Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

DMBO Programowanie liniowe 2. Rozwiązywanie problemów liniowych – ogólny przypadek Dotychczas – forma standardowa – Maksymalizacja – Ograniczenia postaci.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "DMBO Programowanie liniowe 2. Rozwiązywanie problemów liniowych – ogólny przypadek Dotychczas – forma standardowa – Maksymalizacja – Ograniczenia postaci."— Zapis prezentacji:

1 DMBO Programowanie liniowe 2

2 Rozwiązywanie problemów liniowych – ogólny przypadek Dotychczas – forma standardowa – Maksymalizacja – Ograniczenia postaci – Prawa strona ograniczeń 0 – Wszystkie zmienne 0 Punkt (0,0,…,0) zawsze jest dopuszczalnym rozwiązaniem wierzchołkowym przy formie standardowej A co jeśli zadanie nie jest w formie standardowej?

3 Minimalizacja 1.Przekształć w maksymalizację: – min Z = 12x 1 + 5x 2 – 7x 3 – max (–Z) = –12x 1 – 5x 2 + 7x 3 Dla przypomnienia wstaw -1 w kolumnie Z tabelki simplex Po rozwiązaniu programu liniowego w postaci max: – Pomnóż funkcję celu przez -1 – Wartości zmiennych wzięte z tabelki są właściwym rozwiązaniem 2.Drugi sposób – mniej popularny – rozwiązuj simplex w postaci minimalizacji ze zmienionymi regułami

4 Ograniczenia w postaci równości W problemie firmy Rowerek: Wprowadzamy sztuczną zmienną a 1 [artificial variable] Sztuczna zmienna różni się od zmiennej luzu – musimy ją zmusić, aby się wyzerowała, ponieważ punkt (x 1,x 2,s 1,s 2,a 1 ) = (0,0,2,3,4) nie jest dopuszczalny.

5 Simplex dwufazowy Do tego służy 2-fazowy algorytm simplex – Faza 1: minimalizuj wartości wszystkich sztucznych zmiennych (u nas tylko a 1 ); jeśli minimum wynosi 0, wówczas mamy dopuszczalne rozwiązanie wierzchołkowe … – Faza 2: … z którego zaczynamy szukać rozwiązania problemu właściwego tak jak wcześniej

6 Faza 1 Przekształcamy – min W = a 1 + a 2 + a 3 + … – max –W + a 1 + a 2 + a 3 + … = 0 Właściwa funkcja celu również jest zapisywana w tabelce obok powyższej Pierwsza tabelka simplex fazy 1 nie jest nigdy w formie właściwej, ponieważ sztuczne zmienne, które są na początku zmiennymi bazowymi, pojawiają się dwa razy w kolumnie Potrzebna jest wstępna obróbka

7 Faza 1 Przekształcamy w formę właściwą 4 jednostki naruszenia ograniczenia d

8

9 Faza 1 Rozwiązując również pamiętamy o oryginalnej funkcji celu Zakończyliśmy fazę 1. Musimy kontynuować fazę 2, ponieważ jest ujemny współczynnik w funkcji celu ph2

10 Faza 2 Rozwiązanie: (x 1,x 2,s 1,s 2 ) = (2,2,0,1); Z=50

11 Co się wydarzyło? Zaczynamy w wierzchołku, który jest niedopuszczalny dla fazy 2, ale jest dopuszczalny dla fazy 1 Fazę 1 kończymy w wierzchołku, który jest dopuszczalny zarówno w fazie 1, jak i w fazie 2

12 Zadanie sprzeczne Jeśli faza 1 kończy się i nadal wartość W jest dodatnia – zadanie jest sprzeczne Jak sprawdzić dlaczego: – IIS – irreducible infeasible set – zazwyczaj bardzo mały podzbiór wszystkich ograniczeń, które łącznie są sprzeczne, ale – Wyrzucenie jednego lub więcej ograniczeń z tego zbioru skutkuje zadaniem niesprzecznym

13 Ograniczenia typu z dodatnią prawą stroną Ograniczenia tego typu powodują, że początek układu współrzędnych jest niedopuszczalny Nie możemy po prostu pomnożyć przez -1, bo wtedy prawa strona będzie ujemna Rozwiązanie: wprowadzamy zmienną nadmiaru [surplus variable] 3x 1 + 5x x 1 + 5x 2 s 1 = 20. Zmienna nadmiaru nie może być użyta jako zmienna bazowa ograniczenia, w którym występuje, ponieważ jest -1 zamiast +1 Ale ograniczenie jest teraz w postaci równości, więc możemy je traktować tak, jak inne ograniczenia w tej postaci 3x 1 + 5x 2 s 1 + a 1 = 20

14 Ujemna prawa strona nierówności Problem – zmienna bazowa dla tego ograniczenia musiałaby przyjąć ujemną wartość, a nie może Rozwiązanie: pomnóż przez -1 i powstałe ograniczenie typu, =, odpowiednio potraktuj

15 Przykładowa konwersja min Z = 15x1 + 10x2 minimalizacja zamiast maksymalizacji x1 2 x2 = 3 równość zamiast x1 + x2 4 zamiast max (-W) + a1 + a2 = 0 [funkcja celu fazy 1] max (-Z) + 15x1 + 10x2 =0 [funkcja celu fazy 2] x1 + s1 = 2 x2 + a1 = 3 x1 + x2 – s2 + a2 = 4

16 Zmienne, które mogą być ujemne Dwie możliwości: 1.Ograniczenie dolne na ujemne wartości Na przykład poziom produkcji nie może spaść o więcej niż L j od aktualnego poziomu x j L j Rozwiązanie – zmiana zmiennych x j = x j + L j 2.Zmienna bez ograniczeń – na następnej stronie

17 Zmienna bez ograniczeń Zmienna nieograniczona x j jest zastąpiona różnicą dwóch zmiennych nieujemnych x j = x j + – x j - Simplex automatycznie przyporządkuje tylko jednej z tych zmiennych niezerową wartość – Kolumny dla tych zmiennych są swoim lustrzanym odbiciem (w jednej - 1 w drugiej +1), więc obie zmienne nie mogą być jednocześnie bazowe – Jeśli x j + > 0 to x j = x j + – Jeśli x j - > 0 to x j = - x j -, – Jeśli x j + =x j - = 0 to x j = 0. Jeśli mamy wiele zmiennych nieograniczonych, używamy dla każdej tej samej zmiennej x j -. W rozwiązaniu x j - jest wartością bezwględną najbardziej ujemnej zmiennej. Wówczas zmienne x j + mówią, jak bardzo dana zmienna przewyższa tą najbardziej ujemną wartość

18 Tropikalne błyszczyki do ust – Jessica Simpson i Urban Chic Boutique Dear Students of DMBO class at WSE, My name is Jessica Simpson. I have been going through some tough times recently and am having a real problem with one of my cosmetic lines. The info for the line is on the next page. Recently though costs are changing based on market demand in addition to highly fluctuating resource costs. My problem is this we currently have an LP that we solve to find the optimal amount to produce of each product. However, every time a parameter changes, I am always forced to resolve the LP and this takes too long. I was hoping you guys could find a better way. Lately I have just been out of it. For example, Nick and I decided to split our Hummer in half, and now I need to buy a new one. Oh yeah, about the LP it seems to have been misplaced when I was moving out of my Malibu house. Please Help! -Jessica dessert-treats/jessica-simpson-tropical-treats-kissable-lip- shine/prod_89.html

19 Dane do problemu Jessica sprzedaje 4 rodzaje błyszczyka do ust. Dokładnie 950 sztuk wszystkich musi być wyprodukowane Klienci domagają się przynajmniej 400 sztuk błyszczyka Mango Dostępny materiał 4600 Dostępna praca 5000 BrzoskwiniaAnanasPomarańczaMango Materiał 2347 Godziny pracy 3456 Cena ($) 4678

20 Zadanie programowania Liniowego Ilość wyprodukowanego błyszczyka: – X1: brzoskwiniowy – X2: ananasowy – X3: pomarańczowy – X4: mango max

21 Rezultat Co może się zmienić w modelu?: – Ceny produktów – Koszty materiałów – Ilość dostępnych materiałów – Mogą zostać wprowadzone nowe produkty Pytanie: Jak mogę stwierdzić, czy moje rozwiązanie jest ciągle optymalne po zmianie? Zmienne decyzyjne Funkcja celu6650

22 Raport wrażliwości Czy powinien wyglądać tak? Microsoft Excel 14.1 Sensitivity Report Worksheet: [Workbook2]Sheet1 Report Created: 10/31/2011 3:32:45 PM Variable Cells FinalReduced CellNameValueGradient $B$6Zmienne decyzyjne Brzoskwinia $C$6Zmienne decyzyjne Ananas4000 $D$6Zmienne decyzyjne Pomarańcza1500 $E$6Zmienne decyzyjne Mango4000 Constraints FinalLagrange CellNameValueMultiplier $B$11Materiały46001 $B$12Praca47500 $B$13Ilość łącznie9503 $B$14Ilość mango400-2

23 Główne błędy Brak zaznaczenia model liniowy (lub Simplex LP) Brak zaznaczenia przyjmij nieujemne Zakładamy na razie, że nie mamy do czynienia ze zdegenerowanym rozwiązaniem

24 Właściwy raport wrażliwości Microsoft Excel 14.1 Sensitivity Report Worksheet: [Workbook2]Sheet1 Report Created: 10/31/2011 3:35:03 PM Variable Cells FinalReducedObjectiveAllowable CellNameValueCostCoefficientIncreaseDecrease $B$6Zmienne decyzyjne Brzoskwinia0411E+30 $C$6Zmienne decyzyjne Ananas $D$6Zmienne decyzyjne Pomarańcza $E$6Zmienne decyzyjne Mango E+30 Constraints FinalShadowConstraintAllowable CellNameValuePriceR.H. SideIncreaseDecrease $B$11Materiały $B$12Praca E $B$13Ilość łącznie $B$14Ilość mango Zmienne decyzyjne Funkcja celu6650

25 Problem 1: zmiana współczynnika funkcji celu przy zmiennej bazowej Hi guys I was at the market and noticed the price of ananas went up by 50 cents. That means if I raise the price of the ananas lip shine by 50 cents I will make more money. Right? Jessica Rozwiązanie: – Sprawdź, czy zmiana współczynnika funkcji celu jest w zakresie dopuszczalnej zmiany W naszym przykładzie mieści się: 50 c < c (allowable increase) – Jeśli tak, to optymalne rozwiązanie bazowe (optimal basic feasible solution) się nie zmieni. Oblicz zmianę zysku. W naszym przykładzie zmiana zysku to 0.5*$400 = $200 Ćwiczenie: Przypuśćmy, że cena brzoskwnini wzrosła o 60 c. Jakie jest nowe rozwiązanie i zmiana zysku?

26 Microsoft Excel 14.1 Sensitivity Report Worksheet: [Workbook2]Sheet1 Report Created: 10/31/2011 3:35:03 PM Variable Cells FinalReducedObjectiveAllowable CellNameValueCostCoefficientIncreaseDecrease $B$6Zmienne decyzyjne Brzoskwinia0411E+30 $C$6Zmienne decyzyjne Ananas $D$6Zmienne decyzyjne Pomarańcza $E$6Zmienne decyzyjne Mango E+30 Constraints FinalShadowConstraintAllowable CellNameValuePriceR.H. SideIncreaseDecrease $B$11Materiały $B$12Praca E $B$13Ilość łącznie $B$14Ilość mango

27 Problem 2: Zmiana współczynnika funkcji celu przy zmiennej niebazowej Hello Class, I went to the store to buy some of my peach gloss and found out none of it was being produced because it wasnt profitable. What should I charge to make them in the optimal mix?, Jessica Musimy spojrzeć na reduced cost: – Jeśli reduced cost przy zmiennej x i wynosi –r i, znaczy to, że zwiększenie kosztu przy tej zmiennej o r i doprowadzi do optymalnej bazy, która będzie zawierać x i. W naszym przykładzie musimy zwiększyć cenę przynajmniej o $1 (do $5) zanim x 1 znajdzie się w optymalnej bazie

28 Microsoft Excel 14.1 Sensitivity Report Worksheet: [Workbook2]Sheet1 Report Created: 10/31/2011 3:35:03 PM Variable Cells FinalReducedObjectiveAllowable CellNameValueCostCoefficientIncreaseDecrease $B$6Zmienne decyzyjne Brzoskwinia0411E+30 $C$6Zmienne decyzyjne Ananas $D$6Zmienne decyzyjne Pomarańcza $E$6Zmienne decyzyjne Mango E+30 Constraints FinalShadowConstraintAllowable CellNameValuePriceR.H. SideIncreaseDecrease $B$11Materiały $B$12Praca E $B$13Ilość łącznie $B$14Ilość mango

29 Problem 2 – pytania kontrolne Co się stanie jeśli podniesiemy cenę brzoskwiniowego błyszczyka do $5? – Bedziemy obojętni pomiędzy włączeniem tego błyszczyka do bazy – będzie więc wiele rozwiązań optymalnych Co to jest reduced cost zmiennej bazowej? – Dla problemów maksymalizacji koszty te są niedodatnie. Mówią nam, jak mocno trzeba podnieść cenę produktu, aby się opłacało go produkować. Poniżej jest tabelka simplex optymalnego rozwiązania. Jaki jest reduced cost zmiennej c? – Reduced cost przy zmiennej c wynosi -2.

30 Problem 3: Zmiana współczynnika prawej strony ograniczenia Uggh! You wont believe this. After seeing me on Newlyweds, MTV decided it would be profitable to make a reality show where instead of having 4600 of raw materials, I have only 4499.What should I do (that is, what happens to the optimal solution)?, Jessica z pomocą doradcy Rozwiązanie: – Sprawdź, czy zmiana współczynnika prawej strony ograniczeń jest w zakresie dopuszczalnej zmiany W naszym przykładzie 101<150, więc się mieści – Jeśli tak, optymalna baza się nie zmieni, ale wartości zmiennych bazowych się zmienią. Możemy wykorzystać shadow price ograniczenia, aby policzyć zmianę optymlanej wartości funkcji celu Shadow price przy ograniczeniu materiałowym wynosi 1. Zatem zmiana optymalnej wartości funkcji celu wynosi -101*1=-101

31 Microsoft Excel 14.1 Sensitivity Report Worksheet: [Workbook2]Sheet1 Report Created: 10/31/2011 3:35:03 PM Variable Cells FinalReducedObjectiveAllowable CellNameValueCostCoefficientIncreaseDecrease $B$6Zmienne decyzyjne Brzoskwinia0411E+30 $C$6Zmienne decyzyjne Ananas $D$6Zmienne decyzyjne Pomarańcza $E$6Zmienne decyzyjne Mango E+30 Constraints FinalShadowConstraintAllowable CellNameValuePriceR.H. SideIncreaseDecrease $B$11Materiały $B$12Praca E $B$13Ilość łącznie $B$14Ilość mango

32 Pytania kontrolne Jaka jest zmiana optymalnej wartości funkcji celu jeśli dostępna ilość godzin pracy wynosi 4800? – Mieści się w dopuszczalnym zakresie zmiany, baza pozostaje niezmieniona. Shadow price wynosi 0, zatem zmiana wartości funkcji celu wynosi 0 Co można powiedzieć o shadow price ograniczenia ? A co o ograniczeniu typu =? – Ograniczenie zawsze ma niedodatnią shadow price. Intuicyjnie, podniesienie prawej strony, bardziej ogranicza zbiór dopuszczalny. O ograniczeniu = nic nie można powiedzieć. Shadow price może być dodatnia, ujemna lub zero.

33 Problem 4: Zakup nowych zasobów Guys, My sister Ashlee just lost her recording contract. I know, its shocking. Anyway, she needs a job; she is willing to work for 1 hour. She also said she could convert her unit of talent into a unit of raw material, whatever that means. What is the most I should pay for the unit of raw materials and for her?, Jessica Rozwiązanie: Obie możliwe zmiany są w zakresie dopuszczalnych zmian – Shadow price ograniczenia materiałowego wynosi 1, zatem zysk wzrósłby o $1, gdybyśmy się zgodzili – Shadow price ograniczenia pracy wynosi 0, więc zatrudnienie Ashley nic nie da.

34 Microsoft Excel 14.1 Sensitivity Report Worksheet: [Workbook2]Sheet1 Report Created: 10/31/2011 3:35:03 PM Variable Cells FinalReducedObjectiveAllowable CellNameValueCostCoefficientIncreaseDecrease $B$6Zmienne decyzyjne Brzoskwinia0411E+30 $C$6Zmienne decyzyjne Ananas $D$6Zmienne decyzyjne Pomarańcza $E$6Zmienne decyzyjne Mango E+30 Constraints FinalShadowConstraintAllowable CellNameValuePriceR.H. SideIncreaseDecrease $B$11Materiały $B$12Praca E $B$13Ilość łącznie $B$14Ilość mango

35 Problem 5: wprowadzenie nowego produktu Hey Yall, I just got the best idea for a new flavor of Lip Gloss called Limonette. To make some, 8 units of raw material are needed and 7 hours of labor are needed. If I sell it for $7, will any be produced?, Jessica Rozwiązanie: – Sprawdź, czy zmiana prawej strony jest w zakresie dopuszczalnej zmiany. – Oblicz reduced cost wg wzoru: – Jeśli jest nieujemny, wtedy produkujemy W naszym przykładzie: 7-(3)(1)+(2)(0)-(1)(8)-(0)(7)=-4 Problem kontrolny: Jaka musiałaby być cena, aby się opłacało produkować? Odpowiedź: 11

36 Microsoft Excel 14.1 Sensitivity Report Worksheet: [Workbook2]Sheet1 Report Created: 10/31/2011 3:35:03 PM Variable Cells FinalReducedObjectiveAllowable CellNameValueCostCoefficientIncreaseDecrease $B$6Zmienne decyzyjne Brzoskwinia0411E+30 $C$6Zmienne decyzyjne Ananas $D$6Zmienne decyzyjne Pomarańcza $E$6Zmienne decyzyjne Mango E+30 Constraints FinalShadowConstraintAllowable CellNameValuePriceR.H. SideIncreaseDecrease $B$11Materiały $B$12Praca E $B$13Ilość łącznie $B$14Ilość mango BrzoskwiniaAnanasPomarańczaMango Limonett e Materiał Godziny pracy Cena ($) reduced cost: 7 - [ 3 * 1 – 2 * * * 7 ] = -4 Bo chcemy dodatkową jednostkę łącznie Bo mango nie chodzi nam o mango

37 Problem 6: Parametry Guys, what would a graph of the optimal objective value look like that used the amount of available raw materials as a parameter? Na pewno nie Jessica Simpson Rozwiązanie: W zakresie dopuszczalnej zmiany, tj. w przedziale (4450,4850) zysk jest funkcją liniową zasobów materiałowych z nachyleniem równym wysokości shadow price, czyli 1 Następnie należy obliczyć ponownie problem dla zasobów materiałowych równych np. 4449, dopuszczalny spadek wynosi wówczas 549, a shadow price wynosi 2. Następnie obliczamy problem dla zasobów materiałowych równych np Nie ma rozwiązania dopuszczalnego. I na koniec liczymy dla Dopuszczalny wzrost wynosi 399 a shadow price wynosi 0. W poszczególnych przedziałach funkcja jest liniowa, wg ogólnej reguły będzie to funkcja wklęsła

38 Funkcja zysku w zależności od zasobów materiałowych

39 Problem zdegenerowany 3 dziwne zachowania mogą się zdarzyć, gdy bazowe rozwiązanie dopuszczalne (BFS) jest zdegenerowane: 1)W zakresie, w którym baza jest niezmienna przynajmniej jedno oraniczenie będzie miało zerowy dopuszczalny wzrost lub spadek (allowable increase/decrease) To znaczy, że przynajmniej dla jednego ograniczenia, shadow price może nam powiedzieć o nowej wartości albo dla wzrostu albo dla spadku, ale nie dla obu 2)Dla niebazowej zmiennej, aby stała się bazowa (dodatnia), współczynnik funkcji celu przy tej zmiennej niebazowej może musi być podniesiony o więcej niż jej reduced cost 3)Podniesienie współczynnika funkcji celu o więcej niż jego dopuszczalny wzrost lub spadek może nie zmienić optymalnego rozwiązania Zapamiętaj, aby zawsze najpierw sprawdzić, czy aktualne rozwiązanie jest zdegenerowane

40 Przydatne techniki Minimax i maximin, np. min max(y 1, y 2,…, y M ) Wprowadzamy nową zmienną z, zmieniamy funkcję celu na min z i dodatkowe ograniczenia z y i, dla i=1,2,…,M Minimalizacja wartości bezwględnej, min |x| Zapisujemy jako min max (x,-x), a dalej jak powyżej Ograniczenia w postaci min/max/wartość bezwględna Ograniczenie min k i=1 (c i T x) α zapisujemy jako c i T x) α, dla i=1,2,…,k Tak samo ograniczenie max k i=1 (c i T x) α zapisujemy jako c i T x) α, dla i=1,2,…,k Z kolei ograniczenie |c T x| α zapisujemy jako max (c T x,-c T x) α Niestety ograniczeń: min k i=1 (c i T x) α, max k i=1 (c i T x) α, |c T x| α nie da się zamienić na liniowe.


Pobierz ppt "DMBO Programowanie liniowe 2. Rozwiązywanie problemów liniowych – ogólny przypadek Dotychczas – forma standardowa – Maksymalizacja – Ograniczenia postaci."

Podobne prezentacje


Reklamy Google