Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Modele ze strukturą wieku Omawiając procesy rozrodczości i śmiertelności zakładaliśmy jednorodność populacji oznaczającą że osobnik rodzi się w pełni ukształtowany.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Modele ze strukturą wieku Omawiając procesy rozrodczości i śmiertelności zakładaliśmy jednorodność populacji oznaczającą że osobnik rodzi się w pełni ukształtowany."— Zapis prezentacji:

1 Modele ze strukturą wieku Omawiając procesy rozrodczości i śmiertelności zakładaliśmy jednorodność populacji oznaczającą że osobnik rodzi się w pełni ukształtowany i zachowuje pełnię sił do śmierci. Wprowadzimy do populacji strukturę wieku. Ponieważ rozważanie zmiany wieku w sposób ciągły jest zbyt skomplikowane, wprowadzimy pewne uproszczenia

2 Wprowadzenie struktury wieku Podzielenie populacji E na klasy wieku Zadanie funkcji przejścia z jednej klasy wieku do następnej. Ten sposób podejścia został wprowadzony przez H. P. Lesliego Dlatego też następujące modele będziemy nazywać modelami Lesliego a macierze reprezentujące te modele macierzami Lesliego

3 Założenia Wiek osobników nie zmienia się w sposób ciągły Opis populacji sprowadza się do podania liczebności poszczególnych klas wieku W obrębie danej klasy wieku osobniki są jednakowe czyli każda klasa jest jednorodna Różnice między klasami wyrażają się różną rozrodczością i śmiertelnością.

4 Stan populacji w chwili t zapisujemy w postaci wektora N t = Jednostkowe przyrosty czasu przechodząc z chwili t do t+1 są równe przyrostom wieku osobników. Dana klasa zapełnia się w całości osobnikami które przeżyły będąc w klasie młodszej Wszystkie osobniki z najstarszej klasy wymierają Najmłodsza klasa wypełnia się wszystkimi narodzonymi osobnikami

5 Schemat N t 1 N 1 t+1 N t 2 N 2 t+1 : N 3 t+1 N t k-1 : N t k N k t+1

6 Wzory m i 0 liczba potomstwa produkowana przez osobnika z klasy wieku i, i=1, 2, …, k. s i [0,1] oznacza przeżywalność osobników w klasie wieku i. Oznacza to ile procent osobników przeżyło i stało się osobnikami z klasy wieku i+1 Najmłodsza klasa: N 1 t+1 = i+1 klasa: N i+1 t+1 =s i N i t i=1, 2, …, k-1.

7 Wobec tego zależność N t+1 od N t jest liniowa. Niech M= Otrzymujemy wzór rekurencyjny N t+1 =MN t. Dzięki modelowi Malthusa znamy rozwiązanie tego równania rekurencyjnego: N t =M t N 0, gdzie M t oznacza pomnożenie macierzy M t razy przez siebie. Własności rozwiązań równania rekurencyjnego zależą w sposób istotny od macierzy M.

8 Stabilna struktura wieku W niektórych przypadkach istnieje stabilna struktura wieku oznaczająca ze wraz z upływem czasu wektor N t zbiega do wektora N. Zbieżność taką rozumiemy jako zbieżność po wyrazach. N t i N i, i=1, …, k, przy t Istnienie stabilnej struktury wieku zależy od pierwszego wiersza macierzy. Jeśli wskaźniki i, dla których m i >0, nie mają większego wspólnego dzielnika niż 1, to istnieje i jest osiągana stabilna struktura wieku.

9 Cykliczne zmiany struktury wieku Jeśli nie jest spełnione to założenie czyli np. tylko m k 0 co oznacza że rozmnażają się tylko osobniki z najstarszej klasy, mogą pojawić się cykliczne zmiany struktury wieku. Rozpatrzymy najprostszy przykład: Macierz Lesliego M= Oznaczająca tylko dwie klasy wieku-osobników niedojrzałych nie mogących się rozmnażać oraz osobników dojrzałych zdolnych do rozmnażania.

10 Odpowiednio s oznacza przeżywalność klasy niedojrzałych osobników a m oznacza współczynnik rozmnażania osobników dojrzałych. Jeśli policzymy kolejne potęgi macierzy M, to otrzymamy wzory: M 2t+1 = M 2t =

11 Dowód Powyższe wzory udowodnimy indukcyjnie. 1 krok indukcyjny M 2 = = Wzory są prawdziwe dla t=1, załóżmy że są prawdziwe dla t i pokażemy ich prawdziwość dla t+1. M 2t+1 =M 2t M= = M 2t+2 =M 2t M 2 = =

12 Dowiedliśmy prawdziwości postulowanych wzorów. Ostatecznie ewolucję struktury wieku opisują dane wzory: N 2t+1 = N 2t =(ms) t N 0

13 Zauważmy że zachowanie ciągów N2t i N2t+1 zależy od iloczynu ms ms=1 to oba ciągi są stałe i obserwujemy rozwiązanie oscylujące ms>1 to ciągi rosną do nieskończoności i obserwujemy proces rozrodczości ms<1 to ciągi zbiegają do wektora zerowego i obserwujemy proces śmiertelności

14 Interpretacja Biologiczna Iloczyn ms jest równy liczbie potomstwa dojrzałego osobnika pomnożonego przez współczynnik przeżycia. Jeśli m=2 to: Populacja rozwija się gdy s>, więcej niż jeden potomek dożywa wieku dojrzałego. Populacja wymiera gdy s<, mniej niż jeden potomek dożywa wieku dojrzałego. Populacja wykazuje stabilne oscylacje gdy s=, czyli dokładnie połowa osobników dożywa wieku dojrzałego

15 Przykład Zajmijmy się przypadkiem gdy m=2 i s= który opisuje następująca sytuację. Każdy osobnik dojrzały ma dwóch potomków z czego tylko połowa z nich przeżywa do wieku dojrzałego. Na początku mamy N 0 1 osobników młodych i N 0 2 osobników dojrzałych. Po upływie jednostki czasu mamy N 1 1 =2N 0 2 i N 1 2 = N 0 1 W następnej chwili schemat się powtarza i mamy N 1 2 =2N 2 1 =2( N 0 1 )=N 0 1 oraz N 2 2 = N 1 1 = (2N 0 2 )=N 0 2

16 Widzimy zatem że wróciliśmy do początkowej struktury wieku. Iterując tę procedurę dochodzimy do ogólnego wzoru: N 2t =N 0 N 2t+1 = Występują zatem oscylacje, w chwilach parzystych struktura wieku się nie zmienia, chwilach nieparzystych zmienia się w stosunku do chwili początkowej.

17 Rozróżnienie płciowe Wprowadzamy rozróżnienie płciowe Niech N i t oznacza liczebność samic w klasie wieku i w czasie t oraz P i t oznacza odpowiednio liczebność samców. Niech n i będzie liczbą potomków płci żeńskiej przypadającą na jedną samicę z klasy wieku i oraz m i odpowiednio liczbą potomków płci męskiej. Niech s i i z i oznaczają odpowiednio przeżywalność samic i samców

18 Wzory N1t+1= P1t+1= N i+1 t+1 =s i N i t P i+1 t+1 =z i P i t

19 Uwagi Jest to uproszczony model nie uwzględniający w jawny sposób udziału samców w rozmnażaniu. Można to uwzględnić zakładając że n i oraz m i nie są stałe a zależą od liczby samców w poszczególnych grupach. Można wprowadzić założenie że nie wszystkie osobniki opuszczają daną klasę wiekową, wyróżniamy wtedy także inne stadia rozwoju. Wszystko to powoduje dalsze modyfikacje macierzy M oraz komplikacje i trudności modelu.

20 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ


Pobierz ppt "Modele ze strukturą wieku Omawiając procesy rozrodczości i śmiertelności zakładaliśmy jednorodność populacji oznaczającą że osobnik rodzi się w pełni ukształtowany."

Podobne prezentacje


Reklamy Google