Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 DANE INFORMACYJNE: Nazwa szkoły: LO im. B. Krzywoustego w Kamieniu Pomorskim ID grupy: 97_29_mf_g2 Opiekun: Jarosław Boboryko Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa Semestr/rok szkolny: IV/

3 CEL REALIZACJI I PRACA NAD PROJEKTEM… To kolejny temat, który realizowaliśmy w ramach projektu As – Kompetencji. Podjęliśmy się jego realizacji, ponieważ chcieliśmy się dobrze przygotować do zapowiadanych programem nauczania - podobno niełatwych - lekcji z rachunku prawdopodobieństwa. Chcieliśmy, aby zdobyta tutaj wiedza i umiejętności pozwoliły na swobodne przebrnięcie przez ten dział matematyki i sprawiła, że staniemy się wśród rówieśnikiem ekspertami w tej tematyce.

4 … CEL REALIZACJI I PRACA NAD PROJEKTEM … Teraz, gdy kończymy pracę nad tym tematem, na lekcjach matematyki zaczynamy rachunek prawdopodobieństwa. Nie mamy żadnych obaw z nim związanych. Duża liczba rozpatrzonych, a także wymyślanych samodzielnie przykładów użycia kombinatoryki na zajęciach Asa, daje nam komfort swobodnego uczestniczenia na tych lekcjach.

5 … CEL REALIZACJI I PRACA NAD PROJEKTEM Tworząc tą prezentację zaangażowaliśmy się bardzo w rozwiązywanie różnych zadań związanych z tematem i (po zdobyciu pewnego doświadczenia) opracowaniem nowych – naszych autorskich. W związku z tym, prezentację ograniczyliśmy do pojęć najbardziej naszym zdaniem użytecznych dla ucznia szkoły ponadgimnazjalnej. W układaniu zadań narzuciliśmy sobie ograniczenie, aby każde z nich w jakiś sposób dotyczyło Mistrzostw Europy w piłce nożnej. Chcielibyśmy, aby prezentacja posłużyła naszym koleżankom i kolegom lepszemu zrozumieniu i nauczeniu się zasad kombinatoryki. Mamy nadzieję, że kibice piłki nożnej znajdą w niej odpowiedź na niejedno pytanie, które być może będą sobie zadawali podczas oglądania turnieju EURO 2012.

6 KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

7 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA (PROBABILISTYKA)… To dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Matematyczna teoria prawdopodobieństwa sięga swoimi korzeniami do analizy gier losowych podjętej w siedemnastym wieku przez Pierre de Fermata oraz Blaise Pascala. Z tego powodu, początkowo teoria prawdopodobieństwa zajmowała się niemal wyłącznie zjawiskami dyskretnymi i używała metod kombinatorycznych. Za początek stworzenia współczesnej teorii prawdopodobieństwa powszechnie uważa się jej aksjomatyzację, której w 1933 dokonał Andriej Kołmogorow. Współczesna teoria prawdopodobieństwa jest ściśle związana z teorią miary.

8 …RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa spotykamy się najczęściej z takimi doświadczeniami losowymi, w których zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony, a wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne; wówczas stosujemy klasyczna definicję prawdopodobieństwa Do stosowania tego wzoru potrzebna jest umiejętność obliczania liczebności zbiorów. Tutaj w sukurs idzie dziedzina matematyki stworzona na te potrzeby – KOMBINATORYKA.

9 KOMBINATORYKA To teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, gdzie znajduje szerokie zastosowanie przy wyznaczaniu ilości zdarzeń elementarnych. Poza tym znajduje zastosowanie w teorii grafów, teorii informacji i innych działach matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej.

10 PODSTAWOWE POJĘCIA, KTÓRYMI POSŁUGUJE SIĘ KOMBINATORYKA … Zbiór {x1, x2,..., xn} oznacza zbiór o elementach x1, x2,..., xn. Każdy zbiór nie zawiera dwóch identycznych elementów, to znaczy każdy element traktujemy tak, jakby występował tylko jeden raz, a kolejność elementów zbioru nie odgrywa roli. Multizbiór - to zbiór, który może zawierać elementy identyczne, a więc każdy z różnych elementów multizbioru może występować więcej niż jeden raz. Ciąg (a1, a2,..., an) oznacza ciąg o wyrazach a1, a2,..., an. Kolejność ustawienia wyrazów w ciągu jest bardzo ważna. Zmieniając kolejność wyrazów w ciągu otrzymujemy inny ciąg. Ciąg może zawierać wyrazy identyczne lub nie.

11 PODSTAWOWE POJĘCIA, KTÓRYMI POSŁUGUJE SIĘ KOMBINATORYKA Silnia n! oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. n! = 1 · 2 · 3 ·... · n0! = 1 Symbol Newtona dla n, k N i 0 k n oznacza liczbę określoną wzorem Mocą zbioru skończonego A nazywamy liczbę jego elementów. Oznaczamy

12 PODSTAWOWE POJĘCIA, KTÓRYMI POSŁUGUJE SIĘ KOMBINATORYKA TRÓJKĄT PASCALA Wartości symboli Newtona możemy ustawić w następującą tabelę mającą kształt trójkąta, zwaną trójkątem Pascala

13 PODSTAWOWE POJĘCIA, KTÓRYMI POSŁUGUJE SIĘ KOMBINATORYKA TRÓJKĄT PASCALA Ponieważ Więc wszystkie wyrazy skrajne w trójkącie Pascala są równe 1. Ponadto Każdy z pozostałych wyrazów jest sumą najbliższych dwóch wyrazów znajdujących się nad nim. Dzięki temu trójkąt Pascala łatwo odtworzyć z pamięci.

14 PODSTAWOWE POJĘCIA, KTÓRYMI POSŁUGUJE SIĘ KOMBINATORYKA TRÓJKĄT PASCALA Wartości symboli Newtona możemy ustawić w następującą tabelę mającą kształt trójkąta, zwaną trójkątem Pascala

15 ZASADA MNOŻENIA

16 ELEMENTY KOMBINATORYKI ZASADA MNOŻENIA… Iloczyn kartezjański zbiorów A i B, to zbiór oznaczany AxB i określany następująco: Można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. Np.: dla czterech zbiorów A, B, C, D mamy:

17 ELEMENTY KOMBINATORYKI … ZASADA MNOŻENIA Jeżeli zbiór A składa się z n różnych elementów, a zbiór B z k różnych elementów, to iloczyn kartezjański tych zbiorów liczy n k elementów.

18 ELEMENTY KOMBINATORYKI … ZASADA MNOŻENIA PRZYKŁAD: W jadłodajni są do wyboru 3 rodzaje zup, 4 rodzaje drugich dań i 2 rodzaje deserów. Ile różnych 3- daniowych zestawów obiadowych można wybrać w tej jadłodajni? Rozwiązanie: A – zupy B – drugie dania C – desery Odp.: Można utworzyć 24 takie zestawy obiadowe.

19 PERMUTACJE

20 ELEMENTY KOMBINATORYKI PERMUTACJE … Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Inaczej mówiąc, permutacja, to ustawienie zbioru n- elementowego w ciąg, czyli przestawienie elementów tego zbioru. Stąd nazwa: permutatio to po łacinie: przemieszczenie, przestawienie.

21 ELEMENTY KOMBINATORYKI …PERMUTACJE … Twierdzenie Liczba permutacji w dowolnym zbiorze n-elementowym wynosi: P n =n! dla dowolnej liczby naturalnej n.

22 ELEMENTY KOMBINATORYKI …PERMUTACJE … PRZYKŁAD: Do biegu przystąpiło 6 zawodników o numerach 1,2,3,4,5,6. Za wynik biegu uważamy kolejność przybycia zawodników na metę. Ile może być różnych wyników tego biegu? Rozwiązanie: X – zbór zawodników pojedynczy wynik biegu, to 6 – elementowy ciąg o niepowtarzających się wyrazach pochodzących ze zbioru X, czyli permutacja zbioru 6 – elementowego.

23 WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ

24 ELEMENTY KOMBINATORYKI WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ … k-wyrazową wariacją bez powtórzeń n- elementowego zbioru A (gdzie 0 k n ) nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów, zbioru A.

25 ELEMENTY KOMBINATORYKI … WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ … Twierdzenie: Jeśli 0 k n, to wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest:

26 ELEMENTY KOMBINATORYKI … WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ… PRZYKŁAD: Na ile sposobów można wylosować kolejno 5 kart bez zwracania z talii 52 kart? Rozwiązanie: liczba wszystkich możliwych losowań kart, to = 52 możliw. 51 możliw. 50 możliw. 49 możliw. 48 możliw.

27 WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI

28 ELEMENTY KOMBINATORYKI WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI … k-wyrazową wariacją z powtórzeniami n- elementowego zbioru A nazywamy każdy k- wyrazowy ciąg elementów tego zbioru.

29 ELEMENTY KOMBINATORYKI … WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI … Twierdzenie: Wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest

30 ELEMENTY KOMBINATORYKI … WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI… PRZYKŁAD: Ile liczb 5-cyfrowych można utworzyć z cyfr 4, 5, 6? Rozwiązanie: liczba wszystkich możliwych liczb, to = 3 możliw. 3 możliw. 3 możliw. 3 możliw. 3 możliw.

31 KOMBINACJE

32 ELEMENTY KOMBINATORYKI KOMBINACJE… k-elementową kombinacją n-elementowego zbioru A (gdzie 0 k n ) nazywamy każdy k- elementowy podzbiór zbioru A.

33 ELEMENTY KOMBINATORYKI … KOMBINACJE… Twierdzenie: Wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego jest

34 ELEMENTY KOMBINATORYKI … KOMBINACJE PRZYKŁAD: Ile istnieje możliwych wyborów 3- osobowej delegacji z grupy 20 osób? Rozwiązanie: liczba wszystkich możliwych takich podzbiorów (delegacji), to - zbiór osób, n=20 -jedna z możliwych delegacji – 3-elem. podzbiór zbioru X

35 ALGORYTM POSTĘPOWANIA PRZY ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z KOMBINATORYKI Poniższe drzewko pokazuje jak można rozumować przy podejmowaniu decyzji o wyborze odpowiedniego elementu kombinatoryki podczas rozwiązywania zadań. Czy ważna jest kolejność występowania elementów? NIETAK Kombinacje bez powtórzeńCzy elementy mogą się powtarzać? NIETAK Czy wszystkie elementy są wykorzystane? Wariacje z powtórzeniami NIETAK PermutacjeWariacje bez powtórzeń

36 ZESTAW ZADAŃ NA ZASTOSOWANIE POSZCZEGÓLNYCH ELEMENTÓW KOMBINATORYKI

37 ZESTAW ZADAŃ DO ROZWIĄZANIA I. PERMUTACJE Zadanie I.1 Klub kibica Polska do boju otrzymał od organizatorów EURO biletów w jednym rzędzie na mecz finałowy w Kijowie. Na ile sposobów 6 działaczy klubu kibica może usiąść na trybunach? Rozwiązanie

38 ZESTAW ZADAŃ DO ROZWIĄZANIA I. PERMUTACJE Zadanie I.2 Drużyna narodowa składająca się z bramkarza, czterech obrońców, czterech pomocników i dwóch napastników podczas półfinału EURO 2012 w Warszawie wchodzi na boisko kolejno jeden po drugim. Ile jest takich możliwości wejścia na stadion, w których: a)bramkarz idzie bezpośrednio za napastnikiem; b)bramkarz nie idzie bezpośrednio za żadnym z pomocników; c)pomocnicy i napastnicy nie idą bezpośrednio za sobą d)pomocnicy i napastnicy nie idą bezpośrednio za sobą, ale do grupy dołączył trener? Rozwiązanie Rozw.

39 ZESTAW ZADAŃ DO ROZWIĄZANIA II. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Zadanie II.1 W finałach Mistrzostw Europy w piłce nożnej po rozgrywkach grupowych, do dalszej części przechodzą dwa najlepsze zespoły z grupy. Na ile sposobów można wytypować drużyny awansujące z polskiej grupy (Polska, Rosja, Grecja, Czechy), biorąc pod uwagę fakt, że bardzo duże znaczenie ma, czy się wyjdzie z grupy na I, czy na II miejscu? Rozwiązanie

40 ZESTAW ZADAŃ DO ROZWIĄZANIA II. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Zadanie II.2 W finałach EURO 2012 bierze udział 16 państw europejskich. Przed rozpoczęciem turnieju typujemy: mistrza, wicemistrza i brązowego medalistę. Ile jest możliwych wariantów ustalenia tej zwycięskiej trójki? Rozwiązanie

41 ZESTAW ZADAŃ DO ROZWIĄZANIA II. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Zadanie II.3 Do plebiscytu na 10-ciu najlepszych piłkarzy EURO 2012 dziennikarze z grupą trenerów zgłosili 20 piłkarzy. Oblicz, ile istnieje sposobów wyłonienia z tej grupy, poprzez głosowanie kibiców, pierwszej dziesiątki? Rozwiązanie

42 ZESTAW ZADAŃ DO ROZWIĄZANIA III. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Zadanie III.1 Ile dwuliterowych kodów można utworzyć z liter U,E,F,A, jeżeli litery mogą się powtarzać? Rozwiązanie

43 ZESTAW ZADAŃ DO ROZWIĄZANIA III. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Zadanie III.2 Autobus z 22 kibicami powracającymi z meczu zatrzymuje się na 8 przystankach. Na ile sposobów kibice mogą wysiąść z tego autobusu? Rozwiązanie

44 ZESTAW ZADAŃ DO ROZWIĄZANIA III. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Zadanie III.3 Między hotelem, a stadionem prowadzą 3 trasy. Na ile sposobów można przejechać z hotelu na stadion i z powrotem? Rozwiązanie

45 ZESTAW ZADAŃ DO ROZWIĄZANIA IV. KOMBINACJE Zadanie IV.1 Trener piłkarzy ma do dyspozycji na treningu szesnastoosobową grupę zawodników. Na ile sposobów może wybrać z nich jedenastoosobową drużynę? Rozwiązanie

46 ZESTAW ZADAŃ DO ROZWIĄZANIA IV. KOMBINACJE Zadanie IV.2 Trener w 16 osobowej grupie zawodników dysponuje 2 bramkarzami, 6 pomocnikami, 2 napastnikami i 6 obrońcami. Na ile sposobów można wybrać drużynę jeżeli trener zdecydował się zagrać w systemie a) 4 4 2; b) 4 5 1? Rozwiązanie

47 ZESTAW ZADAŃ DO ROZWIĄZANIA IV. KOMBINACJE Zadanie IV.3 W finałach Euro 2012 I etap rozgrywek prowadzony jest w czterech, cztero drużynowych grupach. Do II etapu rozgrywek przechodzą 2 najlepsze zespoły z każdej grupy. Zatem w II etapie meczy będzie rozgrywało osiem zespołów. Ile jest możliwych składów tej 8 drużynowej grupy? Rozwiązanie

48 ROZWIĄZANIA ZADAŃ I. PERMUTACJE Rozwiązanie zadanie I.1 Powrót do zadania X={ d 1, d 2, d 3, d 4, d 5, d 6 } – zbiór działaczy n=6 Przykładowe usadowienia działaczy: - permutacje zbioru X P=6!=720 6x5x4x3x2x1x d4d4 d2d2 d6d6 d3d3 d5d5 d1d1 d6d6 d5d5 d4d4 d3d3 d2d2 d1d1

49 ROZWIĄZANIA ZADAŃ I. PERMUTACJE Rozwiązanie zadanie I.2 a) bramkarz idzie bezpośrednio za napastnikiem Powrót do zadania X={ b, o 1, o 2, o 3, o 4, p 1, p 2, p 3, p 4, n 1, n 2 } - drużyna piłkarska n=11 Mamy następujące typy wejść drużyny ( - kierunek wchodzenia): n 1v n 2 b 2x1x9x8x7x6x5x4x3x2x1x n 1v n 2 b 9x2x1x8x7x6x5x4x3x2x1x n 1v n 2 b 9x8x7x6x5x4x3x2x1x2x1x typów P=10 9! 2!=

50 ROZWIĄZANIA ZADAŃ I. PERMUTACJE Rozwiązanie zadanie I.2 b) bramkarz nie idzie bezpośrednio za żadnym z pomocników Powrót do zadania X={ b, o 1, o 2, o 3, o 4, p 1, p 2, p 3, p 4, n 1, n 2 } - drużyna piłkarska n=11 Mamy następujące typy wejść drużyny ( - kierunek wchodzenia): 10 typów b 1x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1x nvonvob 6x1x9x8x7x6x5x4x3x2x1x nvonvob 9x6x1x8x7x6x5x4x3x2x1x nvonvob 9x8x7x6x5x4x3x2x1x6x1x P=10!+1069!=10!+610!=710! P= typ

51 ROZWIĄZANIA ZADAŃ I. PERMUTACJE Rozwiązanie zadanie I.2 c) pomocnicy i napastnicy nie idą bezpośrednio za sobą Powrót do zadania X={ b, o 1, o 2, o 3, o 4, p 1, p 2, p 3, p 4, n 1, n 2 } - drużyna piłkarska n=11 Skoro napastnicy i pomocnicy nie sąsiadują ze sobą więc powinni być oddzielani obrońcami i bramkarzem. Mamy 6-elementowy zbiór A napastników z pomocnikami i 5-elementowy zbiór B obrońców z bramkarzem. Pochód musi zacząć i zakończyć element zb. A, bo jest ich więcej Modelowo, wyjście zawodników wygląda następująco ( - kierunek wchodzenia): abababababa 6x5x 4x 3x 2x 1x P=6! 5! = 86400

52 ROZWIĄZANIA ZADAŃ I. PERMUTACJE Rozwiązanie zadanie I.2 d) pomocnicy i napastnicy nie idą bezpośrednio za sobą, ale do grupy dołączył trener Powrót do zadania X={t, b, o 1, o 2, o 3, o 4, p 1, p 2, p 3, p 4, n 1, n 2 } - drużyna piłkarska n=12 Skoro napastnicy i pomocnicy nie sąsiadują ze sobą więc powinni być oddzielani obrońcami, bramkarzem lub trenerem. Mamy 6-elementowy zbiór A napastników z pomocnikami i 6-elementowy zbiór B obrońców z bramkarzem i trenerem. Tym razem modelowo, wyjście zawodników można przedstawić na dwa sposoby ( - kierunek wchodzenia): abababababab 6x 5x 4x 3x 2x 1x lub babababababa 6x 5x 4x 3x 2x 1x P= 2 6! 6! =

53 ROZWIĄZANIA ZADAŃ II. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Rozwiązanie zadanie III.1 Powrót do zadania X={ Polska, Rosja, Grecja, Czechy } Przykładowe klasyfikacje: MiejsceDrużyna 1Polska 2Czechy MiejsceDrużyna 1Grecja 2Polska Przedstawiane warianty to dwuwyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru X (4-elementowego).

54 ROZWIĄZANIA ZADAŃ II. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Rozwiązanie zadanie III.2 Powrót do zadania X – państwa uczestniczące w finałach Euro Zwycięska trójka to 3-wyrazowa wariacja bez powtórzeń zbioru X, w której: I wyrazem jest mistrz, II – wicemistrz, a III – brązowy medalista. Liczba wszystkich takich wariacji, to:

55 ROZWIĄZANIA ZADAŃ II. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Rozwiązanie zadanie III.3 Powrót do zadania X – 20-tu zgłoszonych przez dziennikarzy piłkarzy. Lista 10-ciu najlepszych piłkarzy, to 10-cio wyrazowy ciąg różnych elementów zbioru X, czyli 10-wyrazowa wariacja bez powtórzeń zbioru X (20-elementowego). Zatem wszystkich możliwości jest:

56 ROZWIĄZANIA ZADAŃ III. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Rozwiązanie zadanie III.1 Powrót do zadania X={U, E, F, A}n=4 Przykładowe pary: UE FU EE UF 2-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru X

57 ROZWIĄZANIA ZADAŃ III. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Rozwiązanie zadanie III.2 Powrót do zadania X – Przystanki X = {P 1 ; P 2 ; P 3 ; P 4 ; P 5 ; P 6 ; P 7 ; P 8 } Y – Kibice Y = {K 1 ; K 2 ; K 3 ; K 4 ; K 5 ; K 6 ; … K 22 } Przykładowe możliwości wysiadania kibiców: 12-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru X K1K1 K2K2 K3K3 K4K4 K5K5 K6K6...K 20 K 21 K 22 P6P6 P6P6 P6P6 P6P6 P6P6 P6P6...P6P6 P6P6 P6P6 P4P4 P2P2 P7P7 P4P4 P2P2 P4P4 P4P4 P2P2 P7P7 P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 P6P6 P6P6 P7P7 P8P8

58 ROZWIĄZANIA ZADAŃ III. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Rozwiązanie zadanie III.3 Powrót do zadania X={T 1 ; T 2 ; T 3 }- możliwe trasy n = 3 Przykładowe drogi przejazdu: T 1 T 2 T 3 T 2 T 2 2-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru X k=2

59 ROZWIĄZANIA ZADAŃ IV. KOMBINACJE Rozwiązanie zadanie IV.1 Powrót do zadania X - 16 piłkarzy Jedenastoosobowa drużyna, to 11-elementowa kombinacja zbioru X n=16 k=11 Zatem, liczba możliwych wyborów grającej jedenastki to

60 ROZWIĄZANIA ZADAŃ IV. KOMBINACJE Rozwiązanie zadanie IV.1 Powrót do zadania a) System NN- Dwóch napastników z dwóch PPPP- Czterech z sześciu pomocników OOOO- Czterech z sześciu obrońców B- Jeden z dwóch bramkarzy

61 ROZWIĄZANIA ZADAŃ IV. KOMBINACJE Rozwiązanie zadanie IV.1 Powrót do zadania b) System N- Jeden z dwóch napastników PPPPP- Pięciu z sześciu pomocników OOOO- Czterech z sześciu obrońców B- Jeden z dwóch bramkarzy

62 ROZWIĄZANIA ZADAŃ IV. KOMBINACJE Rozwiązanie zadanie IV.3 Powrót do zadania Mamy 4 czteroelementowe zbiory A, B, C, D będące kolejnymi grupami pierwszej fazy rozgrywek. Żeby otrzymać 8-drużynową grupę ćwierćfinałową należy z każdego z tych zbiorów wybrać po 2 elementy. Zatem liczba wszystkich możliwych, ćwierćfinałowych grup jest równa

63 BIBLIOGRAFIA Vademecum Matura 2012 zakres rozsz. wyd. OPERON Encyklopedia szkolna –MATEMATYKA wyd. WSiP Komputerowy program edukacyjny Matematyka 1-4 dla szkół średnich firma PiK

64 KONIEC PREZENTACJI Dziękujemy za uwagę

65 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google