Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Liczby Ramseya Klaudia Sandach. Plan prezentacji: 1. Teoria Ramseya 2. Wartości liczb Ramseya 3. O czym mówi teoria Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 2.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Liczby Ramseya Klaudia Sandach. Plan prezentacji: 1. Teoria Ramseya 2. Wartości liczb Ramseya 3. O czym mówi teoria Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 2."— Zapis prezentacji:

1 Liczby Ramseya Klaudia Sandach

2 Plan prezentacji: 1. Teoria Ramseya 2. Wartości liczb Ramseya 3. O czym mówi teoria Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 2

3 Teoria Ramseya Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 3

4 Frank Ramsey ( ) Wniósł trwały wkład do logiki, matematyki i ekonomii oraz do filozofii tych dyscyplin nauki. Nurtującymi go kwestiami w ekonomii był problem optymalnego systemu podatkowego (Problem Ramseya) oraz kwestia optymalnego wydawania i oszczędzania przez konsumentów (Model Ramseya). Na początku roku 1930 Ramsey udowodnił twierdzenie z teorii grafów, nazywane dziś twierdzeniem Ramseya i opracował teorię Ramseya dotyczącą podobnych zagadnień. Zdecydowanie sprzeciwiał się formalizmowi Hilberta w matematyce, był też przekonany, że matematyka daje się sprowadzić do logiki. Zmarł po operacji w wieku niecałych 27 lat. Jego przedwczesna śmierć jest uważana za jedną z największych strat dwudziestowiecznej filozofii. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 4

5 Twierdzenie Ramseya (dwukolorowe) Niech c będzie dodatnią liczbą całkowitą i niech k będzie dodatnią liczbą całkowitą mniejszą od c. Wówczas istnieje dodatnia liczba całkowita R taka, że jeżeli wszystkie k-elementowe podzbiory zbioru {1,…, R} zostaną pokolorowane na czerwono lub zielono, to będzie istniał c-elementowy podzbiór zbioru {1,…, R}, którego wszystkie k-elementowe podzbiory będą tego samego koloru. Taka najmniejsza możliwa liczba R nazywa się liczbą Ramseya. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 5

6 Przypadek k=1 Jeżeli każdy jednoelementowy podzbiór zbioru {1,2,…,7} zostanie pokolorowany na czerwono lub zielono, to niezależnie od kolorowania będzie istniał czteroelementowy podzbiór zbioru {1,2,…,7}, którego wszystkie jednoelementowe podzbiory będą miały ten sam kolor. Tu: c=4, R=7 Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 6

7 Przypadek k=1 Ten przypadek jest prostym uogólnieniem zasady szufladkowej. Np.: jeżeli umieścimy liczby ze zbioru {1,2,…,7} w dwóch szufladkach (czerwonej i zielonej), to jedna z tych szufladek musi zawierać co najmniej cztery liczby. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 7

8 Przypadek k=2 Jeżeli każdy dwuelementowy podzbiór zbioru {1,2,…,18} zostanie pokolorowany na czerwono lub zielono, to niezależnie od kolorowania będzie istniał czteroelementowy podzbiór zbioru {1,2,…,18}, którego wszystkie dwuelementowe podzbiory będą miały ten sam kolor. Tu: c=4, R=18 Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 8

9 Przypadek k=2 Ten przypadek dotyczy kolorowania dwuelementowych podzbiorów i może być interpretowany jako kolorowanie krawędzi grafu. Dlatego przy k=2 twierdzenie Ramseya można traktować jako kombinatoryczny aspekt teorii grafów. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 9

10 Przykład Wśród dowolnych sześciu osób zawsze znajdziemy: Albo trzy osoby, które znają się wzajemnie (każda z każdą) Albo trzy osoby, które nie znają się wcale (żadna z żadną) Innymi słowy kolorując krawędzie grafu K 6 na czerwono lub zielono, zawsze otrzymamy podgraf K 3 o wszystkich krawędziach tego samego koloru. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 10

11 Dowód Każda osoba to inny wierzchołek grafu Każdą parę osób (wierzchołków) łączymy krawędzią Otrzymujemy graf pełny K 6 Każdej krawędzi nadajemy kolor zielony (osoby znają się) lub czerwony (osoby nie znają się) Ustalamy dowolny wierzchołek v Z v wychodzi pięć krawędzi, więc co najmniej trzy są w tym samym kolorze (np. zielonym) Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 11

12 Dowód Oznaczmy wierzchołki na drugich końcach tych krawędzi jako w, x, y vw, vx i vy są zielone: o Jeśli wx, xy lub yw będą zielone, to pojawi się zielony trójkąt vwx, vxy lub vwy o Jeśli wx, xy i yw będą czerwone, to otrzymamy czerwony trójkąt wxy Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 12

13 Rozważmy mniejszy graf Gdybyśmy zamiast grafu K 6 rozważyli K 5, to bardzo łatwo pokazać, że można pokolorować jego krawędzie na czerwono lub zielono, nie otrzymując jednokolorowego podgrafu K 3. Zatem n=6 jest najmniejszą liczbą taką, że jeżeli krawędzie grafu K n pokolorowane są na zielono lub czerwono, to istnieje podgraf K 3 czerwony lub zielony. Uogólnijmy ten fakt na większe liczby. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 13

14 Twierdzenie: Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 14

15 Oszacowanie dla liczb Ramseya Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 15

16 Twierdzenie Ramseya (2)* Dla każdej liczby naturalnej k istnieje taka liczba naturalna n, że wśród dowolnych n osób zawsze znajdziemy: Albo k osób, które znają się wzajemnie (każda z każdą) Albo k osób, które nie znają się wcale (żadna z żadną) Najmniejsze takie n, którego istnienie gwarantuje powyższe twierdzenie, oznaczamy przez R(k) i nazywamy k-tą liczbą Ramseya. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 16

17 Wartości liczb Ramseya Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 17

18 18 źródło: "Optymalizacja dyskretna, modele i metody kolorowania grafów." pod redakcją Marka Kubale, WNT 2002.

19 R(5,5) Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 19

20 Co wynika z teorii Ramseya? Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 20

21 Wnioski Jeżeli pokolorujemy elementy pewnego, dostatecznie dużego zbioru, to musi zajść w ramach tego kolorowania pewna prawidłowość. Niemożliwy jest nieskończony nieporządek. Nieuchronność pojawienia się pewnych regularności w dużych strukturach. Dla każdego małego obiektu matematycznego możemy zawsze znaleźć odpowiednio dużą strukturę, w której obiekt ten musi się pojawić. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 21

22 Twierdzenie typu ramseyowskiego Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 22

23 Przykład Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 23

24 Twierdzenie Ramseya, a wielokąty wypukłe Zbiór na płaszczyźnie jest wypukły, jeżeli odcinek łączący dowolne dwa punkty należące do zbioru również do niego należy. Wypukła otoczka (dla dowolnego określonego zbioru na płaszczyźnie) jest to najmniejszy zbiór wypukły zawierający zadany zbiór. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 24

25 Własności Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 25

26 Twierdzenie typu ramseyowskiego (2) Niech r będzie dodatnią liczbą całkowitą. Wówczas istnieje liczba całkowita R taka, że dowolnych R punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie leżą na prostej, musi zawierać r punktów, które tworzą wierzchołki wypukłego wielokąta. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 26

27 Stanisław Radziszowski Jest autorytetem w dziedzinie liczb Ramseya, jego artykuł Small Ramsey Numbers publikowany w Electronic Journal of Combinatorics jest podstawowym tekstem tej teorii. W 1995 r. wraz z Brendanem McKay wyznaczył liczbę R(4,5), co jest uważane za jego najbardziej spektakularny sukces. Profesor Radziszowski urodził się w Gdańsku 7 czerwca 1953 r, tytuł doktora uzyskał na Uniwersytecie Warszawskim. Od 1985 roku jest profesorem informatyki na Politechnice w Rochester (stan Nowy Jork). Pracował również w Universidad Nacional Autónoma de México. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 27

28 Bibliografia Aspekty kombinatoryki, Victor Bryant Największa liczba na świecie, Tomasz Bartnicki owski Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 28

29 Dziękuję za uwagę. Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 29


Pobierz ppt "Liczby Ramseya Klaudia Sandach. Plan prezentacji: 1. Teoria Ramseya 2. Wartości liczb Ramseya 3. O czym mówi teoria Klaudia Sandach, Liczby Ramseya 2."

Podobne prezentacje


Reklamy Google