopni swobody u i v.

10 10 Rozkład F-Fishera-Snedecora (c.d.) Poniżej podane są przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu F-Fischera-Snedecora dla trzech wybranych par stopni swobody

11 11 Wielowymiarowe zmienne losowe

12 12 Wprowadzenie Niech E będzie zbiorem zdarzeń elementarnych danego ekspery- mentu. Układ n funkcji (X 1, X 2,..., X n ) przyporządkowujących każdemu zdarzeniu elementarnemu e E n liczb rzeczywistych (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy zmienną losową n-wymiarową. Przykład: W badaniach sytuacji finansowej rodzin analizujemy takie cechy jak: x 1 - liczbę członków rodziny; x 2 - dochód na członka; x 3 - liczbę izb w mieszkaniu. Wyniki pomiarów dla poszczególnych rodzin, uporządkowane w podany wyżej sposób można traktować jako realizację 3-wymia- rowej zmiennej losowej (X 1, X 2, X 3 ).

13 13 Dwuwymiarowe zmienne losowe Zmienne losowe (dwuwymiarowe) wielowymiarowe mogą być zarówno skokowe jak i ciągłe. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) jest typu skokowego, jeżeli przyjmuje skończoną lub przeliczalną liczbę wartości (x i, y j ) z odpowiednimi prawdopodobieństwami p ij. Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego może być określony funkcją rozkładu prawdopodobieństwa:

14 14 Dwuwymiarowe zmienne losowe Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego może być także określony funkcją dystrybuanty :

15 15 Przykład liczbowy Rozpatrzmy dwuwymiarową zmienną losową (X,Y), gdzie X jest liczbą osób w rodzinie, a Y liczbą izb w mieszkaniu. Niech f.r.p. tej zmiennej będzie dana tabelką 12 3 p i. 1 0,06 0,030,04 0,13 2 0,07 0,040,13 0,24 3 0,07 0,060,20 0,33 4 0,05 0,120,13 0,30 p.j 0,25 0,250,50 1,00 X Y

16 16 Rozkłady brzegowe Rozkład jednej tylko zmiennej, X lub Y, bez względu na rozkład drugiej, będziemy nazywali rozkładem brzegowym tej zmiennej. Rozkłady brzegowe są rozkładami jednowymiarowymi, a ich f.r.p. określone są następująco:

17 17 Niezależność zmiennych losowych Dwuwymiarowe zmienne losowe skokowe (X,Y) są niezależne, jeżeli: dla każdego i,j. Dla dwuwymiarowych zmiennych losowych dowolnego typu warunek niezależności można zdefiniować następująco: zmienne losowe (X,Y) są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy F(x,y)=F(x) F(y)

18 18 Rozkłady warunkowe W przypadku rozkładów dwuwymiarowych istnieje możli- wość określenia rozkładu jednej zmiennej pod warunkiem, że druga zmienna przyjmie określone wartości. Warunkowe funkcje rozkładu prawdopodobieństwa określone są następująco:

19 19 Warunkowe funkcje prawdopodobieństwa Obliczając warunkowe f.r.p. dla zmiennej losowej Y w naszym przykładzie otrzymamy: ,46 0,230, ,29 0,170, ,21 0,180, ,17 0,400,43 1

20 20 Parametry rozkładu dwuwymiarowej zmiennej losowej Momentem zwykłym rzędu k+l (k, l = 0, 1,...) dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) typu skokowego nazywamy wyrażenie: Z powyższego wynika, że istnieją dwa momenty rzędu pierwszego m 10 i m 01, przy czym m 10 =EX oraz m 01 =EY, tym samym momenty te są wartościami oczekiwanymi w rozkładach brzegowych zmiennych X i Y.

21 21 Parametry rozkładu (c.d.) Podobnie istnieją trzy momenty rzędu drugiego: m 20 =EX 2 ; m 02 =EY 2 ; m 11 =EXY Przykład: Obliczając momenty rzędu pierwszego i drugiego w naszym przykładzie otrzymujemy: m 10 =EX=1 0, , , ,30 = 2,8 m 01 =EY=1 0, , ,50 = 2,25 m 20 =EX 2 =1 2 0, , , ,30 = 0,13+0,96+2,97+4,80 = 8,86 m 02 =EY 2 =1 2 0, , ,50 = 0,25 + 1,00 + 4,50 = 5,75 m 11 =EXY=1 1 0, , , , , , , , , , , ,13 = 0,24 + 1,08 + 2,37 + 2,72 = 6,41

22 22 Parametry rozkładu (c.d.) Momentem centralnym rzędu k+l (k, l = 0, 1,...) dwuwy- miarowego rozkładu zmiennej losowej (X,Y) typu skokowego nazywamy wyrażenie:

23 23 Obliczanie momentów centralnych Z definicji momentu centralnego wynika, że: Istnieje jeszcze jeden moment centralny rzędu drugiego: Moment ten nazywamy kowariancją i oznaczamy symbolem CXY.

24 24 Związki między momentami Między momentami centralnymi a zwykłymi zachodzą związki: Można udowodnić, że jeżeli zmienne losowe (X,Y) są niezależne, to kowariancja jest równa zero. O zmiennych (X,Y), dla których CXY=0 mówimy, że są nieskorelowane.

25 25 Współczynnik korelacji Z kowariancją związany jest jeszcze jeden parametr rozkładu dwuwymiarowego, tzw. współczynnik korelacji zmiennych losowych (X,Y): Z własności kowariancji wynika następująca własność współczynnika korelacji: Współczynnik korelacji jest miarą siły związku między zmiennymi losowymi.

26 26 Obliczenia momentów centralnych i współczynnika korelacji Korzystając ze związków między momentami otrzymujemy w naszym przykładzie : Możemy już obliczyć współczynnik korelacji:

27 27 Warunkowe wartości oczekiwane Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y przy warunku, że zmienna X = x i nazywamy wyrażenie: Analogicznie definiujemy warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X:

28 28 Obliczanie warunkowych wartości oczekiwanych Obliczmy warunkowe wartości oczekiwane zmiennej losowej Y w naszym przykładzie. Kolejno otrzymujemy: E(Y/X=1)=1 0,46+2 0,23+3 0,31=1,85 E(Y/X=2)=1 0,29+2 0,17+3 0,54=2,25 E(Y/X=3)=1 0,21+2 0,18+3 0,61=2,40 E(Y/X=4)=1 0,17+2 0,40+3 0,43=2,26

29 29 Funkcja regresji I rodzaju Warunkowe wartości oczekiwane zmiennej Y zależą od wartości zmiennej X, są pewną funkcją tej zmiennej. Funkcję tę możemy zapisać następująco: Tak określoną funkcję nazywamy funkcją regresji I rodzaju zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X. W naszym przykładzie funkcję tę można zapisać następująco:

30 30 Wykres funkcji regresji I rodzaju

31 31 Funkcja regresji II rodzaju W praktyce najwygodniej jest zastąpić nieliniowe krzywe regresji I rodzaju funkcjami liniowymi, jeżeli tylko takie przybliżenie jest wystarczające. Spośród wszystkich możliwych prostych wybieramy taką, dla której średnie odchylenie kwadratowe wartości danej zmiennej od tej prostej jest minimalne:

32 32 Funkcja regresji II rodzaju (c.d.) Rozwiązując ten warunek otrzymujemy : Parametr b nazywamy współczynnikiem regresji liniowej zmiennej Y względem X. W naszym przykładzie otrzymujemy: Tym samym prosta regresji ma postać:

33 33 Wykres funkcji regresji II rodzaju


Pobierz ppt "1 Rozkłady wywodzące się z rozkładu normalnego standardowego Bardzo ważną rolę w statystyce odgrywają trzy rozkłady zmiennych losowych bazujące na zmiennych."

Podobne prezentacje


Reklamy Google