Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Slide 1 Metody numeryczne Literatura 1. L.O. Chua, P.M. Lin: „Komputerowa analiza układów elektronicznych. Algorytmy i metody obliczeniowe” 2. Bjorck,

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Slide 1 Metody numeryczne Literatura 1. L.O. Chua, P.M. Lin: „Komputerowa analiza układów elektronicznych. Algorytmy i metody obliczeniowe” 2. Bjorck,"— Zapis prezentacji:

1 Slide 1 Metody numeryczne Literatura 1. L.O. Chua, P.M. Lin: „Komputerowa analiza układów elektronicznych. Algorytmy i metody obliczeniowe” 2. Bjorck, G. Dahlquist: „Metody numeryczne” 3. Z. Korzec: „Układy półprzewodnikowe. Analiza i projektowanie przy użyciu maszyn cyfrowych” METODY NUMERYCZNE Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Zygmunt Ciota, pok. 24 web:

2 Slide 2 Metody numeryczne Droga Zbiór gałęzi (krawędzi) b 1, b 2, … b n w grafie jest drogą miedzy wierzchołkami V j i V k, jeżeli gałęzie te można następująco uporządkować: - kolejne gałęzie b i i b i+1 mają zawsze wspólny wierzchołek, -żaden wierzchołek nie jest wierzchołkiem końcowym więcej niż dwóch gałęzi zbioru, -V j jest wierzchołkiem końcowym dokładnie jednej gałęzi zbioru, tak samo jak i V k. Graf spójny Graf jest spójny, jeżeli istnieje droga miedzy dwoma dowolnymi wierzchołkami grafu. Cykl (obwód) Wyodrębniamy z grafu podrgaf G s. G s jest cyklem, jeżeli jest spójny oraz jeżeli każdy wierzchołek w G s ma dokładnie dwie powiązane z nim w G s krawędzie.

3 Slide 3 Metody numeryczne Drzewo Podgraf G s grafu spójnego G jest drzewem, jeżeli: - G s jest spójny, - G s zawiera wszystkie wierzchołki grafu G, - G s nie zawiera cykli. Wniosek: Jeżeli graf spójny G zawiera n wierzchołków, to drzewo zawiera dokładnie n-1 gałęzi (oznaczamy indeksami: T gałęzie drzewa, L pozostałe gałęzie (przeciwdrzewo). Rozcięcie Zbiór gałęzi grafu spójnego jest rozcięciem, jeżeli: -usunięcie tego zbioru (bez wierzchołków końcowych) usuwa spójność grafu, -po usunięciu tego zbioru gałęzi dołączenie dowolnej gałęzi z tego zbioru przywraca spójność grafu.

4 Slide 4 Metody numeryczne a b c d e f Macierz incydencji A a Dla grafu zorientowanego zawierającego n wierzchołków i b gałęzi macierz A a ma wymiar n x b, przy czym: jeżeli gałąź j jest połączona z i-tym wierzchołkiem i skierowana od wierzchołka i, to a ij = 1 (jeżeli skierowana do wierzchołka i, to a ij = -1), jeżeli krawędź j nie jest połączona z wierzchołkiem i, to a ij = 0.

5 Slide 5 Metody numeryczne

6 Slide 6 Metody numeryczne Twierdzenie 1 Rozpatrujemy graf spójny zawierający n wierzchołków. n-1 kolumn macierzy A jest liniowo niezależnych wtedy i tylko wtedy, gdy krawędzie odpowiadające tym kolumnom tworzą drzewo w grafie.

7 Slide 7 Metody numeryczne Fundamentalna macierz cykli B Każda cięciwa przeciwdrzewa T L tworzy, razem z jedyną drogą w drzewie T łączącą wierzchołki tej cięciwy, cykl fundamentalny. Orientacja tego cyklu jest przyjmowana jako zgodna ze zwrotem cięciwy a b c e d

8 Slide 8 Metody numeryczne Uogólnione I prawo Kirchhoffa Algebraiczna suma wszystkich prądów płynących przez rozcięcie (z jednej części do drugiej) jest w dowolnej chwili czasowej równa zeru a b c d e f

9 Slide 9 Metody numeryczne Fundamentalna macierz rozcięć D Każda krawędź drzewa T tworzy w połączeniu z pewnymi cięciwami (lub bez nich) rozcięcie fundamentalne. Orientację tego rozcięcia przyjmujemy za zgodną ze zwrotem gałęzi drzewa. 1 ac b d e 2 3 4

10 Slide 10 Metody numeryczne Twierdzenie 2 Jeżeli kolumny macierzy B i D są uporządkowane w tej samej kolejności gałęzi to dla każdego i i j zachodzi zależność: [ i-ty wiersz w B ] x [ j-ty wiersz w D ] T = 0 (a) Dowód Lewą stronę równania (a) można zapisać w postaci: i w B oznacza i-ty cykl (i - cięciwa, b-n+1 cykli), j w D oznacza j-te rozcięcie (j – gałąź drzewa, n-1 rozcięć). Iloczyn pod znakiem sumy jest niezerowy, jeżeli pewna gałąź należy jednocześnie do i-tego cyklu i j-tego rozcięcia i może być równa +1 lub -1. Jeżeli cykl i rozcięcie mają wspólna gałąź, to liczba tych wszystkich wspólnych gałęzi musi być parzysta …

11 Slide 11 Metody numeryczne j i

12 Slide 12 Metody numeryczne

13 Slide 13 Metody numeryczne k-ta gałąź Metoda potencjałów węzłowych

14 Slide 14 Metody numeryczne

15 Slide 15 Metody numeryczne (1) (2) (3) (4)

16 Slide 16 Metody numeryczne Opis elementów

17 Slide 17 Metody numeryczne Rezystancje: Źródła sterowane:

18 Slide 18 Metody numeryczne (5) ponieważ czyli(6)

19 Slide 19 Metody numeryczne Transformacja węzłowa: (7) (8)

20 Slide 20 Metody numeryczne Przykład:

21 Slide 21 Metody numeryczne 1 2 3

22 Slide 22 Metody numeryczne

23 Slide 23 Metody numeryczne

24 Slide 24 Metody numeryczne

25 Slide 25 Metody numeryczne Metoda potencjałów węzłowych: sieci liniowe, wymuszenia sinusoidalne Rezystor RImpedancja Z Konduktancja GAdmitancja Y Cewka: Z L =jωL Kondensator: Z C =1/jωC Funkcja czasu u(t)Wskaz U(ω) Funkcja czasu i(t)Wskaz I(ω) R, G, u, i są liczbami rzeczywistymi Z, Y, V, I są liczbami zespolonymi

26 Slide 26 Metody numeryczne

27 Slide 27 Metody numeryczne Indukcyjności sprzężone

28 Slide 28 Metody numeryczne Przykład

29 Slide 29 Metody numeryczne

30 Slide 30 Metody numeryczne

31 Slide 31 Metody numeryczne BEZPOŚREDNIE WYZNACZANIE RÓWNANIA WĘZŁOWEGO

32 Slide 32 Metody numeryczne

33 Slide 33 Metody numeryczne

34 Slide 34 Metody numeryczne METODA ELIMINACJI GAUSSA 1.Eliminacja wprzód 2.Podstawienie wstecz

35 Slide 35 Metody numeryczne ETAP I: eliminacja wprzód

36 Slide 36 Metody numeryczne

37 Slide 37 Metody numeryczne ETAP II: podstawienie wstecz

38 Slide 38 Metody numeryczne ROZKŁAD LU Macierz trójkątna górna Macierz trójkątna dolna

39 Slide 39 Metody numeryczne Zastosowanie rozkładu LU (a) (b)

40 Slide 40 Metody numeryczne Algorytm Crouta

41 Slide 41 Metody numeryczne

42 Slide 42 Metody numeryczne Analiza sieci nieliniowych metodą potencjałów węzłowych

43 Slide 43 Metody numeryczne dowolne napięcie gałęziowe Jeżeli nie ma źródeł sterowanych:

44 Slide 44 Metody numeryczne

45 Slide 45 Metody numeryczne

46 Slide 46 Metody numeryczne Metoda iteracji prostej (metoda punktu stałego) Szukamy: x = x*

47 Slide 47 Metody numeryczne Wybierz wartość początkową x 0 Algorytm: Jeżeli STOP

48 Slide 48 Metody numeryczne Interpretacja geometryczna

49 Slide 49 Metody numeryczne

50 Slide 50 Metody numeryczne

51 Slide 51 Metody numeryczne Metoda iteracji prostej dla układu równań

52 Slide 52 Metody numeryczne Algorytm Newtona-Raphsona Szukamy takiego F(x)=x, którego rozwiązanie x* jest jednocześnie rozwiązaniem (a) (a)

53 Slide 53 Metody numeryczne  Każde x*, które jest rozwiązaniem równania (a), jest punktem stałym F(x), ponieważ (b)

54 Slide 54 Metody numeryczne  Jeżeli x = x* jest punktem stałym dla F(x) i jeżeli K(x) jest macierzą nieosobliwą, to x* jest rozwiązaniem równania f(x)=0

55 Slide 55 Metody numeryczne

56 Slide 56 Metody numeryczne Równanie (b) w postaci iteracyjnej:

57 Slide 57 Metody numeryczne

58 Slide 58 Metody numeryczne

59 Slide 59 Metody numeryczne Algorytm Newtona-Raphsona dla układu n równań punkt w j-tej iteracji

60 Slide 60 Metody numeryczne Rozwijamy funkcję wielu zmiennych w szereg Taylora wokół punktu x (j) :

61 Slide 61 Metody numeryczne Podstawiamy x = x (j+1) :

62 Slide 62 Metody numeryczne Jeżeli jesteśmy „blisko” rozwiązania, pomijamy wyrazy wyższych rzędów:

63 Slide 63 Metody numeryczne Jeżeli x (j+1) jest już rozwiązaniem naszego równania, czyli f(x (j+1) ) = 0, to:

64 Slide 64 Metody numeryczne Dyskretny obwód równoważny

65 Slide 65 Metody numeryczne

66 Slide 66 Metody numeryczne Definiujemy: Podstawiamy do algorytmu N-R:

67 Slide 67 Metody numeryczne (A)

68 Slide 68 Metody numeryczne Interpretacja obwodowa: I. k-ty element wektora o wymiarze bx1 stanowi napięcie na rezystancji R k w j-tej iteracji II. k-ty element wektora o wymiarze bx1 stanowi prąd płynący przez rezystor R k w j-tej iteracji

69 Slide 69 Metody numeryczne III. k-ty element macierzy Jakobiego o wymiarze bxb jest konduktancją różniczkową (czyli nachyleniem krzywej i k = g k (u k ) obliczonym przy ), czyli:

70 Slide 70 Metody numeryczne

71 Slide 71 Metody numeryczne

72 Slide 72 Metody numeryczne

73 Slide 73 Metody numeryczne Wstawiamy I, II i III do (A): Z równania I:

74 Slide 74 Metody numeryczne Definiujemy wektor źródeł prądowych dla j-tej iteracji:

75 Slide 75 Metody numeryczne Zmodyfikowana metoda potencjałów węzłowych Idea: I. Do układu równań węzłowych uzyskanych z prądowego prawa Kirchhoffa dołączamy dodatkowe równania uzyskane z napięciowego prawa Kirchhoffa, napisane dla następujących gałęzi: - zawierających źródła napięciowe: niezależne i sterowane, - gałęzi w postaci zwarcia, - zawierające elementy uzależnione prądowo (od prądu płynącego przez tą samą lub inną gałąź)

76 Slide 76 Metody numeryczne II. Prądy gałęzi z p. I. są traktowane jako dodatkowe zmienne pierwotne na równi z potencjałami węzłowymi

77 Slide 77 Metody numeryczne Przykład: u 1 = E 1 2 i 1 12i112i1

78 Slide 78 Metody numeryczne lub: i j i k ijikijik

79 Slide 79 Metody numeryczne ale czyli:

80 Slide 80 Metody numeryczne i j m n i k ijmnikijmnik

81 Slide 81 Metody numeryczne gdzie:

82 Slide 82 Metody numeryczne gdzie:

83 Slide 83 Metody numeryczne Metody macierzy rzadkich

84 Slide 84 Metody numeryczne

85 Slide 85 Metody numeryczne Algorytm Doolittle’a rozkładu LU 1.Przepisz do Q pierwszą kolumnę z A 2.W 1-szym wierszu dziel el. niediagonalne przez diag. 3.Od elementu o wsk. (i,j) {dla i>1, j>1} odejmij iloczyn elementów o wsk. (i,1) i (1,j) 4.Jeżeli n>=2 oznacz tą podmacierz jako A, go to 1 5.STOP Dana jest macierz A. Wyznaczamy Q:

86 Slide 86 Metody numeryczne Przykład

87 Slide 87 Metody numeryczne Przykład

88 Slide 88 Metody numeryczne Określanie nowych elementów niezerowych metodą grafu

89 Slide 89 Metody numeryczne i jkmjkm i jkmjkm

90 Slide 90 Metody numeryczne Przykład

91 Slide 91 Metody numeryczne (4,2 i 2,4) (5,3 i 3,5) (4,3 i 3,4) 4 5 5

92 Slide 92 Metody numeryczne = = = 3 2 = 4 5 = 5

93 Slide 93 Metody numeryczne Analiza obwodu w dziedzinie czasu (1)

94 Slide 94 Metody numeryczne Definicja funkcji wykładniczej e At Przykład:

95 Slide 95 Metody numeryczne

96 Slide 96 Metody numeryczne Właściwości funkcji e At

97 Slide 97 Metody numeryczne K – dowolny n-wymiarowy wektor o składowych stałych Sprawdzenie:

98 Slide 98 Metody numeryczne (2)

99 Slide 99 Metody numeryczne Wstawiamy do (2): (3)

100 Slide 100 Metody numeryczne Wyznaczenie K(t 0 ) Równanie (2) dla t =t 0 : Wstawiamy do (3): (4)

101 Slide 101 Metody numeryczne Przekształcenie do postaci różnicowej Niech (5)

102 Slide 102 Metody numeryczne Funkcja u(t) jest przedziałami stała, czyli: zatem całka w (5) jest równa

103 Slide 103 Metody numeryczne Podstawiając do (5) otrzymujemy:

104 Slide 104 Metody numeryczne Analiza hybrydowa

105 Slide 105 Metody numeryczne

106 Slide 106 Metody numeryczne Definicje

107 Slide 107 Metody numeryczne (a) (b)

108 Slide 108 Metody numeryczne

109 Slide 109 Metody numeryczne

110 Slide 110 Metody numeryczne Przykład (wyznaczanie macierzy hybrydowej i wektora źródeł)

111 Slide 111 Metody numeryczne Macierz hybrydowa

112 Slide 112 Metody numeryczne

113 Slide 113 Metody numeryczne Wektor źródeł

114 Slide 114 Metody numeryczne

115 Slide 115 Metody numeryczne

116 Slide 116 Metody numeryczne Sieci sprzeczne lub nieoznaczone

117 Slide 117 Metody numeryczne


Pobierz ppt "Slide 1 Metody numeryczne Literatura 1. L.O. Chua, P.M. Lin: „Komputerowa analiza układów elektronicznych. Algorytmy i metody obliczeniowe” 2. Bjorck,"

Podobne prezentacje


Reklamy Google