METODY NUMERYCZNE Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych

Prezentacja na temat: "METODY NUMERYCZNE Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych"— Zapis prezentacji:

1 METODY NUMERYCZNE Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Zygmunt Ciota, pok web: Literatura 1. L.O. Chua, P.M. Lin: „Komputerowa analiza układów elektronicznych. Algorytmy i metody obliczeniowe” 2. Bjorck, G. Dahlquist: „Metody numeryczne” 3. Z. Korzec: „Układy półprzewodnikowe. Analiza i projektowanie przy użyciu maszyn cyfrowych”

2 Droga Zbiór gałęzi (krawędzi) b1, b2, … bn w grafie jest drogą miedzy wierzchołkami Vj i Vk , jeżeli gałęzie te można następująco uporządkować: - kolejne gałęzie bi i bi+1 mają zawsze wspólny wierzchołek, żaden wierzchołek nie jest wierzchołkiem końcowym więcej niż dwóch gałęzi zbioru, Vj jest wierzchołkiem końcowym dokładnie jednej gałęzi zbioru, tak samo jak i Vk. Graf spójny Graf jest spójny, jeżeli istnieje droga miedzy dwoma dowolnymi wierzchołkami grafu. Cykl (obwód) Wyodrębniamy z grafu podrgaf Gs. Gs jest cyklem, jeżeli jest spójny oraz jeżeli każdy wierzchołek w Gs ma dokładnie dwie powiązane z nim w Gs krawędzie.

3 Drzewo Podgraf Gs grafu spójnego G jest drzewem, jeżeli: Gs jest spójny, Gs zawiera wszystkie wierzchołki grafu G, Gs nie zawiera cykli. Wniosek: Jeżeli graf spójny G zawiera n wierzchołków, to drzewo zawiera dokładnie n-1 gałęzi (oznaczamy indeksami: T gałęzie drzewa, L pozostałe gałęzie (przeciwdrzewo). Rozcięcie Zbiór gałęzi grafu spójnego jest rozcięciem, jeżeli: usunięcie tego zbioru (bez wierzchołków końcowych) usuwa spójność grafu, po usunięciu tego zbioru gałęzi dołączenie dowolnej gałęzi z tego zbioru przywraca spójność grafu.

4 jeżeli krawędź j nie jest połączona z wierzchołkiem i, to aij = 0.
Macierz incydencji Aa Dla grafu zorientowanego zawierającego n wierzchołków i b gałęzi macierz Aa ma wymiar n x b, przy czym: jeżeli gałąź j jest połączona z i-tym wierzchołkiem i skierowana od wierzchołka i, to aij = 1 (jeżeli skierowana do wierzchołka i, to aij = -1), jeżeli krawędź j nie jest połączona z wierzchołkiem i, to aij = 0. 1 2 3 4 a b c d e f

5

6 Twierdzenie 1 Rozpatrujemy graf spójny zawierający n wierzchołków. n-1 kolumn macierzy A jest liniowo niezależnych wtedy i tylko wtedy, gdy krawędzie odpowiadające tym kolumnom tworzą drzewo w grafie.

7 Fundamentalna macierz cykli B
Każda cięciwa przeciwdrzewa TL tworzy, razem z jedyną drogą w drzewie T łączącą wierzchołki tej cięciwy, cykl fundamentalny. Orientacja tego cyklu jest przyjmowana jako zgodna ze zwrotem cięciwy. 1 3 2 a b c e d

8 Uogólnione I prawo Kirchhoffa
Algebraiczna suma wszystkich prądów płynących przez rozcięcie (z jednej części do drugiej) jest w dowolnej chwili czasowej równa zeru. 1 2 3 4 a b c d e f

9 Fundamentalna macierz rozcięć D
Każda krawędź drzewa T tworzy w połączeniu z pewnymi cięciwami (lub bez nich) rozcięcie fundamentalne. Orientację tego rozcięcia przyjmujemy za zgodną ze zwrotem gałęzi drzewa. 1 a c b d e 2 3 4

10 [ i-ty wiersz w B ] x [ j-ty wiersz w D ]T = 0 (a)
Twierdzenie 2 Jeżeli kolumny macierzy B i D są uporządkowane w tej samej kolejności gałęzi to dla każdego i i j zachodzi zależność: [ i-ty wiersz w B ] x [ j-ty wiersz w D ]T = (a) Dowód Lewą stronę równania (a) można zapisać w postaci: i w B oznacza i-ty cykl (i - cięciwa, b-n+1 cykli), j w D oznacza j-te rozcięcie (j – gałąź drzewa, n-1 rozcięć). Iloczyn pod znakiem sumy jest niezerowy, jeżeli pewna gałąź należy jednocześnie do i-tego cyklu i j-tego rozcięcia i może być równa +1 lub -1. Jeżeli cykl i rozcięcie mają wspólna gałąź, to liczba tych wszystkich wspólnych gałęzi musi być parzysta …

11 j i

12

13 Metoda potencjałów węzłowych
k-ta gałąź

14

15 (1) (2) (3) (4)

16 Opis elementów

17 Rezystancje: Źródła sterowane:

18 (5) ponieważ czyli (6)

19 Transformacja węzłowa:
(7) (8)

20 Przykład:

21 2 1 3

22

23

24

25 Metoda potencjałów węzłowych: sieci liniowe, wymuszenia sinusoidalne
Rezystor R Impedancja Z Konduktancja G Admitancja Y Cewka: ZL=jωL Kondensator: ZC=1/jωC Funkcja czasu u(t) Wskaz U(ω) Funkcja czasu i(t) Wskaz I(ω) R, G, u, i są liczbami rzeczywistymi Z, Y, V, I są liczbami zespolonymi

26

27 Indukcyjności sprzężone

28 Przykład

29 5 6 5 6

30 1 2 3 4 5 6

31 BEZPOŚREDNIE WYZNACZANIE RÓWNANIA WĘZŁOWEGO

32

33

34 METODA ELIMINACJI GAUSSA
Eliminacja wprzód Podstawienie wstecz

35 ETAP I: eliminacja wprzód

36

37 ETAP II: podstawienie wstecz

38 Macierz trójkątna górna Macierz trójkątna dolna
ROZKŁAD LU Macierz trójkątna górna Macierz trójkątna dolna

39 Zastosowanie rozkładu LU
(b)

40 Algorytm Crouta

41

42 Analiza sieci nieliniowych metodą potencjałów węzłowych

43 dowolne napięcie gałęziowe
Jeżeli nie ma źródeł sterowanych:

44

45

46 Metoda iteracji prostej (metoda punktu stałego)
Szukamy: x = x*

47 Algorytm: Wybierz wartość początkową x0 Jeżeli STOP

48 Interpretacja geometryczna

49

50

51 Metoda iteracji prostej
dla układu równań

52 Algorytm Newtona-Raphsona
Szukamy takiego F(x)=x, którego rozwiązanie x* jest jednocześnie rozwiązaniem (a)

53 (b) Każde x*, które jest rozwiązaniem równania (a), jest punktem stałym F(x), ponieważ

54 Jeżeli x = x* jest punktem stałym dla F(x) i jeżeli K(x) jest macierzą nieosobliwą, to x* jest rozwiązaniem równania f(x)=0

55

56 Równanie (b) w postaci iteracyjnej:

57

58

59 Algorytm Newtona-Raphsona dla układu n równań
punkt w j-tej iteracji

60 Rozwijamy funkcję wielu zmiennych w szereg Taylora wokół punktu x(j) :

61 Podstawiamy x = x(j+1) :

62 Jeżeli jesteśmy „blisko” rozwiązania, pomijamy wyrazy wyższych rzędów:

63 Jeżeli x(j+1) jest już rozwiązaniem naszego równania,
czyli f(x(j+1)) = 0, to:

64 Dyskretny obwód równoważny

65

66 Definiujemy: Podstawiamy do algorytmu N-R:

67 (A)

68 Interpretacja obwodowa:
k-ty element wektora o wymiarze bx1 stanowi napięcie na rezystancji Rk w j-tej iteracji II. k-ty element wektora o wymiarze bx1 stanowi prąd płynący przez rezystor Rk w j-tej iteracji

69 III. k-ty element macierzy Jakobiego o wymiarze bxb jest konduktancją różniczkową (czyli nachyleniem krzywej ik = gk(uk) obliczonym przy ), czyli:

70

71

72

73 Wstawiamy I, II i III do (A):
Z równania I:

74 Definiujemy wektor źródeł prądowych dla
j-tej iteracji:

75 Zmodyfikowana metoda potencjałów węzłowych
Idea: I. Do układu równań węzłowych uzyskanych z prądowego prawa Kirchhoffa dołączamy dodatkowe równania uzyskane z napięciowego prawa Kirchhoffa, napisane dla następujących gałęzi: - zawierających źródła napięciowe: niezależne i sterowane, - gałęzi w postaci zwarcia, - zawierające elementy uzależnione prądowo (od prądu płynącego przez tą samą lub inną gałąź)

76 II. Prądy gałęzi z p. I. są traktowane jako dodatkowe
zmienne pierwotne na równi z potencjałami węzłowymi

77 Przykład: u1 = E i1 1 2 i1

78 lub: i j ik i j ik

79 ale czyli:

80 i j m n ik i j m n ik

81 gdzie:

82 gdzie:

83 Metody macierzy rzadkich

84 1. 2. 3. 4.

85 Algorytm Doolittle’a rozkładu LU
Dana jest macierz A. Wyznaczamy Q: Przepisz do Q pierwszą kolumnę z A W 1-szym wierszu dziel el. niediagonalne przez diag. Od elementu o wsk. (i,j) {dla i>1, j>1} odejmij iloczyn elementów o wsk. (i,1) i (1,j) Jeżeli n>=2 oznacz tą podmacierz jako A, go to 1 STOP

86 Przykład

87 Przykład

88 Określanie nowych elementów niezerowych metodą grafu

89 i j k m j k m i

90 Przykład 3 2 4 5 1

91 3 2 4 5 1 (4,2 i 2,4) 3 2 4 5 (4,2 i 2,4) (5,3 i 3,5) (4,3 i 3,4) 5 5 5 4 3 4

92 3 2 4 5 1 4 2 1 2 5 5 4 = 1 1 3 3 2 2 1 = 2 3 = 3 2 = 4 5 5 = 5 3 3

93 Analiza obwodu w dziedzinie czasu
(1)

94 Definicja funkcji wykładniczej eAt
Przykład:

95

96 Właściwości funkcji eAt

97 K – dowolny n-wymiarowy wektor o składowych stałych
Sprawdzenie:

98 (2)

99 Wstawiamy do (2): (3)

100 Wyznaczenie K(t0) Równanie (2) dla t =t0: Wstawiamy do (3): (4)

101 Przekształcenie do postaci różnicowej
Niech (5)

102 Funkcja u(t) jest przedziałami stała, czyli:
zatem całka w (5) jest równa

103 Podstawiając do (5) otrzymujemy:

104 Analiza hybrydowa

105

106 Definicje

107 (a) (b)

108

109

110 Przykład (wyznaczanie macierzy hybrydowej i wektora źródeł)

111 Macierz hybrydowa

112

113 Wektor źródeł

114

115

116 Sieci sprzeczne lub nieoznaczone

117