Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Opiekun: Marzena Buziuk Opracowanie: Alicja Bućko Oktawia Halemba Natalia Sokołowska ZSO nr 1 w Jeleniej Górze Maj 2012.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Opiekun: Marzena Buziuk Opracowanie: Alicja Bućko Oktawia Halemba Natalia Sokołowska ZSO nr 1 w Jeleniej Górze Maj 2012."— Zapis prezentacji:

1 Opiekun: Marzena Buziuk Opracowanie: Alicja Bućko Oktawia Halemba Natalia Sokołowska ZSO nr 1 w Jeleniej Górze Maj 2012

2 Biografia Pitagorasa Pitagoras z Samos urodzi ł si ę na wyspie Samos ok. 572 zmar ł ok.497p.n.e w Metaponcie. By ł greckim matematykiem, filozofem, etykiem, politykiem, legendarnym za ł o ż ycielem szko ł y pitagorejskiej. Interesowa ł si ę te ż astronomi ą i medycyn ą. Twórca kierunku filozoficzno-religijnego, inaczej nazywanego pitagoreizmem. W m ł odo ś ci by ł utalentowanym pi ęś ciarzem i zapa ś nikiem. Prawdopodobnie by ł wegetarianinem. Kiedy mia ł czterdzie ś ci lat, oko ł o 572 roku p.n.e. opu ś ci ł ogarni ę t ą wojn ą z Persami, Joni ę. Po serii podró ż y osiad ł w koloniach zachodnich, w Grecji. Mieszka ł w Krotonie i tam zaj ął si ę szczegó ł ow ą dzia ł alno ś ci ą umys ł ow ą. Za ł o ż y ł zwi ą zek pitagorejski. Po jego wygnaniu, jego szko ł a sp ł on ęł a, za ś sam osiedli ł si ę w Metaponcie, gdzie wytrwa ł do ko ń ca swoich dni. Zwi ą zek i jego dzia ł alno ść wykroczy ł a poza ż ycie Pitagorasa. Nie pozostawi ł on po sobie ż adnych pism, o jego dokonaniach dowiadujemy si ę z dzie ł filozofów greckich, którzy ż yli ponad 200 lat pózniej. Dla uczczenia swojego nauczyciela wiele w ł asnych odkry ć pitagorejczycy nazywali jego imieniem, dlatego trudno jest nam dzisiaj jednoznacznie okre ś li ć, kto jest ich autorem. Pitagoras s ł ynie z twierdzenia, które g ł osi "W trójk ą cie prostok ą tnym suma kwadratów przyprostok ą tnych jest równa kwadratowi przeciwprostok ą tnej".

3 Wierzenia Pitagorejczyków Wszystko jest liczbą. Wszystko jest liczbą. Wszechświat jest kosmosem, uporządkowaną całością i każdy z nas jest częścią kosmosu. Wszechświat jest kosmosem, uporządkowaną całością i każdy z nas jest częścią kosmosu. Najkrótsze wyrazy - "TAK" i "NIE"-wymagają najdłuższego zastanowienia. Najkrótsze wyrazy - "TAK" i "NIE"-wymagają najdłuższego zastanowienia. Dusza istnieje oddzielnie od ciała. Dusza istnieje oddzielnie od ciała. Dusza może łączyć się z dowolnym ciałem. Dusza może łączyć się z dowolnym ciałem. Dusza jest trwalsza od ciała. Dusza jest trwalsza od ciała. Ciało jest dla dusz więzieniem. Ciało jest dla dusz więzieniem. Dusza jest więziona w ciele za popełnione przez nie winy. Dusza jest więziona w ciele za popełnione przez nie winy. Dusza będzie wyzwolona z ciała, gdy się oczyści, a oczyści się wtedy, gdy odpokutuje za winy. Dusza będzie wyzwolona z ciała, gdy się oczyści, a oczyści się wtedy, gdy odpokutuje za winy.

4 Twierdzenie zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

5 Twierdzenie Pitagorasa "Suma kwadratów przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej tego trójkąta a² + b²= c²

6 " Suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta P 1 +P 2 =P 3 Obie te wersje są poprawne i oznaczają dokładnie to samo.

7 Dzięki twierdzeniu Pitagorasa możemy obliczyć jeden z boków trójkąta prostokątnego znając dwa pozostałe. Dzięki niemu możemy także sprawdzić czy jest on trójkątem prostokątnym. Korzystamy wtedy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, które brzmi: "Jeżeli suma kwadratów dwóch krótszych boków w trójkącie jest równa kwadratowi dłuższego boku to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym".

8

9

10 Dowód hinduski

11

12

13 Drugie wielkie twierdzenie Pitagorasa: Suma kątów w trójkącie jest równa sumie dwóch kątów prostych.

14 Twierdzenie to można udowodnić na dwa sposoby: 1.Przeprowadzając prostą przez wierzchołek trójkąta równolegle do podstawy 2.Prostopadła opuszczona z wierzchołka dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne.

15 Trójki pitagorejskie Trójkąty pitagorejskie to trójkąty, których boki wyrażone są liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem : a 2 + b 2 = c 2 Trójka liczb naturalnych, które są bokami pewnego trójkąta prostokątnego nazywana jest trójką pitagorejską. Trójkątów pitagorejskich jest nieskończenie wiele.

16 abc Przykłady trójek pitagorejskich :

17 Możemy się domyślać, że w dawnych czasach trójki pitagorejskie mogły służyć do wyznaczania kątów prostych w budownictwie. Zauważamy bowiem, że gdy ułożymy ( np. ze sznurka ) trójkąt o bokach 60 cm, 80 cm, 100 cm, to kąt między krótszymi bokami tego trójkąta będzie miał 90 o. Pitagoras stworzył też regułę odnajdywania liczb naturalnych. Regułę tę wyraża się wzorem : ( 2n + 1) 2 + ( 2n 2 + 2n ) 2 = ( 2n 2 + 2n + 1) 2

18 Oto tabela ułożona na tej podstawie: nI przyprostokątna 2n + 1 II przyprostokątna 2n ( n + 1 ) Przeciwprostokątna 2n 2 + 2n

19 Z tabeli wynika, ze liczby wyrażające II przyprostokątną i przeciwprostokątną są liczbami bezpośrednio sąsiadującymi w naturalnym ciągu liczb. Można więc powiedzieć, że gdziekolwiek w ciągu naturalnym znajdziemy dwie liczby sąsiednie, których suma jest pełnym kwadratem, liczby te wraz z pierwiastkiem drugiego stopnia z ich sumy stanowią zespół boków pitagorejskiego trójkąta : Z tabeli wynika, ze liczby wyrażające II przyprostokątną i przeciwprostokątną są liczbami bezpośrednio sąsiadującymi w naturalnym ciągu liczb. Można więc powiedzieć, że gdziekolwiek w ciągu naturalnym znajdziemy dwie liczby sąsiednie, których suma jest pełnym kwadratem, liczby te wraz z pierwiastkiem drugiego stopnia z ich sumy stanowią zespół boków pitagorejskiego trójkąta : 4+5 = 9= =25= = 49= = 81= = 121= = 169=13 2

20 Krąg Pitagorejski Krąg Pitagorejski

21 Krąg pitagorejski polega na pewnym ciekawym zestawieniu liczbowym. Wzdłuż kręgu koła wpisujemy naturalny ciąg liczbowy od 1 do np. 3, więc 1, 2, 3, a następnie od 3 z powrotem do 1. n=3suma=9 n=4suma=16 n=5suma=25 n=6suma=36 nn 2 Wniosek: Jeżeli wzdłuż kręgu będziemy pisać naturalny ciąg liczbowy od 1 do n, a następnie z powrotem do 1, to suma wszystkich tych liczb równać się będzie n 2.

22 Dlaczego? Krąg pitagorejski przedstawia właściwie dwie sumy =n 7*3=(7(7-1))/2 Uogólniając suma n-1 w naturalnym ciągu rozpoczętym 1 wynosi: S n-1 =(n(n-1))/2. Suma dwóch takich sum wynosi n(n-1)=n 2 -n Jeżeli dodamy jeszcze n, otrzymamy n 2 -n+n=n 2.

23 Zapełnianie płaszczyzny równymi wielokątami foremnymi Przechodząc koło swego domu lub szkoły często zauważasz różne wzory poukładanych chodników. Wiele z nich jest zbudowanych z kwadratów lub innych figur tego samego kształtu i wielkości. Czy zastanawiałeś się kiedykolwiek jakich wielokątów foremnych (takich, które mają wszystkie boki jednakowej długości i kąty tej samej miary) należy użyć do takiej układanki? Wiemy, że Pitagoras jako pierwszy wykazał, iż płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych : Trójkątami Trójkątami Kwadratami Kwadratami Sześciokątami Sześciokątami

24 Przykłady zapełniania płaszczyzny równymi wielokątami foremnymi: Przykłady zapełniania płaszczyzny równymi wielokątami foremnymi:

25

26

27

28 Dlaczego nie można pokryć płaszczyzny pięciokątami foremnymi? Dla n=5 mamy α α 5 = (5-2)*180/5=3*180/5 α α 5 = :108=3,(3)

29 Figury kosmiczne Pitagoras uznawany jest za twórcę pierwszych zasad budowy wielościanów foremnych, które nazywał figurami kosmicznymi. Wielościan foremny musi spełniać następujące trzy warunki: ściany są przystającymi wielokątami foremnymi, ściany są przystającymi wielokątami foremnymi, w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa ilość ścian, w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa ilość ścian, jest bryłą wypukłą. jest bryłą wypukłą.

30 Nazwa Nazwa grecka GrafikaŚciana Liczba ścian Liczba krawędzi Liczba wierzchołków czworościantetraedr trójkąt foremny (równoboczny) sześcianheksaedr czworokąt foremny (kwadrat) ośmiościanoktaedr trójkąt foremny (równoboczny) dwunastościandodekaedrpięciokąt foremny dwudziestościanikosaedrtrójkąt foremny (równoboczny) Porównanie wielościanów:

31 Przykładowe siatki figur kosmicznych: dwunastościan sześcian

32 Przykładowe siatki figur kosmicznych: czworościan ośmiościan dwunastościan

33 Wielościanów foremnych jest tylko 5. Jeden z dowodów istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnych opiera się o analizę łącznej ilości kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku. ściana kąt wewnętrzy ściany liczba ścian przy wierzchołku 3 wielokrotność kąta <360° nazwauwagi trójkąt60°3180° czworościan foremny 4240° ośmiościan foremny 5300° dwudziestościan foremny ostatni z tej serii, bo 660°360° kwadrat90°3270°sześcian jedyny z tej serii, bo 490°360° pięciokąt108°3324° dwunastościan foremny jedyny z tej serii, bo 4108°360° sześciokąt i następne 120°3360°-żaden z tej i następnych serii, bo 3120°360°

34 Ciekawostka: Cztery wielościany foremne stały się symbolami żywiołów: czworościan symbolizował ogień, sześcian ziemię, ośmiościan powietrze, a dwudziestościan wodę. Dwunastościan foremny był symbolem ładu kosmicznego, wszechświata.


Pobierz ppt "Opiekun: Marzena Buziuk Opracowanie: Alicja Bućko Oktawia Halemba Natalia Sokołowska ZSO nr 1 w Jeleniej Górze Maj 2012."

Podobne prezentacje


Reklamy Google