Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych I Metoda bisekcji.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych I Metoda bisekcji."— Zapis prezentacji:

1 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych I Metoda bisekcji II Metoda siecznych III Metoda stycznych ( Newtona) Zakładają one, że funkcja jest ciągła na przedziale, w którym znajduje się pierwiastek pojedynczy (przedział izolacji pierwiastka), a rozwiązanie polega na poprawianiu kolejnych przybliżeń pierwiastka. Metody te stosuje się najczęściej, gdy przedział izolacji pierwiastka jest znany.

2 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych Twierdzenie Bolzano-Cauchy ego Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] i To między punktami a i b znajduje się co najmniej jeden pierwiastek równania Twierdzenie o przedziale izolacji pierwiastka Jeżeli w przedziale [a,b] są spełnione założenia twierdzenia Bolzano- Cauchyego i dodatkowo sgn f(x)=const dla, to przedział ten jest przedziałem izolacji pierwiastka równania f(x)=0.

3 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Przebieg funkcji w przedziale [a,b] – ustalanie przedziału izolacji pierwiastka równania nieliniowego f(x)=0 Sprawdzić, czy podany przedział [a,b] jest przedziałem izolacji jednego pierwiastka równania f(x)=0 1.Co najmniej jeden pierwiastek gdy f(a)*f(b)<0 ? 2.Czy funkcja f(x) ma stały znak?

4 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic I Metoda bisekcji (połowienia) Przedział izolacji pierwiastka [a,b] dla równania. Kolejne przybliżenia: Liczba iteracji k powinna być dobierana tak, aby:

5 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic I Metoda bisekcji (połowienia) Dokładność i-tego przybliżenia: Przykład: dla d 1 =0 i d 2 =7 oblicz pierwiastek równania f(d)=0 Pochodna funkcji f(d) w przedziale jest ujemna czyli ma stały znak

6 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metoda bisekcji – zbieżność metody Kolejne punkty należą do przedziału izolacji pierwiastka oraz zachodzi: Metoda bisekcji jest metodą zbieżną. Metoda bisekcji jest zbieżna liniowo z wykładnikiem lokalnej zbieżności ρ=1 Zbieżność ma miejsce dla rzeczywistych funkcji ciągłych w przedziale [a,b], dla których Interpretacja geometryczna metody bisekcji

7 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metoda siecznych (metoda cięciw) – metoda zbieżna Rozwiązanie równania f(x) = 0 jest przybliżone ciągiem miejsc zerowych cięciw (siecznych) poprowadzonych między punktami stanowiącymi końce kolejnych przedziałów izolacji. Założenie: funkcja f(x) klasy C 2 w przedziale izolacji pierwiastka. Ciąg miejsc zerowych cięciw, poprowadzonych między punktami i stanowiącymi końce kolejnych przedziałów izolacji

8 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metoda siecznych – metoda zbieżna Wstawiając y=0 i x=x i wyznaczamy i-te przybliżenia pierwiastka równania nieliniowego Punkt, w którym wartość funkcji f(x) ma taki sam znak jak i druga pochodna funkcji: f(x) – pozostaje nieruchomy. Przypadki: ciąg rosnący ciąg malejący

9 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Zbieżność metody siecznych Ciąg {x i } jest monotoniczny i ograniczony, zatem posiada granicę g. Z granicy wynika zatem Współczynnik lokalnej zbieżności ρ 1,618

10 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Oszacowanie pierwiastka z niedomiarem

11 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Oszacowanie pierwiastka z nadmiarem

12 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metoda siecznych – metoda zbieżna Błąd bezwzględny przybliżenia x i Oszacowanie błędu w niewielkim otoczeniu pierwiastka α można aproksymować: C jest zawarte w przedziale o końcach x i i α. Ponieważ f(α)=0 Gdzie:

13 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metoda siecznych - przykład Wykorzystując metodę siecznych znaleźć pierwiastek równania Jako punkt nieruchomy – punkt Jako przybliżenie zerowe x 0 punkt xixi f(x i ) 1, , O, , , , , , , , , , Wyniki obliczeń: Przykładowo dla drugiej iteracji Uproszczone wersje metody siecznych: reguła falsi i metoda Steffensena posiadają złe własności numeryczne i aktualnie są rzadko stosowane.

14 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metoda stycznych (metoda Newtona) – metoda zbieżna Rozwiązanie równania f(x) = 0 jest przybliżone ciągiem miejsc zerowych stycznych do funkcji f(x) w przedziale izolacji pierwiastka [a,b]. Założenie: funkcja f(x) klasy C 2 w przedziale izolacji pierwiastka. Równanie stycznej w punkcie o odciętej x i-1 Wstawiając y=0 i x=x i wyznaczamy i-te przybliżenia pierwiastka równania nieliniowego

15 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Twierdzenie o stycznych Jeżeli dany jest przedział taki, że: (i) wartości f(a) i f(b) mają przeciwne znaki, (ii) funkcja f(x) jest ciągła i nie zmienia znaku na (iii) Styczne do krzywej y=f(x) poprowadzone w punktach o odciętych a i b przecinają oś X wewnątrz przedziału, wówczas równanie Ma dokładnie jeden pierwiastek α w przedziale i metoda Newtona jest zbieżna do α dla dowolnego punktu startowego

16 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metoda Newtona (stycznych) – metoda zbieżna Rozwinięcie w szereg Taylora wokół przybliżonego pierwiastka równania Oszacowanie błędu w niewielkim otoczeniu pierwiastka α można aproksymować:

17 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metoda stycznych cd. Wybór pierwszego przybliżenia x 1 zapewniający zbieżność metody Proces iteracyjny metody Newtona może być rozbieżny, jeżeli druga pochodna nie ma stałego znaku w przedziale izolacji. Metoda Newtona jest lokalnie zbieżna kwadratowo (ρ=2) ze współczynnikiem C

18 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wybór pierwszego przybliżenia w metodzie stycznych

19 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Wybór pierwszego przybliżenia w metodzie stycznych cd.

20 Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Metoda stycznych wariant uproszczony Przyjęto stały współczynnik kierunkowy obliczony dla pierwszej stycznej: Kolejne iteracje zbiegają wolniej do punktu x * Kryteria doboru punktu startowego są takie same


Pobierz ppt "Wydział Elektroniki AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych I Metoda bisekcji."

Podobne prezentacje


Reklamy Google