Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Kilka uwag o równaniach, twierdzeniach o równaniach równoważnych. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Kilka uwag o równaniach, twierdzeniach o równaniach równoważnych. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym."— Zapis prezentacji:

1

2 Kilka uwag o równaniach, twierdzeniach o równaniach równoważnych. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

3 Jednakże algebra jest działem bardziej ogólnym, zajmuje się Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki powstały już w starożytności. Algebra szkolna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie, i mnożenie ; wprowadza pojęcie zmiennej, wielomianu i znajdowaniem ich pierwiastków. strukturami algebraicznymi np. którymi zajmujemy się w niektórych prezentacjach, grupą, pierścieniem, ciałem Działania, własności W ostatnich prezentacjach zajmujemy się teorią rozwiązywania najprostszych równań tzn. liniowych. Przy rozwiązywaniu równań nieodzowna jest mechaniczna, techniczna umiejętność przekształcania równań, ale ….. już na poziomie gimnazjum a na pewno w pierwszej klasie liceum, powinno się zwrócić uwagę na teoretyczne uzasadnienie dotychczas wykonywanych operacji, przy rozwiązywaniu równań i nierówności. Przypomnijmy poznane pojęcia w poprzednich prezentacjach.

4 Co to jest równanie ? 3 Równaniem nazywamy funkcję zdaniową postaci gdzie są funkcjami zmiennej x.x. Liczbę, która spełnia równanie (nierówność) tzn. rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania (nierówności ). Równania, które mają dokładnie te same zbiory rozwiązań nazywamy równaniami równoważnymi. nazywamy po jej podstawieniu w miejsce niewiadomej, równanie zamieni się na zdanie prawdziwe, Rozwiązując równanie, jedno równanie zastępujemy drugim. Jaka jest zależność między tymi równaniami ? Skąd wiemy, że konstruowane przez nas nowe równania są równoważne danemu ? twierdzeń o równaniach równoważnych : Fakt ten wynika z udowodnionych przez nas Jeżeli w równaniu funkcję zastąpimy funkcją równą jej tożsamościowo, to otrzymamy równanie równoważne danemu. 1.

5 Jeżeli do obu stron równania dodamy tą samą funkcję to otrzymamy równanie równoważne danemu. której dziedzina zawiera się w dziedzinie równania, Jeżeli obie strony równania pomnożymy (podzielimy) przez to otrzymamy równanie równoważne danemu. tą samą funkcję o wartościach różnych od zera, Czy te twierdzenia pozwolą rozwiązać dowolne równanie ? Oczywiście, że nie. Już w poprzednich prezentacjach stosowaliśmy intuicyjnie, na słowo, twierdzenie o pierwiastkowaniu obu stron równania. Zgodnie z zapowiedzią i zgodnie z naszą zasadą, by nasze działania matematyczne były poprawne, uzasadnimy dalsze twierdzenia. Zacznijmy od wcześniejszej operacji od pierwiastkowania, a mianowicie od potęgowania, a nawet skromniej, od podnoszenia obu stron równania do kwadratu. Czy i której dziedzina zawiera się w dziedzinie równania,

6 Czy Dowód jest najkrótszy, gdy mamy kontrprzykład. Sądzę, że wszyscy taki mają. Np. Jedynym pierwiastkiem pierwszego równania jest a zbiór rozwiązań drugiego jest dwuelementowy Ale przecież jest oczywiste, że chcemy obie strony równania podnosić do kwadratu. Co zrobić ? Zmodyfikować nietrafione twierdzenie. Od dawna wiemy ( tw. arytmetyki ), że Kiedy zachodzi ta równoważność ? Gdy to równanie nie ma rozwiązania. Czasem mówimy wtedy, że równanie jest Zapiszmy to twierdzenie wygodnie, symbolicznie : Zatem równania nie są równoważne. Tw. 4. pusto spełnione. 2,

7 To twierdzenie będziemy stosować rozwiązując zwłaszcza równania z pierwiastkami, np. Należy uwolnić się od pierwiastków. Podnieść obie strony równania do kwadratu ( o ile można ). W tym przypadku można, bo nie ma rozw. ( jak od większej liczby odejmiemy mniejszą, to nie otrzymamy liczby ujemnej ) Czy uwolnimy się od pierwiastków ? Kto odpowie tak, ten zapomniał wzoru na kwadrat różnicy. Pozostanie jeden pierwiastek, ale pod pierwiastkiem będzie wyrażenie bardziej skomplikowane ( iloczyn ). Wygodnie jest izolować pierwiastek. nie ma rozw. Równanie rozwiązujemy metodą równań równoważnych. tw. 4 tw. 2 tw. 1tw. 2,1 tw. 4tw. 1tw. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba Tylko jak ? i zolujemy pierwiastek

8 Rozwiązaliśmy równanie metodą równań równoważnych. Warto i trzeba zaznaczyć, że równanie można rozwiązać inaczej a nawet prościej. Równania ( nierówności ) możemy rozwiązywać metodą analizy starożytnych. Zaprezentujemy ją na końcu prezentacji. Od pierwiastków można uciec, wprowadzając niewiadome pomocnicze.Niech wtedy Ten układ potrafi rozwiązać gimnazjalista. Powróćmy do analogicznego tw. 4 ale dla nierówności. Czy ? Oczywiście, że nie. Do uzasadnienia wystarcza wiedza ze szkoły podstawowej. Łatwo sformułować twierdzenie : Tw. 4a. Tw. 4b. analogicznie

9 Teraz kolej na pierwiastkowanie obu stron równania. Z definicji pierwiastka i własności funkcji wynika twierdzenie : Tw. 5. Tw. 5a. I dla nierówności : Mamy twierdzenia, które pozwalają rozwiązać prawie każde równanie czy nierówność. Ponieważ prawie zawsze równania rozwiązujemy metodą równań równoważnych, nie będziemy tego sygnalizować przy każdym rozwiązaniu, ale w razie potrzeby, należy o tym pamiętać. Dla wprawy w tej prezentacji będziemy zaznaczać z jakich twierdzeń o równaniach równoważnych korzystaliśmy. Rozwiąż równanie : analogicznie

10 i większość tak postąpi, wykonać widoczne działania, ale spostrzegawczy dostrzeże, że wygodniej będzie zastosować wzór na różnicę sześcianów Rozwiązaniem równania jest tw. 1 tw. 2, 1 tw. 3 Rozwiążmy równania i nierówności: * Ta nierówność wygodnie zapisać jako nierówność równoczesną Do trzech wyrażeń ( lewej, prawej i środkowej ) dodajemy 3. tw. 1tw. 2tw. 5a Można Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z

11 * * tw. 3 tw. 2,1 tw. 1 tw. 2,1 tw. 3 tw.2, 1tw. 3 Rozwiązaniem równania jest Rozwiązaniem równania jest 4. Rozwiązaniem równania jest 1. Postępujemy tak jak przy zwykłych ułamkach, szukamy NWW mianowników. rozkładamy mianowniki na czynniki. Jak wyżej tw. 3 * Obie strony równania mnożymy przez 9. Obie strony równania mnożymy przez NWW. Należy rozpatrzyć przypadki co do znaku prawej strony równania.

12 * Ponieważ tego typu nierówności ( równania ) na ogół będziemy rozwiązywać podobnie ( wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi mogą mieć różną postać ), pokażmy jeszcze raz sposób postępowania. Kreślimy wykresy funkcji, które występują pod wartościami bezwzględnymi ( czasem mówimy ogólniej pod modułami ) _ _ _+ + + _ _ _ Z wykresów widać jakie znaki przyjmują wartości tych funkcji w poszczególnych przedziałach. Widać też, że należy rozpatrzyć cztery przypadki ( cztery przedziały ),cztery alternatywy koniunkcji. i tak dalej …. Warto to zapamiętać, nie tylko do matury. W tym przypadku proste są równoległe i nachylone do osi x pod kątem

13 Po tych ćwiczeniach widać, że niektóre równania o trochę nowej dla nas postaci potrafimy rozwiązywać. Zdajemy sobie sprawę, że są one tak dobrane, aby po ich przekształceniach otrzymać równanie liniowe. Najwyższy czas by zastanowić się, co z innymi równaniami ? Gdy będziemy mieli równanie kwadratowe, to już sobie z nim poradzimy. A co zrobić, gdy otrzymamy równanie wyższego stopnia ? W tej chwili odpowiedzi nie uzyskamy. Tą wiedzę będziemy zdobywać w trakcie poznawania nowych pojęć, nowych równań. Wiadomo, że recepty na rozwiązywanie trudniejszych równań będą coraz bardziej skomplikowane I sposobu do rozwiązania wszystkich równań nie ma co się spodziewać. Mimo tego, postarajmy się już teraz, przewidzieć typowe postępowanie przy rozwiązywaniu typowych równań tzn. tych z którymi spotkamy się w szkole. nowych funkcji,nowych operacji,

14 Mamy równania : Z rozwiązaniem którego równania nie ma problemów uczeń szkoły podstawowej ? Oczywiście, drugiego. Dlaczego ? Bo każdy co najmniej już w zerówce wiedział, kiedy iloczyn jest równy zeru. no prawie nic. Wyjaśnijmy ten problem wracając do podstawowych własności działań na liczbach. Kiedy suma kilku liczb jest równa zeru ? Licealiści mają kłopot z odpowiedzią na to pytanie. Wtedy, zadaję to samo pytanie inaczej sformułowane : co powiemy o liczbach a, b, c, d, gdy Odpowiedzi na ogół nie ma, bo odpowiedź jest nietypowa, bo takich odpowiedzi w szkole nie słychać. Wiadomo tylko, że liczby nie mogą być tego samego znaku. Ale ta informacja nie pomoże rozwiązać równanie. A co powiemy o liczbach a, b, c, d, gdy Nic,

15 Co powiemy o liczbach a, b, c, d, gdy Odpowiedź zna nawet przedszkolak. I to jest podstawowy sposób rozwiązywania równań, sumę przekształcić na iloczyn równy zeru. Następne pytanie : jak z sumy otrzymać iloczyn ? O przekształceniu sumy na iloczyn, uczeń dowiaduje się o tym w drugiej klasie liceum,a najprostszy sposób poznał już w drugiej klasie szkoły podstawowej. Drugi podstawowy sposób zamiany sumy na iloczyn ( rozkładu sumy na czynniki ),pokazuje nauczyciel w liceum, choć uczeń znał go w szkole podstawowej. Sposób ten nazywa się sposobem grupowania. Skrótowo przypomnijmy. Jak pomnożyć wszyscy wiedzą. Na pytanie : skąd ten wynik ?, Po przypomnieniu prawa poznanego w kl. 2 szk.podst. przy okazji mnożenia uczniowie uzupełniają odpowiedzi brak.

16 Pójście tą drogą w przeciwną stronę, nazywamy rozkładem na czynniki w obrębie grup wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias, wspólny czynnik w nawiasie jeszcze raz wyłączamy ( nawias przed nawias ), Pokażmy właśnie, że równanie : potrafi rozwiązać gimnazjalista. Rozwiązaniami równania są liczby : 1, 2, -2. Szczególne przypadki drugiego podstawowego sposobu rozwiązywania równań już stosowaliśmy. Wykonywaliśmy te same operacje na obu stronach równania. Pytanie : czy ten pomysł da się uogólnić ? Czy Wystarcza powołać się na tw. 4 oraz tw. 5, by stwierdzić, że toCo nie oznacza, że nie jest prawdziwe dla funkcji o szczególnej własności ( np. różnowartościowej ). łączenie w grupy, fałsz. sposobem grupowania.

17 Do sformułowania takiego twierdzenia powrócimy po zdefiniowaniu nowych działań, nowych operacji. Z następnym podstawowym sposobem rozwiązywania równań spotkaliśmy się już w pierwszej prezentacji o równaniach. Wtedy sugerowałem by zanim przystąpimy do mechanicznego rozwiązywania równania, przyjrzeć się jego postaci. Te równania dają się łatwo sprowadzić, poprzez odpowiednie podstawienie, do równań o prostszej postaci. Ponieważ z tymi równaniami spotkamy się w następnej prezentacji, rozwiążmy tym sposobem inne równanie. W pierwszym momencie, prawie wszyscy będą się chcieli pozbyć pierwiastka izolując go i potem obie strony równania podnieść do kwadratu. Ale dlaczego to równanie ma taką nietypową postać.

18 Równanie ma dziwną postać ( jak ja to określam ) dla zmylenia przeciwnika ( ucznia ). Gdyby autor równanie napisałby w normalnej postaci to prawie każdy zauważyłby, że mamy te same wyrażenia. Mamy już pomysł rozwiązywania a raczej podstawienia, ale równanie powinniśmy zacząć od wyznaczenia jego dziedziny. Niech Wtedy Dalej już wiadomo co zrobić. Od szkoły podstawowej znamy sposób rozwiązywania równania Od teraz już rozwiązujemy i będziemy i nierówności liniowych. rozwiązywać równania bardziej skomplikowanej postaci.

19 Do rozwiązywania równań o nowej postaci, nie pomogą dotychczasowe sposoby. Omówione ostatnio podstawowe sposoby rozwiązywania równań i nierówności, będą często potrzebne w przyszłości, nie tylko na lekcjach matematyki i fizyki. Te sposoby to : 1. przekształcenie równania do postaci : 2. wprowadzenie nowej niewiadomej 3. równość operacji na wyrażeniach Ilustracją trzeciego sposobu są proste przykłady : Ten sposób wymaga, jak już wspomnieliśmy, doprecyzowania, uściślenia warunków jego stosowania. Na koniec prezentacji pokażmy, że czasem nie trzeba znać żadnych sposobów rozwiązywania równań by rozwiązać.

20 wnikliwie popatrzeć, mieć trochę wiedzy i myśleć. Czasem, nie trzeba znać sposobów rozwiązywania, ale trzeba Rozwiązać równanie Niewiele różniące się od tego równania ( minus między pierwiastkami ) rozwiązywaliśmy w tej prezentacji. Niewielka zmiana, kolosalna różnica, bo …. I widać, że nie ma rozwiązania. Lewa strona jest większa od 1,1, a prawa Choć równania i nierówności rozwiązujemy najczęściej metodą równań ( nierówności ) równoważnych, przy której konieczne jest zwracanie uwagi na dziedzinę równania i funkcji, którą dodajemy lub przez którą mnożymy obie strony równania. Jest to czasem uciążliwe, dlatego czasem warto równanie rozwiązać sygnalizowaną już metodą, której nazwa świadczy od kiedy jest stosowana. Nazwana jest metodą analizy starożytnych. Oraz mniejsza od 1.

21 Rozwiążmy równanie metodą analizy starożytnych. Załóżmy, że a jest pierwiastkiem równania. To oznacza, że jest prawdziwą równością liczbową. Znikło równanie ( funkcja zdaniowa ), pojawiły się liczby i prawdziwa równość liczbowa. Teraz możemy wykonywać operacje na liczbach, które znamy już od szkoły podstawowej. Wiemy z arytmetyki, że jak liczby są równe, to ich kwadraty są równe i tak dalej ….. Stąd Czy rozwiązaniami równania są liczby 2, -2 ? Niewiadomo, bo ….. Przy metodzie równań równoważnych musielibyśmy wyznaczyć dziedzinę równania,rozpatrzyć przypadkii zwracać uwagę na założenia stosowanych twierdzeń. Niestety często w ferworze przekształcania równań, zapominamy o tym. Okaże się, że można sobie na to pozwolić.

22 Bo założyliśmy, że równanie ma pierwiastki, nie mając pojęcia czy równanie ma pierwiastki i ewentualnie ile ich ma. Uzyskaliśmy informację, że jeżeli równanie ma pierwiastki to mogą to być liczby 2, -2. Co więcej, z naszego rozumowania wynika, że żadna inna liczba różna od 2, -2, nie może być pierwiastkiem. Co nam pozostaje zrobić by znaleźć rozwiązanie ? Sprawdzić, Sprawa jest prosta, bo mamy tylko dwóch kandydatów. jest czy nie. fałsz prawda podstawiamy -2 podstawiamy 2 Rozwiązaniem równania jest 2. Jak widać, rozwiązując równanie metodą analizy starożytnych, nie musimy wyznaczać dziedziny równania, musimy natomiast sprawdzić, czy znalezione liczby spełniają równanie. Jest to metoda wygodna szczególnie w tych sytuacjach, w których jest trudne wyznaczenie dziedziny równania.

23 Rozwiąż równanie : Równanie rozwiązujemy metodą analizy starożytnych, stosując twierdzenia arytmetyki. Najczęściej dla wygody zakładamy, x jest pierwiastkiem równania Postać wyrażeń ta sama, ale różnica ze względu na założenie jest kolosalna. Pierwsze wyrażenie to równanie ( funkcja zdaniowa ) gdzie x jest zmienną, a drugie wyrażenie jest równością arytmetyczną, gdzie x jest liczbą. Kandydatami na pierwiastki są liczby : 0, 3. Sprawdzamy : fałsz prawda Rozwiązaniem równania jest 3. Izolujemy pierwiastek

24 W tej prezentacji żebraliśmy prawie całą teorię rozwiązywania równań i nierówności.Oczywiście w przyszłości poznając nowe funkcje, nowe typy równań, będziemy musieli wiedzę z tego zakresu uzupełnić. Ale będą to tylko naturalne dopowiedzenia. Podstawowe umiejętności użyteczne przy rozwiązywaniu równań i nierówności, to 1. przekształcanie wyrażeń do prostszych postaci, np. 2. do postaci iloczynu funkcji równego zeru, np. 3. zauważenie w równaniach wyrażeń wprowadzić niewiadome pomocnicze, np. za które można Niech Wtedy 4. bądź zaobserwowanie, że po obu stronach równania występują te same operacje, np.

25 Następna prezentacja to Równania Opr. WWW ęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji by po korekcie, Z góry dziękuję. można było ją uznać za poprawną. i przekazanie uwag, belferwww.one.pl Koniec prezentacji tel Zapraszam Warto zaznaczyć, że gdybyśmy nie zauważyli iż można zastosować wzór na sześcian różnicy, nie rozwiązalibyśmy tego równania.


Pobierz ppt "Kilka uwag o równaniach, twierdzeniach o równaniach równoważnych. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym."

Podobne prezentacje


Reklamy Google